电磁场理论第十二周课件2

Reviewn nPoyntingstheorem:conservationofenergy,PoyntingVector;powerthroughasurface;n nPoyntingstheoremofthecomplexform:complexPoyntingvector;time-averagepowerdensity;(Note:effectivevalueandmaximumvalue)n nDAlembertsequation:retardedpotetial,scalarandvectorA;n nHelmholtzsequation:phasorform;2024/7/12 电磁场理论第十二周电磁场理论第十二周讲稿讲稿5.5 电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量5.6 电磁场的矢量势和标量势电磁场的矢量势和标量势5.7 推迟势和似稳电磁场推迟势和似稳电磁场作业：作业：5-14 5-15 5-17 5.18 5.19 5.222024/7/12电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量一、电磁场的能量守恒定律坡印亭定理二、坡印亭矢量能流密度矢量三、正弦场的复数坡印亭矢量与复功率例题2024/7/12电磁场的矢量势和标量势电磁场的矢量势和标量势n n一、电磁场的矢量势和标量势n n二、洛仑兹条件与电磁动态势的波动方程达朗贝尔方程2024/7/12推迟势和似稳电磁场推迟势和似稳电磁场1 1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势 2 2、似稳电磁场和似稳条件、似稳电磁场和似稳条件3 3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12电磁场是一种特殊形式的物质，而能量又是物质的主要属性，电磁波的传播过程，就是电磁能量的传播过程。应用矢量恒等式，并代入麦克斯韦第一和第二方程得电磁场的能量守恒定律2024/7/12电磁场的能量守恒定律因同理有故由于电场和磁场的能量密度分别为则2024/7/12电磁场的能量守恒定律为电磁场的能量密度。因此应用高斯散度定理，有W是电磁场的总能量因则2024/7/12电磁场的能量守恒定律上式表明单位时间V内增加的电磁能量和损耗的能量只能从闭合面S外流进来。于是是穿出S的功率。电磁场能量守恒定律，也称为坡印亭定理的微分形式为对应的积分形式是2024/7/12电磁场的能量守恒定律n n当S在无限远处时有n n若V内有局外场时，因则代入坡印亭定理，故有和这便是普遍情况下的坡印亭定理。2024/7/12坡印亭矢量能量密度矢量n n是穿出S的功率，则是穿出单位面积的功率，定义称为坡印亭矢量，即电磁场的能量密度矢量或功率流。这是一个表示电磁能流传播的重要物理量，E、H、S三者相互垂直。2024/7/12坡印亭矢量能量密度矢量若场域V内无传导电流，则有称为电磁能流的连续性方程，它与定理连续性方程相对应。2024/7/12应用矢量恒等式代入得正弦场的复数坡印亭矢量与复功率2024/7/12正弦场的复数坡印亭矢量与复功率或应用高斯散度定理，可得左端是流入的功率，右端实部是损耗功率，虚部是乘以磁场能量与电场能量的有效值之差。2024/7/12正弦场的复数坡印亭矢量与复功率于是，复功率为复数坡印亭矢量有功功率（平均功率）为其中是坡印亭矢量的平均值。而无功功率则是能量转换的量度，即2024/7/12正弦场的复数坡印亭矢量与复功率穿入的复功率和有功功率及无功功率组成功率三角形。2024/7/12例题例题n n设同轴线内导体的半径为设同轴线内导体的半径为 ，外导体的，外导体的内外半径分别为内外半径分别为 和和 ，其电导率为，其电导率为 ，内外导体中载有等值而异号的电流，内外导体中载有等值而异号的电流I，两导体间的电压为两导体间的电压为U，其中填充介质的介其中填充介质的介电常数为电常数为 。试求同轴线传输的功率及。试求同轴线传输的功率及导体中的损耗功率。导体中的损耗功率。2024/7/12例题例题r =0时Si i=0。2024/7/12例题例题r =r3 3时Se e=0。传输能量的S分量其中Q0是单位长度导线所带的电荷。2024/7/12例题例题虽然P=U I在形式上与电路的结果相同，但能量不是在导线中传输的，而是在介质中传输的，导线只是引导能量传输的方向，好象导游小姐，导线输能是小姐导游。介质中内导体附近的场为2024/7/12其中内导体的功耗是介质传输的能量通过其表面流入的。同样，在外导体表面有例题例题2024/7/12例题例题n n求上求上例例中同轴线介质中的场中同轴线介质中的场因问题与方位角无关，故电势满足得2024/7/12例题例题由边界条件和可知，Et t=Ez z与z无关，故有解得则故若取且则2024/7/12例题例题故由得因此2024/7/12例题例题内外导体表面的电荷面密度分别为内外导体表面单位长度的电荷量分别为2024/7/12例题例题可见，与静电场不同，载流同轴线内外导体表面上的电荷分布并不均匀，而且与z成正比，正是由于它在z方向上的变化，才在导线内形成了切向即z方向的电场，从而引起电流的流动。2024/7/12应用麦克斯韦方程组直接求解电磁场很困难，与静态场一样，引入势函数间接求解。由引入动态矢量势A，即或电磁场的矢量势和标量势2024/7/12电磁场的矢量势和标量势则得故2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程n n由前面论述可知，n nMaxwell方程组中n n已经使用了两个n n方程，剩余两个n n方程；2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程即由即2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程可见未规定A的散度，A和都不惟一，因对任意标量函数f，对应同一电磁场，有故必须规定A的散度，若选择则动态势与场源的关系简单，A和也分开了，分别依赖于电流和电荷密度，方程形式也对称。这称为洛仑兹条件。2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程于是微分方程简化为这是动态势的波动方程，称为达朗贝尔方程。因J和由联系着，故在实际应用中，由J求A则得到B，再由洛仑兹条件求得，从而得到E。2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程在无源区，达朗贝尔方程变为齐次的。静态场退化为势函数的拉普拉斯方程。对正弦电磁场，有称为波数。这是动态势的亥姆霍兹方程。2024/7/12洛仑兹条件与达朗贝尔方程洛仑兹条件为可得正弦电磁场分别为对于无源区，有实际上，这时电磁场可直接由电磁场的齐次亥姆霍兹方程求出。2024/7/121、达朗贝尔方程的解推迟势电磁波的传播具有一定的速度，故传播一段距离电磁波的传播具有一定的速度，故传播一段距离需要一定的时间。需要一定的时间。距离波源为距离波源为R R的观察点，某一时刻的势函数是由的观察点，某一时刻的势函数是由较早时刻较早时刻的波源所决定。这表明电磁作的波源所决定。这表明电磁作用是以有限的速度传递的。用是以有限的速度传递的。在真空中电磁波的速度就是光速在真空中电磁波的速度就是光速c c。由于观察点处的电磁场决定于较早时刻的场源，由于观察点处的电磁场决定于较早时刻的场源，因此，场点处的标量势因此，场点处的标量势 和矢量势和矢量势A A称为称为推迟势推迟势推迟势推迟势。2024/7/12下面求推迟势。下面求推迟势。下面求推迟势。下面求推迟势。先考虑某一体积元内变化电荷所产生的标量势。先考虑某一体积元内变化电荷所产生的标量势。设坐标原点处有一变化的点电荷设坐标原点处有一变化的点电荷，其密度，其密度为为，于是标量势所满足的达朗贝，于是标量势所满足的达朗贝尔方程可表示为尔方程可表示为其中其中1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12由于点电荷的势函数具有球对称性，则由于点电荷的势函数具有球对称性，则 仅为仅为r r和和时间时间t t 的函数，而与极角和方位角无关。因此，的函数，而与极角和方位角无关。因此，上式用球坐标可以表示为上式用球坐标可以表示为除原点外，即除原点外，即处，处，满足齐次波动方程满足齐次波动方程1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12上式又可以写为上式又可以写为上式又可以写为上式又可以写为该式是关于该式是关于该式是关于该式是关于 的一维波动方程，其解为达朗的一维波动方程，其解为达朗的一维波动方程，其解为达朗的一维波动方程，其解为达朗贝尔公式贝尔公式贝尔公式贝尔公式 ，即，即，即，即1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势回忆：数学物理方法2024/7/12式中式中是以速度是以速度v v沿沿+r r方向离开波源的球面方向离开波源的球面波，而波，而是以速度是以速度v v沿沿-r r方向朝着波源会聚方向朝着波源会聚的球面波。的球面波。对于辐射问题，一般只需考虑沿对于辐射问题，一般只需考虑沿+r r方方向行进的球面波。向行进的球面波。将将 的宗量改为的宗量改为 ，则，则 式中式中 也是也是r r、t t的函数，它的具体形的函数，它的具体形式由场源激发时的条件所决定。式由场源激发时的条件所决定。1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12根据静电势的泊松方程根据静电势的泊松方程的解的解 可将结论推广到时变场，可以推想可将结论推广到时变场，可以推想 的解应为的解应为证明过程如下证明过程如下:作一个半径为作一个半径为的小球包围原点，并在小球内计算的小球包围原点，并在小球内计算下列积分下列积分 1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12令令令令 ，则有，则有，则有，则有 ，上式中第二项趋，上式中第二项趋，上式中第二项趋，上式中第二项趋近于零，而第一项则为近于零，而第一项则为近于零，而第一项则为近于零，而第一项则为 考虑到考虑到考虑到考虑到则则则则1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12对于在有限区域对于在有限区域对于在有限区域对于在有限区域V V V V内连续分布的变化电荷，电荷内连续分布的变化电荷，电荷内连续分布的变化电荷，电荷内连续分布的变化电荷，电荷元元元元 在在在在P P点所激发的标量势为点所激发的标量势为点所激发的标量势为点所激发的标量势为 根据场的迭加原理，可得根据场的迭加原理，可得根据场的迭加原理，可得根据场的迭加原理，可得 内所有电荷在场点所内所有电荷在场点所内所有电荷在场点所内所有电荷在场点所激发的总标量势为激发的总标量势为激发的总标量势为激发的总标量势为 1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12类似地，类似地，类似地，类似地，矢量势矢量势矢量势矢量势A A在在在在有限区域有限区域有限区域有限区域 内连续分布的变化内连续分布的变化内连续分布的变化内连续分布的变化电流在场点所激发的矢量势应为电流在场点所激发的矢量势应为电流在场点所激发的矢量势应为电流在场点所激发的矢量势应为 对于正弦电磁波对于正弦电磁波对于正弦电磁波对于正弦电磁波1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解推迟势推迟势2024/7/12如果波源变化较快或者场点距离波源较远，则推如果波源变化较快或者场点距离波源较远，则推迟作用显著；反之，若波源变化缓慢或场点距离迟作用显著；反之，若波源变化缓慢或场点距离波源较近，虽有推迟作用但不明显。波源较近，虽有推迟作用但不明显。若若 ，可不考虑推迟作用。此，可不考虑推迟作用。此时有时有满足上述条件的电磁场称为似稳电磁场，也称为满足上述条件的电磁场称为似稳电磁场，也称为缓变场或准静态场缓变场或准静态场 2、似稳电磁场和似稳条件、似稳电磁场和似稳条件2024/7/12近区近区近区近区 近区的电磁波是束缚电磁波；频率随其场域的扩近区的电磁波是束缚电磁波；频率随其场域的扩大而降低。大而降低。感应区感应区感应区感应区 远区远区远区远区远区的电磁波是自由电磁波。远区的电磁波是自由电磁波。远区的电磁波是自由电磁波。远区的电磁波是自由电磁波。对于似稳场或近区场可不计推迟作用；而对于迅对于似稳场或近区场可不计推迟作用；而对于迅对于似稳场或近区场可不计推迟作用；而对于迅对于似稳场或近区场可不计推迟作用；而对于迅变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用。变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用。变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用。变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用。2、似稳电磁场和似稳条件、似稳电磁场和似稳条件2024/7/12似稳场或近区场的动态标量势和矢量势可分别表似稳场或近区场的动态标量势和矢量势可分别表示为示为 对对于于场场源源随随时时间间按按正正弦弦规规律律变变化化的的似似稳稳场场或或近近区区场，则有场，则有2、似稳电磁场和似稳条件、似稳电磁场和似稳条件2024/7/12 在在无无界界的的导导电电媒媒质质中中的的似似稳稳电电场场必必将将引引起起传传导导电电流流密密度度 和和位位移移电电流流密密度度 。对对麦克斯韦第一方程麦克斯韦第一方程 取散度，并考虑到第四方程，可得取散度，并考虑到第四方程，可得 其解为其解为 式式中中 称称为为弛弛豫豫时时间间。在在时时变变场场的的情情形形下下，与与静静电电场场的的情情形形相相同同，导导电电媒媒质质内内部没有自由电荷部没有自由电荷 。3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12 由由于于导导电电媒媒质质中中似似稳稳场场变变化化缓缓慢慢，或或正正弦弦似似稳稳场场的的频频率率很很低低，有有 或或 ，则则导导电电媒媒质质中中的的位位移移电电流流可可以以忽忽略略，并并且且导导电电媒媒质质中中的的电电荷荷密密度度 ，于于是是导导电电媒媒质质中中的的似似稳稳电电磁场方程组可表示为磁场方程组可表示为3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12 对对于于如如图图所所示示的的似似稳稳场场中中的的一一个个由由电电阻阻R R、电电感感L L和和电电容容C C所所组组成成的的串串联联电电路路，似似稳稳条条件件很很容容易易满满足足。可可由由似似稳稳场场的的方方程程得得到到似似稳稳电电路路方方程程。似稳场的场源中的传导电流密度为似稳场的场源中的传导电流密度为3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12上式右端第一项中的被积式是长为上式右端第一项中的被积式是长为l l的电路的电阻，故的电路的电阻，故积分为电路的总电阻。积分为电路的总电阻。右端第二项是动态标量势梯度的线积分，积分数值与右端第二项是动态标量势梯度的线积分，积分数值与路径无关，故只在电容器内部积分，即认为电场全部路径无关，故只在电容器内部积分，即认为电场全部集中于电容器内，故该项等于电容器极板间的电压，集中于电容器内，故该项等于电容器极板间的电压，即即。右端第三项，由于电容器极板间的距离很小而近似于闭右端第三项，由于电容器极板间的距离很小而近似于闭合回路积分，而合回路积分，而A A的闭合回路积分是磁通，故该项是感的闭合回路积分是磁通，故该项是感应电动势。应电动势。3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12即即 这就是似稳电路方程。这就是似稳电路方程。在正弦电磁场的情况下，用复数表示上式则为在正弦电磁场的情况下，用复数表示上式则为此外，还可以得到类似的此外，还可以得到类似的节点电流定律节点电流定律。3、电磁理论与电路理论之间的关系、电磁理论与电路理论之间的关系2024/7/12