电磁场与电磁波第三章课件

本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 3.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力2.边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。由由1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数2.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：3.电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值4.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r，则，则若若选择点点O为电位参考点，即位参考点，即 ，则 在球坐在球坐标系中，取极系中，取极轴与与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则有有 在在圆柱坐柱坐标系中，取系中，取 与与x 轴方向一致，即方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。xyzL-L 解解 采用采用圆柱坐柱坐标系，令系，令线电荷与荷与 z 轴相重合，中点位于轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限可得到无限长直直线电荷的荷的电位。当位。当 时，上式可写，上式可写为 当当 时，上式，上式变为无无穷大，大，这是因是因为电荷不是分布在有限区荷不是分布在有限区域内，而将域内，而将电位参考点位参考点选在无在无穷远点之故。点之故。这时可在上式中加上可在上式中加上一个任意常数，一个任意常数，则有有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程6.静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即常数，常数，例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。(6)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(5)由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q；(3)由由 得到得到E;(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q；计算电容的方法一计算电容的方法一：(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的方法二计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(4)由由 得到得到 ;(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地可近似地认为电荷分荷分别均匀分布在两均匀分布在两导线的表面上。的表面上。应用高斯定理和叠加原用高斯定理和叠加原理，可得到两理，可得到两导线之之间的平面上任一点的平面上任一点P 的的电场强强度度为 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。两两导线间的的电位差位差故故单位位长度的度的电容容为 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外内外导体体间的的电位差位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外用高斯定理可得到内外导体体间任一点的任一点的电场强强度度为故得同故得同轴线单位位长度的度的电容容为同轴线同轴线 2.部份电容部份电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。在在由由N个个导导体体组组成成的的系系统统中中，由由于于电电位位与与各各导导体体所所带带的的电电荷荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为之间成线性关系，所以，各导体的电位为式中：式中：自电位系数自电位系数 互电位系数互电位系数（1）电位系数电位系数 i j 在数在数值上等于第上等于第i 个个导体上的体上的总电量量为一个一个单位、而其余位、而其余 导体上的体上的总电量都量都为零零时，第，第 j 个个导体上的体上的电位，即位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j=j i。i j 0；电位系数的特点电位系数的特点：若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 式中：式中：自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数（2）电容系数电容系数 i j 在数在数值上等于第上等于第 j个个导体上的体上的电位位为一个一个单位、而其余位、而其余导 体接地体接地时，第第 i 个个导体上的体上的电量，即量，即 i j 只与各只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及体的形状、尺寸、相互位置以及导体周体周围的介的介质 参数有关，而与各参数有关，而与各导体的体的电位和位和带电量无关；量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j=j i。i i 0、；电容系数的特点：电容系数的特点：将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：（3）部分电容部分电容 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容 Ci i 在数在数值上等于全部上等于全部导体的体的电位都位都为一个一个单位位时，第第 i 个个导 体上的体上的电量；量；Ci j 只与各只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及体的形状、尺寸、相互位置以及导体周体周围的介的介质 参数有关，而与各参数有关，而与各导体的体的电位和位和带电量无关；量无关；具有对称性，即具有对称性，即Ci j=Cj i。Ci j 0；Ci j 在数在数值上等于第上等于第 j 个个导体的体的电位位为一个一个单位、其余位、其余 导体都接地体都接地时，第第 i 个个导体上的体上的电量；量；部分电容的特点部分电容的特点：在多在多导体系体系统中，把其中任意两中，把其中任意两个个导体作体作为电容器的两个容器的两个电极，极，设在在这两个两个电极极间加上加上电压U，极板上所，极板上所带电荷分荷分别为 ，则比比值 称称为这两个两个导体体间的等效的等效电容。容。（4）等效电容等效电容如如图所示，有三个部分所示，有三个部分电容容导线 1 和和 2 间的等效的等效电容容为导线 1 和大地和大地间的等效的等效电容容为导线 2 和大地和大地间的等效的等效电容容为1 12 2大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 1.静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为、电位为 。充充电过程中某一程中某一时刻的刻的电荷量荷量为q、电位为、电位为。(01)当当增加为增加为(+d)时，外电源做功为时，外电源做功为:(q d)。对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中：2.电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有故故 推证推证：0S 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。解：解：方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力往往往往是是非非常常困困难难的的，因因此此通通常常采采用用虚虚位位移移法法来来计算静电力。计算静电力。虚位移法：虚位移法：假设第假设第i 个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi 的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFi dgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力1.各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量提供的能量系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2.各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。不变不变q不变不变所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为由由 可求得介质片受到的可求得介质片受到的静电力为静电力为 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块介，用一块介质片（宽度为质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别：（1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度1.基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；说明说明：媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如2 1、且、且 290，则则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面；若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。静电场静电场恒定电场恒定电场恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、1 和和 2、2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。解解：极极板板是是理理想想导导体体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2、电导率为、电导率为 1 和和 2。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1 （1）设同同轴电缆中中单位位长度的径向度的径向电流流为I,则由由 可得可得电流密度流密度介质中的电场介质中的电场 解解 电流由内流由内导体流向外体流向外导体，在分界面上只有法向分量，体，在分界面上只有法向分量，所以所以电流密度成流密度成轴对称分布。可先假称分布。可先假设电流流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。故两种介故两种介质中的中的电流密度和流密度和电场强强度分度分别为由于由于于是得到于是得到 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏电导漏电导(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5)求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。计算电导的方法一计算电导的方法一：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出两导体，求出两导体间电流；间电流；(6)求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。方程通解为方程通解为例例3.2.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上，由两个半径为由两个半径为r1 和和 r2 的圆的圆弧和夹角为弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。解：解：设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向方向流动，而且电流密度是随流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是变量只是变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0电流密度电流密度两电极之间的两电极之间的电流电流故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为所以所以本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析微分形式微分形式:1.基本方程基本方程2.边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式:或或3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因为为只只规规定定了了它它的的旋旋度度，没没有有规规定定其其散散度度造造成成的的。为为了了得得到到确确定定的的A，可可以以对对A的的散散度度加加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。1.恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：面电流面电流：由此可得出由此可得出 例例 3.3.1 求求小小圆圆环环电电流流回回路路的的远远区区矢矢量量磁磁位位与与磁磁场场。小小圆圆形形回回路的半径为路的半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I。解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性将不失一般性。小圆环电流小圆环电流aIxzyrRIPO对于于远区，有区，有r a，所以，所以由于在由于在 =0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成于是得到于是得到式中式中S=a 2是小是小圆环的面的面积。载流小流小圆环可看作磁偶极子，可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），（或磁偶极矩），则或或 解解：先求长度为先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与与计计算算无无限限长长线线电电荷荷的的电电位位一一样样，令令 可可得得到到无无限限长长线线电电流流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L2.恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一一般般情情况况下下，恒恒定定磁磁场场只只能能引引入入磁磁矢矢位位来来描描述述，但但在在无无传传导导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即即在在无无传传导导电电流流（J0）的的空空间间中中，可可以以引引入入一一个个标标量量位位函函数数来来描述磁场。描述磁场。标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程将将 代入代入等效磁荷体密度等效磁荷体密度 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式和和或或和和式中：式中：等效磁荷面密度等效磁荷面密度静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较静电位静电位 0 P磁标位磁标位 m 0m当当r l 时时，可可将将磁磁柱柱体体等等效效成成磁磁偶偶极极子子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有 解解：M0为为常常数数，m=0，柱柱内内没没有有磁磁荷荷。在在柱柱的的两两个个端端面面上上，磁化磁荷为磁化磁荷为R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半半径径为为a、长长为为l 的的圆圆柱柱永永磁磁体体，沿沿轴轴向向均均匀匀磁磁化化，其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。1.磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路粗回路 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。外自感外自感2.自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L=Li+Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。自感的特点自感的特点：解解：先求内导体的内自感。设同轴先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I，由安培环路定理，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为的磁通为 例例3.3.4 求求同同轴轴线线单单位位长长度度的的自自感感。设设内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体厚度可忽略不计，其半径为厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。则则故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为 例例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为径为a，两导线的间距为，两导线的间距为D，且，且 D a。导线及周围媒质的磁。导线及周围媒质的磁导率为导率为0。穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I。由。由于于D a，故，故可近似地可近似地认为导线中的中的电流是均匀分布的。流是均匀分布的。应用安培用安培环路定路定理和叠加原理，可得到两理和叠加原理，可得到两导线之之间的的平面上任一点平面上任一点P 的磁感的磁感应强强度度为PII于是得到平行双线传输线单位长度的外自感于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数比例系数称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。3.互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即满足互易关系，即M12=M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。互感的特点：互感的特点：4.纽曼公式纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路 C1 和回路和回路 C2，回路回路 C1中的电流中的电流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一点产生的矢量磁位点产生的矢量磁位回路回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的磁场与回路产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式纽曼公式同理同理故得故得由由图中可知中可知长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为 例例3.3.7 如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和和 C2，半径分别为半径分别为a1和和 a2，中心相距为，中心相距为d。求它们之间的互感。求它们之间的互感。于是有于是有 解解 利用纽曼公式来计算，则有利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈两个平行且共轴的线圈式中式中=21为 与与 之之间的的夹角，角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且且 若若d a1，则，则于是于是 一般情况下，上述一般情况下，上述积分只能用分只能用椭圆积分来表示。但是若分来表示。但是若d a1或或 d a2 时，可，可进行近似行近似计算。算。3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1.磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。设回路从零开始充电，最终的电流为设回路从零开始充电，最终的电流为 I、交链的磁链为、交链的磁链为。在在时刻刻 t 的的电流流为i=I、磁链为、磁链为=。(01)根据能量守恒定律，此功也就是电流根据能量守恒定律，此功也就是电流为为 I 的载流回路具有的的载流回路具有的磁场能量磁场能量Wm，即，即对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为外加电压应为所做的功所做的功当当增加为增加为(+d)时，回路中的感应电动势时，回路中的感应电动势:对于对于N 个载流回路，则有个载流回路，则有对于体分布电流，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路例如，对于两个电流回路 C1 和回路和回路C2，有，有回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能2.磁场能量密度磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有若电流分布在有限区域内，当闭合面若电流分布在有限区域内，当闭合面S无无限扩大时，则有限扩大时，则有 故故 推证推证：S 例例3.3.8 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a，外导体的内、外半径外导体的内、外半径分别为分别为 b 和和 c，如图所示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。单位长度储存的磁场能量与自感。解解：由安培环路定理，得由安培环路定理，得三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感单位长度的总自感内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感3.3.5 磁场力磁场力 假定第假定第i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi 。此时，。此时，磁场力做功磁场力做功d AFi dgi，系统的能量增加，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，。根据能量守恒定律，有有式中式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。回路交链的磁通维持不变。虚位移原理虚位移原理1.各回路电流维持不变各回路电流维持不变 若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量量 即即于是有于是有故得到故得到 不变不变系统增加的磁能系统增加的磁能 2.各回路的磁通不变各回路的磁通不变故得到故得到式中的式中的“”号表示号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的的。若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即连接的电源不对回路输入能量，即 dWS0，因此，因此不变不变 例例3.3.9 如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N 匝线圈的匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S，平均长度分，平均长度分别为别为 l1 和和 l2。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x。设线圈中的电流为设线圈中的电流为I，铁轭和衔铁的磁导率为，铁轭和衔铁的磁导率为 。若忽略漏磁和。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。解解 在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通 不变，不变，则则B 和和H 不变，储存在铁轭和衔铁中的磁不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁电磁铁空气隙中的空气隙中的磁场强度磁场强度变若采用式若采用式 计算，由储存在系统中的计算，由储存在系统中的磁场能量磁场能量由于由于 和和 ，考虑到，考虑到 ，可得到，可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定理，有根据安培环路定理，有3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容本节内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界位函数值，而另一部分边界面面S2 上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）自然边界条件自然边界条件（无界空间）（无界空间）周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述惟一性定理的证明惟一性定理的证明反证法反证法：假设解不惟一，则有两个位函数：假设解不惟一，则有两个位函数和和 在在场域域V内内满足同足同样的方程，即的方程，即且在且在边界面界面S 上有上有令令 ，则在在场域域V内内且在且在边界面界面S 上上满足同足同样的的边界条件。界条件。或或或或由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一于第一类边界条件：界条件：对于第二于第二类边界条件：若界条件：若 和和 取同一点取同一点Q为参考点参考点，则对于第三于第三类边界条件：界条件：本节内容本节内容 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介