第06讲-矩阵特征值与特征向量的计算课件

矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量7/12/2024矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题7/12/2024最大特征值的幂法原理最大特征值的幂法原理7/12/2024幂法幂法7/12/2024幂法的算法设计幂法的算法设计7/12/2024幂法的程序设计幂法的程序设计1clear allclcA=2-1 0;0 2-1;0-1 2;n=3;epsilon=1.0e-3;N=20;x=0;0;1;k=1;mu=0;7/12/2024幂法的程序设计幂法的程序设计2while kN alpha,r=max(abs(x);y=x/alpha;x=A*y;lambda=x(r);if abs(lambda-mu)epsilon return;end k=k+1;mu=lambda;end7/12/2024重特征值问题重特征值问题l前若干个特征值相同；l前两个特征值绝对值相同、符号相反。7/12/2024幂法的局限幂法的局限l幂法只能求得绝对值最大的特征值和对应的特征向量。l用不同的初始向量迭代得到的结果是相同的。l即使在迭代向量中不包含“最大”特征向量的分量，由于舍入误差，最终得到的也是绝对值最大的特征值和对应的特征向量。7/12/2024幂法的加速与反幂法幂法的加速与反幂法l原点移位法lAitken加速l反幂法7/12/2024原点移位法原点移位法7/12/2024Aitken加速加速原理原理7/12/2024Aitken加速加速公式公式7/12/2024Aitken加速加速算法算法7/12/2024Aitken加速加速程序程序1n=3;A=2-1 0;0 2-1;0-1 2;x=0 0 1;eps=1.0e-6;N=100;k=1;alpha0=0;alpha1=0;lambda0=1;7/12/2024Aitken加速加速程序程序2while kN xm,r=max(abs(x);alpha=x(r);y=x/alpha;x=A*y;alpha2=x(r);lambda=alpha0-(alpha1-alpha0)2/(alpha2-2*alpha1+alpha0);if abs(lambda-lambda0)=epsilon)&(loop error imax=i;jmax=j;error=abs(A(i,j);end end end V=eye(n);phi=-atan2(2*A(imax,jmax),A(jmax,jmax)-A(imax,imax)/2;c=cos(phi);s=sin(phi);V(imax jmax,imax jmax)=c s;-s c;A=V*A*V;Q=Q*V;end7/12/2024矩阵乘法VAV的计算说明 7/12/2024QR方法方法7/12/2024矩阵的矩阵的QR分解分解直接对满阵A进行QR分解计算特征值，计算量较大。用Schmit方法进行矩阵的QR分解稳定性较差。7/12/2024Household变换变换7/12/2024利用利用Household变换变换化一般矩阵为拟上三角矩阵化一般矩阵为拟上三角矩阵7/12/2024Household变换算例变换算例clcclear allA=5 -2 2*sqrt(2)-3*sqrt(2)1 0 5/sqrt(2)-1/sqrt(2)0-sqrt(2)1 0 0 sqrt(2)-4 -1n=size(A,1);for k=1:n-1 x=A(k+1:end,k);y=zeros(n-k,1);y(1)=-sign(x(1)*norm(x);w=x-y;w=w/norm(w);H=eye(n-k)-2*w*w;H=eye(k)zeros(k,n-k)zeros(n-k,k)H;A=H*A*Hend7/12/2024Givens旋转变换旋转变换7/12/2024Householder变换实施变换实施(对称矩阵对称矩阵)7/12/2024Householder变换实施变换实施(一般矩阵一般矩阵 )7/12/2024实对称三对角矩阵的特征多项式实对称三对角矩阵的特征多项式7/12/2024Sturm序列序列7/12/2024同号数同号数 7/12/2024同号数与特征值个数的关系同号数与特征值个数的关系7/12/2024