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西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲证券投资学证券投资学第七讲第七讲衍生证券定价之四：期权定价衍生证券定价之四：期权定价西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 王晓芳教授王晓芳教授王晓芳教授王晓芳教授1证券投资学第七讲衍生证券定价之四：期权定价西安交通大学西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲期权期权期权期权(选择权选择权选择权选择权)的概念的概念的概念的概念 期权期权(选择权选择权option)是是赋予其持有者赋予其持有者在规定的时间范围内在规定的时间范围内有权利但无义务有权利但无义务按事先双方约定的价格按事先双方约定的价格向另一方购买或出售向另一方购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产）一定数量某种资产（称为标的资产）的权利。的权利。2期权(选择权)的概念 期权(选择权option)是2西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲对于期权的买者来说，对于期权的买者来说，有按合约实施交易的权利而没有义务。有按合约实施交易的权利而没有义务。对于期权的卖者来说，对于期权的卖者来说，期权合约赋予他的只有义务而没有权利。期权合约赋予他的只有义务而没有权利。期权价格或期权费，期权价格或期权费，期权买者在合约生效时支付给期权卖者的费用作期权买者在合约生效时支付给期权卖者的费用作为给期权卖者承担义务的报酬为给期权卖者承担义务的报酬期权的概念期权的概念期权的概念期权的概念期权的权利、义务和期权价格期权的权利、义务和期权价格3对于期权的买者来说，期权的概念期权的权利、义务和期权价格3西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 期权期权期权期权(option)(option)(option)(option)分买权和卖权。分买权和卖权。分买权和卖权。分买权和卖权。买权买权买权买权是是是是一种赋予选择权持有人权利的契约，简称一种赋予选择权持有人权利的契约，简称一种赋予选择权持有人权利的契约，简称一种赋予选择权持有人权利的契约，简称买权。此契约规定，持有人有权在指定日买权。此契约规定，持有人有权在指定日买权。此契约规定，持有人有权在指定日买权。此契约规定，持有人有权在指定日期或指定日期前的任一天，以特定的价格期或指定日期前的任一天，以特定的价格期或指定日期前的任一天，以特定的价格期或指定日期前的任一天，以特定的价格购买特定的资产。也称购买特定的资产。也称购买特定的资产。也称购买特定的资产。也称看涨期权（看涨期权（看涨期权（看涨期权（callcallcallcall）。期权的购买者为获得这项权利需要支付一期权的购买者为获得这项权利需要支付一期权的购买者为获得这项权利需要支付一期权的购买者为获得这项权利需要支付一定的价格即期权费。定的价格即期权费。定的价格即期权费。定的价格即期权费。期权的概念期权的概念期权的概念期权的概念4 期权(option)分买权和卖权。买权是一种赋予选择西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 卖出选择权卖出选择权卖出选择权卖出选择权是其持有者在期权到期日是其持有者在期权到期日是其持有者在期权到期日是其持有者在期权到期日或到期日前的任一时间以特定的价格出售或到期日前的任一时间以特定的价格出售或到期日前的任一时间以特定的价格出售或到期日前的任一时间以特定的价格出售特定资产的权力。简称特定资产的权力。简称特定资产的权力。简称特定资产的权力。简称卖权卖权卖权卖权或或或或看跌期权看跌期权看跌期权看跌期权（putputputput）。期权的购买者为获得这项权利也。期权的购买者为获得这项权利也。期权的购买者为获得这项权利也。期权的购买者为获得这项权利也需要支付一定的期权费。需要支付一定的期权费。需要支付一定的期权费。需要支付一定的期权费。5 卖出选择权是其持有者在期权到期日或到期日前的任一时间以西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲买卖行为的施行称做买卖行为的施行称做买卖行为的施行称做买卖行为的施行称做“选择权的执行选择权的执行选择权的执行选择权的执行”。特定的资产特定的资产特定的资产特定的资产可以是股票、股价指数、债券、可以是股票、股价指数、债券、可以是股票、股价指数、债券、可以是股票、股价指数、债券、外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提到的特定资产将专指股票，称为到的特定资产将专指股票，称为到的特定资产将专指股票，称为到的特定资产将专指股票，称为“标的证券标的证券标的证券标的证券”或或或或“标的资产标的资产标的资产标的资产”。特定的价格特定的价格特定的价格特定的价格又称为又称为又称为又称为“执行价格执行价格执行价格执行价格”：或或或或“敲定敲定敲定敲定价格价格价格价格”若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权属属属属欧式选择权欧式选择权欧式选择权欧式选择权，可在到期日或之前成交，属，可在到期日或之前成交，属，可在到期日或之前成交，属，可在到期日或之前成交，属于于于于美式期权美式期权美式期权美式期权。选择权的市场价格称为选择权的市场价格称为选择权的市场价格称为选择权的市场价格称为选择权的价格选择权的价格选择权的价格选择权的价格。6 买卖行为的施行称做“选择权的执行”。6西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和美式期权：美式期权：欧式期权没有行权时间选择权，只能在到期日行欧式期权没有行权时间选择权，只能在到期日行权。权。美式期权有行权时间选择权，可选择在到期日或美式期权有行权时间选择权，可选择在到期日或到期前的一定时间范围内行权。到期前的一定时间范围内行权。期权的分类期权的分类期权的分类期权的分类7按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和期权的分类7西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲权利特征权利特征执行时间执行时间看涨期权（买权）看涨期权（买权）看跌期权（卖权）看跌期权（卖权）标准欧式期权标准欧式期权欧式看涨期权（欧式买欧式看涨期权（欧式买权）权）欧式看跌期权（欧式卖权）欧式看跌期权（欧式卖权）标准美式期权标准美式期权美式看涨期权（美式买美式看涨期权（美式买权）权）美式看跌期权（美式卖权）美式看跌期权（美式卖权）标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。期权的分类期权的分类期权的分类期权的分类按权利特征划分按执行时间划分8 权利特征看涨期权（买权）看跌期权（卖权）标准西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲标准欧式买权标准欧式买权记记T为到期日，为到期日，X为执行价，为执行价，S为标的资产的为标的资产的当前价格，当前价格，ST为标的资产到期日的价格，为标的资产到期日的价格，c和和p依次表示标准欧式买权和卖权的期权费。依次表示标准欧式买权和卖权的期权费。买权持有者在到期日买权持有者在到期日T有权利但无义务以价有权利但无义务以价格格X从空头方卖入标的资产。标的资产到期日的从空头方卖入标的资产。标的资产到期日的市价为市价为ST。买权持有者应如何行权呢？买权持有者应如何行权呢？标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益9标准欧式买权标准欧式期权行权决策与损益9西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益10标准欧式期权行权决策与损益10西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲标准欧式买权标准欧式买权假设无交易成本。假设无交易成本。若若STX持权者会行权，因为以持权者会行权，因为以X买入标的买入标的再以市场价再以市场价ST卖出可获利卖出可获利STX。持权人获得。持权人获得收入。若收入。若STX，持权者不会行权，因为行权会，持权者不会行权，因为行权会遭受损失。综合这两种情况，可看出买权持有遭受损失。综合这两种情况，可看出买权持有者到期回报可表达为：者到期回报可表达为：maxSTX,O即即STX和和O中的较大者。若考虑期权费中的较大者。若考虑期权费c，则买权持有者的盈亏为：则买权持有者的盈亏为：maxSTX,Oc=maxSTXc,c标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益11标准欧式买权标准欧式期权行权决策与损益11西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲看涨期权空头的回报和盈亏：看涨期权空头的回报和盈亏：由于持权者的所得就是让权者的损失，故由于持权者的所得就是让权者的损失，故让权者到期回报为：让权者到期回报为：maxSTX,O=maxXST,O，若考察期权费若考察期权费c，让权者的盈亏为：，让权者的盈亏为：maxSTXc,c=maxXcST，c标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益12看涨期权空头的回报和盈亏：标准欧式期权行权决策与损益1西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲看跌期权多头的回报和盈亏：看跌期权多头的回报和盈亏：持权者在到期日当持权者在到期日当XST时行权，时行权，XST时不行权，到期回报为：时不行权，到期回报为：maxXST,0若考虑期权费若考虑期权费p，持有者的盈亏为：，持有者的盈亏为：maxXSTp,p标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益13看跌期权多头的回报和盈亏：标准欧式期权行权决策与损益13西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲看跌期权空头的回报和盈亏：看跌期权空头的回报和盈亏：maxSTX,0若考虑期权费若考虑期权费p，让权者的盈亏为：，让权者的盈亏为：maxSTpX,p标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益标准欧式期权行权决策与损益14看跌期权空头的回报和盈亏：标准欧式期权行权决策与损益14西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲看涨期权看涨期权S(当前价格当前价格)X（执行价）（执行价）时称为实值期权，内在价时称为实值期权，内在价 值（立即行权带来的价值）大于零值（立即行权带来的价值）大于零 S=X时称为平价期权，内在价值等于零时称为平价期权，内在价值等于零SS时称为实值期权，内在价值大于零时称为实值期权，内在价值大于零X=S时称为平价期权，时称为平价期权，内在价值等于零内在价值等于零XS时称为虚值期权，时称为虚值期权，内在价值小于零内在价值小于零实值、评价与虚值期权实值、评价与虚值期权实值、评价与虚值期权实值、评价与虚值期权期权价值构成：期权价值等于时间价值加内在价值15看涨期权实值、评价与虚值期权期权价值构成：期权价值等于时间西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 标的资产到期日之前没有收标的资产到期日之前没有收益的标准美式看涨期权多头提前益的标准美式看涨期权多头提前行权不合理行权不合理 其它情况下的标准美式期权提其它情况下的标准美式期权提前行权可能是合理的。前行权可能是合理的。标准美式期权行权时间决策标准美式期权行权时间决策标准美式期权行权时间决策标准美式期权行权时间决策16 标的资产到期日之前没有收益的标准美式看涨期权多头提前西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 显显而而易易见见，欧欧式式期期权权在在到到期期日日的的价价格格很很容容易确定。易确定。因因为为从从现现在在看看在在到到期期日日，标标的的资资产产的的价价格格会会出出现现两两种种价价格格变变动动，或或者者上上升升或或者者下下降降。当当上上升升高高过过执执行行价价格格时时，显显然然其其股股票票价价格格与与执执行行价价格格的的差差额额即即为为看看涨涨期期权权在在到到期期日日的的价价格格。若若低低于于执执行行价价格格，买买权权执执行行者者就就会会放放弃弃执执行行，买买权价格权价格=0=0。期权的价格期权的价格期权的价格期权的价格17 显而易见，欧式期权在到期日的价格很容易确定。期权的价西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲K=K=执行价格执行价格S*S*到期日标的股票之市场价格到期日标的股票之市场价格C*C*到期日时买进一股标的股票的选择权的价到期日时买进一股标的股票的选择权的价 格。格。则有则有：S*K S*K 若若S*S*K K C*=C*=0 0 若若S*KS*K 或或C*=MAXC*=MAX（0 0，S*KS*K）18 K=执行价格18西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 常用赛马上的术语，当常用赛马上的术语，当S*S*K K，称该买权称该买权以以“赌赢赌赢“收场，当收场，当S*S*K K为赌输。为赌输。若是卖权。执行者同样可选择是否行使权若是卖权。执行者同样可选择是否行使权力。若力。若P*P*代表卖权在到期日的价值则有：代表卖权在到期日的价值则有：0 0 若若S*KS*K P*=P*=KS*KS*若若S*S*K K 或是或是P*=MAXP*=MAX（0,KS*0,KS*）S*S*K K为赌赢。为赌赢。19 常用赛马上的术语，当S*K，称该买权以“赌赢“收场，西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 确定一买权或卖权在到期日的价格很确定一买权或卖权在到期日的价格很容易，但在到期日之前要确定其价格却相对容易，但在到期日之前要确定其价格却相对困难。困难。为了确定期权的价格，为了确定期权的价格，19731973年年BlackBlack和和ScholesScholes发表了标的资产在行权前不付红利发表了标的资产在行权前不付红利的欧式期权定价模型。其推导过程数学上复的欧式期权定价模型。其推导过程数学上复杂。在杂。在7070年代末，财务学教授开始研究二项年代末，财务学教授开始研究二项式方法，其目的在于简化式方法，其目的在于简化BlackBlack和和ScholesScholes定定价模型，同时也可以为美式期权定价。这两价模型，同时也可以为美式期权定价。这两个模型是最基本的期权定价模型，下面分别个模型是最基本的期权定价模型，下面分别介绍：介绍：20 确定一买权或卖权在到期日的价格很容易，但在到期日之前西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲1 1 1 1、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价模型、二项分布期权定价模型）模型、二项分布期权定价模型）模型、二项分布期权定价模型）模型、二项分布期权定价模型）二项式过程的描述二项式过程的描述二项式过程的描述二项式过程的描述 二项式期权定价模型所依据的股票价格变二项式期权定价模型所依据的股票价格变动过程如下所示：动过程如下所示：usus S S ds ds令令S S为标的资产的现行价格，假定过了一段时间为标的资产的现行价格，假定过了一段时间后，该价格可能上升为后，该价格可能上升为usus，也可能下跌至也可能下跌至dsds。可以把可以把u u理解为理解为“当资产增值时的当资产增值时的1+1+报酬率报酬率”，同样同样d d是是“资产贬值时的资产贬值时的1-1-报酬率报酬率”。211、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价模型、二项分布期权西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 假假定定对对该该资资产产有有一一单单期期的的买买权权，执执行行价价格格为为K K，当当它它于于下下一一期期到到期期时时，零零与与资资产产价价格格中中最最大大者者即即为为该该买买权权的的价价值值。现现今今的的买买权权价价格格为为C C，这这是我们试图要确定的。这种关系如下所示：是我们试图要确定的。这种关系如下所示：Cu=max(0,us-k)Cu=max(0,us-k)C C Cd=max(0,ds-k)Cd=max(0,ds-k)22 假定对该资产有一单期的买权，执行价格为K，当它于下一西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 构造等价资产组合构造等价资产组合构造等价资产组合构造等价资产组合(复制现金流复制现金流复制现金流复制现金流)构构造造等等价价资资产产组组合合的的目目的的是是通通过过无无风风险险借借/贷贷和和标标的的资资产产的的组组合合构构造造出出一一个个与与被被定定价价期期权权具具有有相相同同现现金金流流的的组组合合。运运用用套套利利原原理理可可知知，期期权权的的价价值值应应等等于于等等价价资资产产组组合合的价值。具体的构造如下：的价值。具体的构造如下：23 构造等价资产组合(复制现金流)23西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 假定存在着一种无风险资产，今天对此假定存在着一种无风险资产，今天对此资产投资的每一元，到了下一期即可得到资产投资的每一元，到了下一期即可得到R R元。元。毛利率毛利率R R实际上等于（实际上等于（1+1+利率），假如可以无利率），假如可以无限制地按限制地按R R的毛利率借入或贷出。借入或贷出的毛利率借入或贷出。借入或贷出某个数量的无风险资产与一定量的标的资产，某个数量的无风险资产与一定量的标的资产，可以形成一个投资组合。这个投资组合的收可以形成一个投资组合。这个投资组合的收益要恰好等于选择权的价值。（否则会出现益要恰好等于选择权的价值。（否则会出现套利）套利）24 假定存在着一种无风险资产，今天对此资产投资的每一元，西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 令该资产组合含有令该资产组合含有h h个单位的标的资产（风个单位的标的资产（风险资产），用险资产），用B B元投资的无风险资产，使股价在元投资的无风险资产，使股价在“上升上升”与与“下降下降”两种状态下都满足：两种状态下都满足：投资投资投资投资组合的价值组合的价值组合的价值组合的价值=选择权价值选择权价值选择权价值选择权价值，这样可复制出选择权。这样可复制出选择权。C Cd d解得解得：h=(us-k)/S(u-d)h=(us-k)/S(u-d)h=(us-k)/S(u-d)h=(us-k)/S(u-d)B=-d(us-k)/R(u-d)B=-d(us-k)/R(u-d)B=-d(us-k)/R(u-d)B=-d(us-k)/R(u-d)即：即：C Cu uh h h hus+RB=us-K (us+RB=us-K (us+RB=us-K (us+RB=us-K (上升状态上升状态)h h h hds+RB=O ds+RB=O ds+RB=O ds+RB=O （下降状态下降状态）25 令该资产组合含有h个单位的标的资产（风险资产），用B元西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 由由于于由由h h个个单单位位的的风风险险资资产产加加上上B B元元无无风风险险资资产产的的借借入入(因因为为B B是是负负数数)组组成成的的投投资资组组合合之之收收益益恰恰好好等等于于单单期期的的买买权权。因因此此，一一开开始始的的成成本也必须相等，亦即本也必须相等，亦即 C=hs+B 或或 C=(R-d)(us-k)/R(u-d)26 由于由h个单位的风险资产加上B元无风险资产的借入(因为西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲举例举例举例举例:设设设设u=1.5u=1.5u=1.5u=1.5，d=0.5d=0.5d=0.5d=0.5，R=1.10R=1.10R=1.10R=1.10，s=100s=100s=100s=100，下一期的下一期的下一期的下一期的s s s s可能升可能升可能升可能升至至至至150150150150，也可能跌至，也可能跌至，也可能跌至，也可能跌至50505050，且无风险利率为，且无风险利率为，且无风险利率为，且无风险利率为10%10%10%10%，K=100K=100K=100K=100。为这个期权定价。为这个期权定价。为这个期权定价。为这个期权定价。根据公式根据公式根据公式根据公式:h=(us-k)/s(u-d)h=(us-k)/s(u-d)h=(us-k)/s(u-d)h=(us-k)/s(u-d)=(1.5100-100)/100(1.5-0.5)=(1.5100-100)/100(1.5-0.5)=(1.5100-100)/100(1.5-0.5)=(1.5100-100)/100(1.5-0.5)=50/100 =50/100 =50/100 =50/100 =0.5 =0.5 =0.5 =0.5 B=-0.5(1.5100-100)/1.1(1.5-0.5)B=-0.5(1.5100-100)/1.1(1.5-0.5)B=-0.5(1.5100-100)/1.1(1.5-0.5)B=-0.5(1.5100-100)/1.1(1.5-0.5)=-25/1.1 =-25/1.1 =-25/1.1 =-25/1.1 =-22.73 =-22.73 =-22.73 =-22.73 C=hs+B C=hs+B C=hs+B C=hs+B =0.5100+(-22.73)=0.5100+(-22.73)=0.5100+(-22.73)=0.5100+(-22.73)=27.27 =27.27 =27.27 =27.27也可以直接根据公式也可以直接根据公式C=C=（R-dR-d）（us-kus-k）/R/R（u-du-d）得出）得出27举例:设u=1.5，d=0.5，R=1.10，s=100，下西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 下面将分析扩展至超过一期以后才到下面将分析扩展至超过一期以后才到期的买权，其中每一期都会有期的买权，其中每一期都会有u u和和d d的变动。的变动。同样地会有同样地会有usus和和dSdS两种可能的价格。所以，两种可能的价格。所以，第二期结束时可能出现的股价有三种。如第二期结束时可能出现的股价有三种。如下图下图:28 下面将分析扩展至超过一期以后才到期的买权，其中每一期都西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 uus us S uds ds dds Cuu Cu C Cud Cd Cdd29 西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 而对应于上述资产价格的买权价格的树状而对应于上述资产价格的买权价格的树状图如上。尽管多期的价格树状图节点多，但并图如上。尽管多期的价格树状图节点多，但并不会比单期问题更复杂。其差别在于不会比单期问题更复杂。其差别在于:多期问题多期问题的求解，要在每次解一个节点时，重复一次类的求解，要在每次解一个节点时，重复一次类似公式似公式。从价格树的右边开始，根据最终资。从价格树的右边开始，根据最终资产价格解出到期日买权价值，用公式产价格解出到期日买权价值，用公式求出前求出前一期的买权价值。一期的买权价值。30 而对应于上述资产价格的买权价格的树状图如上。尽管多期西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 关于二项式方法，有一个很重要的事实关于二项式方法，有一个很重要的事实:无论想评估一个欧式买权、卖权，还是任何其无论想评估一个欧式买权、卖权，还是任何其它衍生的证券，所采用的分析过程都一样。例它衍生的证券，所采用的分析过程都一样。例如，若想评估一个卖权，唯一差别就是把最终如，若想评估一个卖权，唯一差别就是把最终的卖权价值改为的卖权价值改为 max0max0，k-sk-s而不是而不是max0max0，s-s-kk，其余都一样。其余都一样。由公式可知，选择权的价值取决于最初的由公式可知，选择权的价值取决于最初的资产价格资产价格s s、执行价格执行价格k k、到期的期数，标的资到期的期数，标的资产上升下降的幅度产上升下降的幅度u u，d d，无风险利率无风险利率R R。31 关于二项式方法，有一个很重要的事实:无论想评估一个欧西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 假设在期权有效期内股票价格的变动只是单步或二步二叉树图的形式，我们只能得到期权价格的一个非常粗略的近似值。在实际中应用二叉树方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步，在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格的变动。30个时间步意味着最后有31个末端股票价格，并且230即大约10亿个可能的股票价格路径。32 假设在期权有效期内股票价格的变动只是单步或二步二叉树图的西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲2 2、BlackBlack和和ScholesScholes选择权定价理论选择权定价理论 及模型及模型 BlackBlackScholesScholes提出的期权提出的期权定价模型是用来对不付红利的欧定价模型是用来对不付红利的欧式期权定价的。式期权定价的。332、Black和Scholes选择权定价理论 Blac西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲布莱克舒尔斯期权定价公式其中，其中，模型表示为：模型表示为：S：标的资产的当前价值，标的资产的当前价值，T-t：距期权到期日的时间距期权到期日的时间：标的资产价格的自然对数方差：标的资产价格的自然对数方差k：期权执行价格期权执行价格r：期权有效期间的无风险利率期权有效期间的无风险利率N（d1）与与N（d2）分别为标的资产价格的自然对数小于分别为标的资产价格的自然对数小于d1的的概率分布，和标的资产价格的自然对数小于概率分布，和标的资产价格的自然对数小于d2的概率分布。的概率分布。34布莱克舒尔斯期权定价公式其中，模型表示为：S：标的资产的西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲使用该模型对期权定价的步骤为：使用该模型对期权定价的步骤为：第第1 1步：步：利用所需的数据求解利用所需的数据求解d1d1，d2d2。第第2 2步：步：利用标准正态分布函数的参变量，求出正利用标准正态分布函数的参变量，求出正态分布积分函数态分布积分函数N N（d1d1）与与N N（d2d2）的值。的值。N N（d1d1）为标的资产价格的自然对数小于为标的资产价格的自然对数小于d1d1的概率分布，的概率分布，N N（d2d2）为标的资产价格的为标的资产价格的自然对数小于自然对数小于d2d2的概率分布。的概率分布。35使用该模型对期权定价的步骤为：35西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲第第3 3步：步：计算出期权执行价格的现值计算出期权执行价格的现值,采用现值采用现值公式的连续时间形式：公式的连续时间形式：执行价格的现值执行价格的现值 如果一年复利一次，现值如果一年复利一次，现值=如果一年复利如果一年复利m m次，现值次，现值连续支付，连续支付，mm，现值，现值用近似计算用近似计算实际中可采实际中可采36第3步：计算出期权执行价格的现值,采用现值公式的连续时间形式西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲第第4 4步：步：运用运用Black-ScholesBlack-Scholes模型计算看涨期权的价值模型计算看涨期权的价值 Black-ScholesBlack-Scholes模型表明：期权价格是如下变量模型表明：期权价格是如下变量的函数：的函数：期权标的市场价格期权标的市场价格期权标的市场价格期权标的市场价格：标的价格越高，期权价格越高标的价格越高，期权价格越高市场价格的波动性（标准差）：市场价格的波动性（标准差）：市场价格的波动性（标准差）：市场价格的波动性（标准差）：标的价格变动越大，标的价格变动越大，期权价格越高期权价格越高期权执行价格：期权执行价格：期权执行价格：期权执行价格：期权执行价格越高，期权价格越低期权执行价格越高，期权价格越低距到期日期限：距到期日期限：距到期日期限：距到期日期限：距期满日期限越长，期权价格越高距期满日期限越长，期权价格越高无风险利率：无风险利率：无风险利率：无风险利率：无风险利率越高，期权价格越高无风险利率越高，期权价格越高37第4步：运用Black-Scholes模型计算看涨期权的价值西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 这里的变量：标的资产价格，期权执这里的变量：标的资产价格，期权执行价，期限都容易得到。无风险利率可以行价，期限都容易得到。无风险利率可以采用与期权具有相同到期日的政府债券的采用与期权具有相同到期日的政府债券的利率。只需要估计利率。只需要估计 。可采用历史股价数据。可采用历史股价数据计算历史方差计算历史方差38 这里的变量：标的资产价格，期权执行价，期限都容西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 BlackBlackScholesScholes模型只适用于看涨期权，模型只适用于看涨期权，而不适用于看跌期权。但看跌期权与看涨期权而不适用于看跌期权。但看跌期权与看涨期权有着平价关系，通过这种关系，可用看涨期权有着平价关系，通过这种关系，可用看涨期权的价格，推出相同标的物，相同剩余时间，相的价格，推出相同标的物，相同剩余时间，相同执行价格的看跌期权的价格。同执行价格的看跌期权的价格。看跌期权与看涨期权的平价关系，指看跌看跌期权与看涨期权的平价关系，指看跌期权的价格与看涨期权的价格，须维持在无套期权的价格与看涨期权的价格，须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系上。利机会的均衡水平的价格关系上。看跌期权价值模型看跌期权价值模型看跌期权价值模型看跌期权价值模型39 BlackScholes模型只适用于看涨期权，而西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 设看涨期权的价格为设看涨期权的价格为C C，看跌期权的价格为看跌期权的价格为P P，期权商品的执行价为期权商品的执行价为K K，标的资产的市场价格标的资产的市场价格为为S S，则看跌期权与看涨期权的平价关系为：则看跌期权与看涨期权的平价关系为：S SK+C-PK+C-P 或或 P PC-S+K C-S+K 考虑货币的时间价格，考虑货币的时间价格，式可变为式可变为:P PC-S+C-S+将看涨期权价格模型代入得：将看涨期权价格模型代入得：P PC-S+C-S+SNSN（d1d1）-N-N（d2d2）-S+-S+N N（-d2-d2）-SN(-d1)-SN(-d1)式即为看跌期权的式即为看跌期权的式即为看跌期权的式即为看跌期权的BlackBlackBlackBlackScholesScholesScholesScholes模型模型模型模型40 设看涨期权的价格为C，看跌期权的价格为P，期权商品的执西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲期权的价格由标的资产和金融市场相关的一些因素决定。期权的价格由标的资产和金融市场相关的一些因素决定。1 1、与标的资产相关的因素、与标的资产相关的因素2 2、与期权合约相关的因素、与期权合约相关的因素3 3、与金融市场相关的因素、与金融市场相关的因素 4 4、美式期权与欧式期权：、美式期权与欧式期权：5 5、期权价值决定因素总结、期权价值决定因素总结 期权价格的决定因素期权价格的决定因素期权价格的决定因素期权价格的决定因素41期权的价格由标的资产和金融市场相关的一些因素决定。1、与标的西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲（1 1）标的资产的当前价值）标的资产的当前价值 期权是一种价值取决于标的资产价值的资产。期权是一种价值取决于标的资产价值的资产。因此，标的资产当前价值的变化会影响该资产期因此，标的资产当前价值的变化会影响该资产期权的价值。由于看涨期权提供了以固定价格购买权的价值。由于看涨期权提供了以固定价格购买标的资产的权利。因此标的资产当前价值的上升标的资产的权利。因此标的资产当前价值的上升能够增加看涨期权的价值。看跌期权则恰好相反，能够增加看涨期权的价值。看跌期权则恰好相反，随着标的资产当前价值的上升，期权的价值将减随着标的资产当前价值的上升，期权的价值将减少。少。1.1.与标的资产相关的因素与标的资产相关的因素与标的资产相关的因素与标的资产相关的因素42（1）标的资产的当前价值1.与标的资产相关的因素42西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲（2 2）标的资产价值变化的方差）标的资产价值变化的方差 期权购买者获得了以固定价格买卖标的期权购买者获得了以固定价格买卖标的资产的权利。标的资产价值变动的幅度越大，资产的权利。标的资产价值变动的幅度越大，期权的价值越高。这一点对看涨和看跌期权期权的价值越高。这一点对看涨和看跌期权都是成立的。虽然风险（方差）增加导致期都是成立的。虽然风险（方差）增加导致期权价值上升这一点在直观上不易理解，但是权价值上升这一点在直观上不易理解，但是我们应当注意到，期权与其他证券不同，期我们应当注意到，期权与其他证券不同，期权购买者的损失最多不超过其购买期权所支权购买者的损失最多不超过其购买期权所支付的价格，但却能从标的资产剧烈的价格波付的价格，但却能从标的资产剧烈的价格波动中获得相当显著的收益。动中获得相当显著的收益。43（2）标的资产价值变化的方差43西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲（3 3）标的资产支付的红利）标的资产支付的红利 在期权的有效期内，如果标的资产支付在期权的有效期内，如果标的资产支付红利，则标的资产的价值就可能下跌。所以，红利，则标的资产的价值就可能下跌。所以，该资产看涨期权的价值是预期红利支付额的该资产看涨期权的价值是预期红利支付额的递减函数，而看跌期权的价值是预期红利支递减函数，而看跌期权的价值是预期红利支付额的递增函数。付额的递增函数。44（3）标的资产支付的红利44西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲（1 1）期权的执行价格）期权的执行价格 期权的一个关键特点就是执行价格。对期权的一个关键特点就是执行价格。对于看涨期权而言，持有者获得了以固定价格于看涨期权而言，持有者获得了以固定价格购买标的资产的权利，期权的价值随着执行购买标的资产的权利，期权的价值随着执行价格的上升而降低。而对看跌期权，因此持价格的上升而降低。而对看跌期权，因此持有者可以以固定价格出售标的资产，所以期有者可以以固定价格出售标的资产，所以期权的价值随着执行价格的上升而上升。权的价值随着执行价格的上升而上升。2.2.与期权合约相关的因素与期权合约相关的因素与期权合约相关的因素与期权合约相关的因素45（1）期权的执行价格2.与期权合约相关的因素45西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 随随着着距距离离期期权权到到期期日日时时间间的的增增加加，看看涨涨和和看看跌跌期期权权都都将将变变得得更更有有价价值值。距距离离到到期期日日时时间间越越长长，标标的的资资产产价价值值可可以以变变动动的的时时间间越越长长，因因此此两两种种类类型型的的期期权权价价值值都都会会上上涨涨。到到期期时时间间对对期期权权的的价价值值还还存存在在附附加加的的影影响响。对对于于看看涨涨期期权权，购购买买者者需需要要在在到到期期日日支支付付一一个个固固定定的的价价格格，随随着着期期权权有有效效期期的的延延长长，这这个个固固定定价价格格的的现现值值是是递递减减的的，从从而而增增加加了了看看涨涨期期权权的的价价值值，对对于于看看跌跌期期权权，在在到到期期日日以以前前执执行行价价格格卖卖出出标标的的资资产产所所获获得得收收益益的的现现值值随随着着期期权权有有效效期期的的延延长而减小。长而减小。（2 2）距离期权到期日的时间）距离期权到期日的时间46 随着距离期权到期日时间的增加，看涨和看跌期权都将变得西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 期权有效期内的无风险利率期权有效期内的无风险利率 期权购买者预先需要支付期权费，而期权费期权购买者预先需要支付期权费，而期权费是存在机会成本的。该机会成本的大小取决于利是存在机会成本的。该机会成本的大小取决于利率水平和距离期权到期的时间，因为期权的执行率水平和距离期权到期的时间，因为期权的执行价格在执行期权时才需要支付，所以要计算执行价格在执行期权时才需要支付，所以要计算执行价格的现值，进而导致利率在另一方面影响期权价格的现值，进而导致利率在另一方面影响期权的价值。利率的升高将使看涨期权的价值上涨，的价值。利率的升高将使看涨期权的价值上涨，使看跌期权的价值下降。使看跌期权的价值下降。3.3.与金融市场相关的因素与金融市场相关的因素与金融市场相关的因素与金融市场相关的因素47 期权有效期内的无风险利率3.与金融市场相关的因素47西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 美式期权可以在期权到期日之前的任何一天美式期权可以在期权到期日之前的任何一天执行，而欧式期权只能在到期日执行。可以提执行，而欧式期权只能在到期日执行。可以提前执行使得美式期权比其他条件相同的欧式期前执行使得美式期权比其他条件相同的欧式期权价值更高，同时也导致估价的难度上升。利权价值更高，同时也导致估价的难度上升。利用一个补偿因子可以使美式期权运用欧式期权用一个补偿因子可以使美式期权运用欧式期权的定价模型进行估价。在大部分情况下，期权的定价模型进行估价。在大部分情况下，期权剩余有效时间的时间溢价使得提前执行并不是剩余有效时间的时间溢价使得提前执行并不是最优方案。最优方案。4.4.美式期权与欧式期权：美式期权与欧式期权：美式期权与欧式期权：美式期权与欧式期权：与提前执行有关的因素与提前执行有关的因素与提前执行有关的因素与提前执行有关的因素48 美式期权可以在期权到期日之前的任何一天执行，而欧式期权西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 尽管提前执行通常来讲不是最优方案，但这尽管提前执行通常来讲不是最优方案，但这条规则至少存在两个例外。一种情况是标的资产条规则至少存在两个例外。一种情况是标的资产支付大量红利，从而减少了该资产和其看涨期权支付大量红利，从而减少了该资产和其看涨期权的价值。在这种情况下，如果期权的时间溢价小的价值。在这种情况下，如果期权的时间溢价小于由于红利支付而造成的资产价值的减少量，则于由于红利支付而造成的资产价值的减少量，则看涨期权可以在除息日之前执行。另一情况是投看涨期权可以在除息日之前执行。另一情况是投资者同时持有标的资产和处于实值状态的该资产资者同时持有标的资产和处于实值状态的该资产的看跌期权，如果利率水平较高，看跌期权的风的看跌期权，如果利率水平较高，看跌期权的风险溢价可能小于提前执行所获得的收益加上利息险溢价可能小于提前执行所获得的收益加上利息收入。收入。49 尽管提前执行通常来讲不是最优方案，但这条规则至少存在西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲下表总结了影响看涨期权和看跌期权价值的因素及其影响效果：下表总结了影响看涨期权和看跌期权价值的因素及其影响效果：因素因素 影响影响 看涨期权价格看涨期权价格 看跌期权价格看跌期权价格 股票价格上涨股票价格上涨 上升上升 下跌下跌执行价格上升执行价格上升 下跌下跌 上升上升标的资产价格变动方差增大标的资产价格变动方差增大 上升上升 上升上升距期权到期日的时间增加距期权到期日的时间增加 上升上升 上升上升利率上升利率上升 上升上升 下跌下跌红利支付额增加红利支付额增加 下跌下跌 上升上升 5.5.期权价值决定因素总结期权价值决定因素总结期权价值决定因素总结期权价值决定因素总结50下表总结了影响看涨期权和看跌期权价值的因素及其影响效果：因西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 由由Black-ScholesBlack-Scholes模型计算的买权价值与用模型计算的买权价值与用二项式定价模型计算的结果略有不同二项式定价模型计算的结果略有不同,当二项式当二项式的的n(n(阶段阶段)足够大时足够大时,结果将会趋向结果将会趋向Black-Black-ScholesScholes模型计算的结果。模型计算的结果。51 由Black-Scholes模型计算的买权价值与用二西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 上述的上述的BlackBlackScholesScholes模型没有考虑提前执模型没有考虑提前执行或红利支付的情况，而这两者都将对期权的行或红利支付的情况，而这两者都将对期权的价值产生影响。可以对模型进行一些调整，尽价值产生影响。可以对模型进行一些调整，尽管结果并非完美无缺，但能够对期权价值进行管结果并非完美无缺，但能够对期权价值进行部分修正。部分修正。模型的限制型及对其进行的调整模型的限制型及对其进行的调整模型的限制型及对其进行的调整模型的限制型及对其进行的调整52 上述的BlackScholes模型没有考虑提前执行或西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲有收益资产的期权定价公式有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收益的现值为当标的证券已知收益的现值为I I（即书中的（即书中的D D）时，我时，我们只要：们只要：用（用（S SI I）代替公式中的）代替公式中的S S，即可求出有收益资产欧式看涨期权的价格即可求出有收益资产欧式看涨期权的价格53有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式5西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲如果是预期标的资产的红利收益率（如果是预期标的资产的红利收益率（y=y=红利红利/资产现价）在期权有效期内保持不变，则可能资产现价）在期权有效期内保持不变，则可能将将BlackBlackScholesScholes模型调整为如下形式：模型调整为如下形式：54如果是预期标的资产的红利收益率（y=红利/资产现价）在期权有西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲从直观的角度来看，调整有两个效果。从直观的角度来看，调整有两个效果。首先，首先，考虑到红利支付造成标的资产的价格考虑到红利支付造成标的资产的价格 下降，资产价格以红利收益率进行贴现。下降，资产价格以红利收益率进行贴现。其次，其次，红利使股票（在等价资产组合中）的持有红利使股票（在等价资产组合中）的持有成本降低，因此，在公式中用利率减去红成本降低，因此，在公式中用利率减去红利收益率。利收益率。55从直观的角度来看，调整有两个效果。55西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲一、概念一、概念一、概念一、概念 可转换债券是指债券持有人可以在一定的期可转换债券是指债券持有人可以在一定的期间内间内,依照约定的价格将公司债转换成股票的债依照约定的价格将公司债转换成股票的债券。转换过程中并不涉及现金的转换。转换前券。转换过程中并不涉及现金的转换。转换前,债券持有人是公司的债权人，领固定的利息与到债券持有人是公司的债权人，领固定的利息与到期收回本金。当股票价格高于转换价格时，债券期收回本金。当股票价格高于转换价格时，债券持有人可以执行转换，一旦转换后，债权人的身持有人可以执行转换，一旦转换后，债权人的身份将变成股东，享有公司股东的权利。可见，可份将变成股东，享有公司股东的权利。可见，可转换债券是一种含有期权性质的债券。转换债券是一种含有期权性质的债券。可转换债券的定价可转换债券的定价可转换债券的定价可转换债券的定价56一、概念 可转换债券是指债券持有人可以在一定的期间内,西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 可转换债券吸引人的地方，正是因为其价格会可转换债券吸引人的地方，正是因为其价格会随着标的股票价格上涨而上涨，同时还兼有债券还随着标的股票价格上涨而上涨，同时还兼有债券还本付息的特色。同样地，可转换债券的持有人在转本付息的特色。同样地，可转换债券的持有人在转换前并无股利收入，如果债券转换成股票所得的股换前并无股利收入，如果债券转换成股票所得的股利高于债券利息，投资者就可以在到期日前执行转利高于债券利息，投资者就可以在到期日前执行转换权利，以享受较高的股利收入。换权利，以享受较高的股利收入。每张可转换债券可以转换的股票数目称为债券每张可转换债券可以转换的股票数目称为债券的转换比率。而转换每一股股票所需的债券的面值的转换比率。而转换每一股股票所需的债券的面值为债券面值为债券面值/转换比率（即转换价格）当公司发生转换比率（即转换价格）当公司发生股票分割或发放股利时，债券的转换条件通常会发股票分割或发放股利时，债券的转换条件通常会发生变化。如果股票由一股分割成两股，转换比率将生变化。如果股票由一股分割成两股，转换比率将会上升一倍，而转换价格会降至一半。会上升一倍，而转换价格会降至一半。有些公司发行的可转换债券较复杂。在美国，过有些公司发行的可转换债券较复杂。在美国，过去曾有过发行可转换成其他债券的可转债。去曾有过发行可转换成其他债券的可转债。57 可转换债券吸引人的地方，正是因为其价格会随着标的股票西安交通大学西安交通大学王晓芳王晓芳金融学 第七讲 2 2、可转换债券的定价、可转换债券的定价 可转换债券分解成纯债券和买权两部分的组合：可转换债券分解成纯债券和买权两部分的组合：可转换债券的价值可转换债券的价值 =纯债券价值纯债券价值+转换期权的价值转换期权的价值5858
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