第2章导数与微分课件

1高等数学高等数学2第二章第二章导数与微分导数与微分3微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数刻画函数变化快慢刻画函数变化快慢微分微分刻画函数变化程度刻画函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数从微观上研究函数)微分学简史微分学简史导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家费马数学家费马 Ferma 在在研究研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton 目录 上页 下页 返回 4第二章第二章 第一节第一节 导数的概念导数的概念一、一、引例引例 目录 上页 下页 结束 四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义5一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设质点运动位置的函数是设质点运动位置的函数是则则 到到 的平均速度为的平均速度为而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为自由落体运动自由落体运动 目录 上页 下页 返回 62.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在 M 点处的切线点处的切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率 目录 上页 下页 返回 7两个问题的两个问题的共性共性:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.相似问题还有相似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变变化化率率问问题题 目录 上页 下页 返回 8二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限为并称此极限为记作记作:即即则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点处处可导可导,在点在点的的导数导数.目录 上页 下页 返回 9运动质点的位置函数运动质点的位置函数在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度曲线曲线在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率说明说明:在经济学中在经济学中,边际收益边际收益,边际成本边际成本和和边际税率边际税率等从数学角度看就是相应导数等从数学角度看就是相应导数.目录 上页 下页 返回 10若上述极限若上述极限不存在不存在,在点在点 不可导不可导.若若也称也称在在若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数，也简称，也简称导数导数.记作记作:注意注意:就说函数就说函数就称函数就称函数在在 I 内可导内可导.的导数为的导数为无穷大无穷大.目录 上页 下页 返回 11例例1.求函数求函数(C 为常数为常数)的导数的导数.解解:即即例例2.求函数求函数解解:目录 上页 下页 返回 用定义法求导数！用定义法求导数！牢记求导公式！牢记求导公式！12说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数(为常数为常数)例如，例如，（以后将证明）（以后将证明）目录 上页 下页 返回 13例例3.求函数求函数的导数的导数.解解:则则即即类似可证得类似可证得 目录 上页 下页 返回 14例例4.求函数求函数的导数的导数.解解:即即或或 目录 上页 下页 返回 15原式原式是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例5.证明函数证明函数在在 x=0 不可导不可导.证证:不存在不存在,例例6.设设存在存在,求极限求极限解解:原式原式 目录 上页 下页 返回 16三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为若若曲线过曲线过上升上升;若若曲线过曲线过下降下降;若若切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;若若切线与切线与 x 轴垂直轴垂直.曲线在点曲线在点处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:目录 上页 下页 返回 17例例7.问曲线问曲线哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线?哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线平行平行?写出其切线方程写出其切线方程.解解:令令得得对应对应则在点则在点(1,1),(1,1)处与直线处与直线平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为即即故在原点故在原点(0,0)有垂直切线有垂直切线 目录 上页 下页 返回 18四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设设在点在点 x 处可导处可导,存在存在,因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即 目录 上页 下页 返回 19在点在点的某个的某个右右 邻域邻域内内五、五、单侧导单侧导数数若极限若极限则称此极限值为则称此极限值为在在 处的处的右右 导数导数,记作记作即即(左左)(左左)例如例如,在在 x=0 处有处有定义定义2.设函数设函数有定义有定义,存在存在,目录 上页 下页 返回 20定理定理2.函数函数在点在点且且存在存在简写为简写为在点在点处处右右 导数存在导数存在定理定理3.函数函数在点在点必必 右右 连续连续.(左左)(左左)若函数若函数与与都存在都存在,则称则称显然显然:在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导在在开开区间区间 内可导内可导,在在闭闭区间区间 上可导上可导.可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是且且 目录 上页 下页 返回 21例例8.设设在在 x=a 的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则 目录 上页 下页 返回 在在 x=a 处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（）D22内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导5.已学求导公式已学求导公式：6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导；一定不可导；直接用导数定义；直接用导数定义；看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限增量比的极限切线的斜率切线的斜率 目录 上页 下页 返回 23思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数区别区别:是函数是函数,是数值是数值;联系联系:注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?？与导函数与导函数 目录 上页 下页 返回 242.设设存在存在,则则3.已知已知则则4.若若时时,恒有恒有问问是否在是否在可导可导?解解:由题设由题设由夹逼准则由夹逼准则故故在在可导可导,且且 目录 上页 下页 返回 255.设设,问问 a 取何值时取何值时,在在都存在都存在,并求出并求出解解:故故时时此时此时在在都存在都存在,显然该函数在显然该函数在 x=0 连续连续.目录 上页 下页 返回 26备用题备用题 解解:因为因为1.设设存在存在,且且求求所以所以 目录 上页 下页 返回 27在在 处连续处连续,且且存在，存在，证明证明:在在处可导处可导.证：证：因为因为存在，存在，则有则有又又在在处连续处连续,所以所以即即在在处可导处可导.2.设设故故 目录 上页 下页 返回 28牛顿牛顿(1642 1727)伟大的伟大的英国英国数学家数学家、物理学家、物理学家、天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家.他在数学上的卓越他在数学上的卓越贡献是创立了微积分贡献是创立了微积分.1665年他提出正年他提出正流数流数(微分微分)术术,次年又提出反流数次年又提出反流数(积分积分)术术,并于并于1671年完成年完成流数术与无穷级数流数术与无穷级数一书一书(1736年出版年出版).他他还著有还著有自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理和和广义算术广义算术等等.目录 上页 下页 返回 牛顿与苹果的故事不仅仅是个传说！牛顿与苹果的故事不仅仅是个传说！29莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716)德国德国数学家、数学家、哲学家哲学家.他和牛顿都是他和牛顿都是微积分的创始人微积分的创始人.他在他在学艺学艺杂志杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计系统地阐述二进制计数法数法,并把它与中国的八卦联系起来并把它与中国的八卦联系起来.目录 上页 下页 返回 2024/7/1130第二章第二章 第二节 函数的求导法则 目录 上页 下页 结束 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 2024/7/1131思路思路:(构造性定义构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等证明中利用了证明中利用了初等函数求导问题初等函数求导问题本节本节内容内容 目录 上页 下页 返回 两个重要极限两个重要极限函数求导公式函数求导公式2024/7/1132一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的的和、和、差、差、积、积、商商(除分母除分母为为 0的的点点外外)都在点都在点 x 可导可导,且且下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,目录 上页 下页 返回 2024/7/1133注注：此法则可：此法则可推广到任意有限项的情形推广到任意有限项的情形.证明证明:设设,则则故故结论成立结论成立.目录 上页 下页 返回 2024/7/1134(2)证明证明:设设则有则有故结论成立故结论成立.推论推论:(C为常数为常数)目录 上页 下页 返回 分部求导！分部求导！2024/7/1135例例1.解解:目录 上页 下页 返回 2024/7/1136(3)证明证明:设设有有故结论成立故结论成立.目录 上页 下页 返回 另法另法 ，则，则2024/7/1137(3)证明证明:设设则有则有故结论成立故结论成立.推论推论:(C为常数为常数)目录 上页 下页 返回 （教材方法）（教材方法）2024/7/1138例例2.求证求证证明证明:同理可证同理可证:目录 上页 下页 返回 2024/7/1139二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导,证明证明:在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此 目录 上页 下页 返回 2024/7/1140例例3.求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设设则则同理可求得同理可求得利用利用,则则 目录 上页 下页 返回 2024/7/11412)设设则则特别当特别当时时,小结小结:目录 上页 下页 返回 2024/7/1142在点在点 x 可导可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点在点可导可导复合函数复合函数且且在点在点 x 可导可导,证明证明:在点在点 u 可导可导,故故（当（当 时时 )故有故有 目录 上页 下页 返回 2024/7/1143例如例如,关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导，由外向内逐层求导，类似于类似于剥洋葱剥洋葱.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 2024/7/1144例例4.求下列导数求下列导数:解解:(1)目录 上页 下页 返回 令令则则由由复合而成复合而成.（2）令令则则由由复合而成复合而成.2024/7/1145(3)说明说明:类似可得类似可得 目录 上页 下页 返回 例例5.设设求求解解:令令则则2024/7/1146例例5.设设求求解解:思考思考:若若存在存在,如何求如何求的导数的导数?这两个记号含义不同这两个记号含义不同 目录 上页 下页 返回 2024/7/1147例例6.设设解解:记记则则(反双曲正弦反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见其它反双曲函数的导数见 P94例例16.的的反函数反函数 目录 上页 下页 返回 （不写中间变量）（不写中间变量）2024/7/1148四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数(P94)目录 上页 下页 返回 2024/7/11492.有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则(C为常数为常数)3.复合函数求导法则复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,由定义证由定义证,说明说明:最基本的公式最基本的公式其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数 目录 上页 下页 返回 2024/7/1150例例7.求求解解:例例8.设设解解:求求 目录 上页 下页 返回 分母有理化分母有理化2024/7/1151例例9.求求解解:关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由由外外向向内内逐层求导。逐层求导。目录 上页 下页 返回 2024/7/1152例例10.设设求求解解:目录 上页 下页 返回 2024/7/1153内容小结内容小结求导公式及求导法则求导公式及求导法则 (见见 P94)注意注意:1)2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.1.思考与练习思考与练习对吗对吗?目录 上页 下页 返回 2024/7/11542.设设其中其中在在因因故故正确解法正确解法:时时,下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处处连续连续,目录 上页 下页 返回 2024/7/11553.求下列函数的导数求下列函数的导数解解:(1)(2)或或 目录 上页 下页 返回 2024/7/11564.设设求求解解:方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.目录 上页 下页 返回 2024/7/1157备用题备用题 1.设设解：解：2.设设解解:其中其中可导可导,求求求求 目录 上页 下页 返回 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算第三节 高阶导数第三节 高阶导数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念速度即加速度即引例引例：变速直线运动一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念定义定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念注1：求高阶导数就是反复的求导数注2：如果函数在点存在阶导数，也称函数在点阶可导，由知：在点的某邻域内阶可导，且在连续一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念二阶或二阶以上的导数称为的高阶导数也将称为的一阶导数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则以上三个结论都可以用数学归纳法证明三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算利用定义逐阶求导（适用阶数较低情形）例1 设求解：例2 设求解：三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算利用数学归纳法例例3.设求其中均为正整数解：从而三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算例例4.设求其中解：设则从而特别地三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算例例5.设求其中解：设则从而为常数三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算类似可证:三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算以上结果可以作为公式直接使用,须记忆准确,会用小结:三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算利用高阶导数的求导法则和已知高阶导数公式例例6.设，求 解：时，时，三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算例例7.设，求 解：三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算例例8.设，求 解：带入莱布尼兹公式得三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算下面再介绍几个经典例子例例9.设任意阶可导，且 求解：由归纳法，可证：例例10.设求解解:即用莱布尼兹公式求 n 阶导数令得由得即由得三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算例例11.设解解:三、高阶导数的计算三、高阶导数的计算内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法内容小结内容小结思考与练习思考与练习1 设求2.设求使存在的最高阶数思考与练习思考与练习幻灯标题第四节隐函数及参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数二、参数方程所确定函数的导数三、相关变化率一、隐函数的导数1 函数称为显函数2 设,如果当取某区间内任一值时，总有满足方程的唯一的存在,在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数显化成显函数称为隐函数的显化如：可以显化为:如：不能显化一、隐函数的导数就称方程3 隐函数的求导方法将直接对求导，视为的函数，据复合函数求导法则，可得关于的等式，解出即可。一、隐函数的导数例例1.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数一、隐函数的导数例2 求圆在点处的切线方程解：圆方程两边对求导，得所求切线方程为：整理得切线方程为：一、隐函数的导数例例3.设由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求一、隐函数的导数二、参数方程所确定的函数的导数二、参数方程所确定的函数的导数1 若参数方程确定了与之间的函数关系，则称该函数为由参数方程所确定的函数。如：平抛物体的轨迹可用参数方程：表示，消去参数，可得：二、参数方程所确定的函数的导数2 由参数方程所确定的函数的导数的求法若参数方程可以确定与之间的函数关系且，则，从而二、参数方程所确定的函数的导数若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例4 设参数方程确定函数求解：二、参数方程所确定的函数的导数例例5.设,且求解解:二、参数方程所确定的函数的导数,求解解：例例6.设方程组两边同时对 t 求导,得二、参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率1 设均为可导函数，从而其变化率也存在一定关系；互依赖的变化率称为相关变化率。2 相关变化率的解题步骤为：列出相关变量之间的等式；代入指定时刻的变量值和已知变化率；即可求出未知变化率。三、相关变化率且存在某种关系，这两个相求导；等式两端对幻灯标题例7 落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外圈波纹半径的增大率总为，求在末扰动水面面积的增大率为多少？解：设波纹的半径为，对应的面积为则等式两端对求导得：当时，从而：内容小结内容小结1 隐函数求导法直接对方程两边求导2 参数方程求导法内容小结内容小结求高阶导数时，从低到高，每次用参数方程求导公式3.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式思考与练习思考与练习练习.设曲线的极坐标方程为思考与练习思考与练习如何求由极坐标方程确定的曲线在某点的切线方程？求曲线在对应点处的切线方程幻灯标题第五节 函数的微分一、微分的概念二、微分的性质三、微分的几何意义四、微分公式和微分的运算法则五、微分在近似计算中的作用一、微分的概念一、微分的概念研究函数增量是数学的一种常见问题，数来说，函数增量的计算比较麻烦，寻求增量计算的一个既简单又有一定精度的近似公式就很关键了.例，则：不容易计算而函数的微分是计算函数增量的一种有效工具。对大部分函一、微分的概念一、微分的概念的微分微分,定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,一、微分的概念例1 判断函数在点是否可微？解：所以函数在点可微且然而，对于一般的函数，其增量不一定像例1一样，自然的分成两个部分，一部分是自变量增量的线性函数，另一部分是自变量增量的高阶无穷小！二、微分的性质二、微分的性质定理定理1:函数在点 可微的必要条件是证证:已知在点 可微,则故在点 的连续。二、微分的性质定理定理2:函数在点 可微的充要条件充要条件是即证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且二、微分的性质定理定理2:函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则二、微分的性质注1：可微可导连续注2：若函数在区间每一点都可微，称为函数的微分。函数的微分为和的二元函数。注3：称为自变量的微分，从而导数也称为微商（微分之商）则在点连续但是不可导。二、微分的性质例2：求函数在点的微分解：由可得：例3：求函数在时的微分解：由可得：三、微分的几何意义三、微分的几何意义微分的几何意义切线纵坐标的增量四、微分公式和微分的运算法则四、微分公式和微分的运算法则1根据基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式。P115 略2 函数和、差、积、商的微分法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)四、微分公式和微分的运算法则例4 设，求解：例5 设，求解：四、微分公式和微分的运算法则3.复合函数的微分的微分为则复合函数可微,若则分别可微,若由此可见，无论为自变量还是中间变量，一阶微分保持形式不变。这一性质称为一阶微分的形式不变性四、微分公式和微分的运算法则 用一阶微分的形式不变性来求隐函数的导数是一种好方法。求微分时，我们不必考虑谁是自变量，谁是因变量，地位平等，一视同仁.求导数时，必须分清谁是自变量，谁是因变量，地位不平等。五、微分在近似计算中的作用五、微分在近似计算中的作用所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,时,当故当在点 可微,若则从而：五、微分在近似计算中的作用注1 注意到为曲线在点的切线方程,注2 在(3)式中可得常用的近似计算公式时类似的，还可以得到其它的近似计算公式(3)式的近似是以直代曲五、微分在近似计算中的作用的近似值.解解:设取则例例6.求五、微分在近似计算中的作用的近似值.例例7.求解：设：当时，所以：内容小结内容小结(1)微分的定义和几何意义一阶微分的形式不变形1 微分概念内容小结内容小结(2)可微可导连续2 微分公式和运算法则3 微分在近似计算中的作用以直代曲思考与练习思考与练习1 对一般函数而言，2.已知函数可以求微分，反之如何呢？思考与练习思考与练习的正负和大小如何确定？