光电子技术课件

阶跃折射率阶跃折射率 渐变折射率渐变折射率射线光学射线光学波动分析（模式）波动分析（模式）章章 平面介质波导平面介质波导章章 光纤波导光纤波导阶跃折射率阶跃折射率渐变折射率渐变折射率射线光学射线光学波动分析波动分析多模多模单模单模子午光线子午光线偏射光线偏射光线标量近似（模式）标量近似（模式）覆盖层导波层衬底层对称非对称保护层包层纤芯 阶跃折射率射线光学波动分析（模式）章 平面介质波导章 1耦合：耦合：外耦合外耦合透镜透镜棱镜棱镜光栅光栅劈形劈形全息全息外耦合外耦合透镜透镜光栅光栅光纤锥光纤锥全息全息波导耦合波导耦合 （耦合波理论）（耦合波理论）光纤波导焊接光纤波导焊接耦合：外耦合透镜棱镜光栅劈形全息外耦合透镜光栅光纤锥全息波导2调制调制调制调制电光电光声光声光磁光磁光强度强度位相位相偏振偏振波长波长频率频率调制调制内调制内调制外调制外调制强度强度位相位相（干涉）（干涉）偏振偏振波长波长频率（多普勒频率（多普勒效应）效应）法拉第法拉第克尔克尔光弹光弹调制调制电光声光磁光强度位相偏振波长频率调制内调制外调制强度3第第 五五 章章普通光纤的基础理论普通光纤的基础理论第 五 章普通光纤的基础理论4 内容提要内容提要 前言前言 阶跃折射率光纤的光线理论阶跃折射率光纤的光线理论 偏射光线的传播偏射光线的传播 光纤波导中的模式理论光纤波导中的模式理论 阶跃光纤的标量近似分析阶跃光纤的标量近似分析 内容提要5 前言前言.光纤与光纤通信光纤与光纤通信基本情况基本情况:占光学占光学工业工业 时时 间间 产值产值比例比例年年 年年 年年 图 光电子技术主体发展图图 阶跃折射率光阶跃折射率光纤的横界面图纤的横界面图 6.历史的回顾历史的回顾 年，就认识到光纤导光传播的基本原理年，就认识到光纤导光传播的基本原理 全内反射。全内反射。十九世纪二十年代，制成了无包层的玻璃光纤；十九世纪二十年代，制成了无包层的玻璃光纤；二十世纪五十年代，用包层可以改善光纤特性，二十世纪五十年代，用包层可以改善光纤特性，当时的主要目的是传输图像。当时的主要目的是传输图像。年，年，：(，)缺点：损耗大缺点：损耗大 年，就认识到光纤导光传播的基本原理7七十年代：随着光纤制造技术的突破，使损耗降低七十年代：随着光纤制造技术的突破，使损耗降低到（到（附近）仅受瑞利散射损耗限制。附近）仅受瑞利散射损耗限制。年从理论上预言通过光纤的色散和非线性互作用可年从理论上预言通过光纤的色散和非线性互作用可以产生光孤子；年从实验上获得了光孤子，将超短以产生光孤子；年从实验上获得了光孤子，将超短光脉冲压缩到了。光脉冲压缩到了。七十年代：随着光纤制造技术的突破，使损耗降低到（附近）仅受8 掺铒光纤放大器掺铒光纤放大器 掺杂光纤激光器掺杂光纤激光器 受激喇曼散射受激喇曼散射 受激布里渊散射受激布里渊散射 光纤群速色散光纤群速色散,自相位调制自相位调制 超短光脉冲的产生、压缩和控制超短光脉冲的产生、压缩和控制光纤通信光纤通信领域的革命领域的革命低损耗光纤低损耗光纤非线性光纤非线性光纤光学新领域诞生光学新领域诞生 9 .优点：优点：良好的传导性能、巨大信息容量良好的传导性能、巨大信息容量(一条光频一条光频通路上同时可容纳几十亿人通话，传送上千套电通路上同时可容纳几十亿人通话，传送上千套电视节目视节目)。与金属传输线相比与金属传输线相比:()机械方面机械方面:直径细直径细()、重量轻、重量轻()、可绕性好、可绕性好(节省铜料、价格低廉，一公斤节省铜料、价格低廉，一公斤 熔融硅棒可拉光纤几百公里，公里长熔融硅棒可拉光纤几百公里，公里长 路同轨电缆需铜吨、铅吨路同轨电缆需铜吨、铅吨)。10 ()电气方面电气方面:电气绝缘性好、无感应。本身电气绝缘性好、无感应。本身 不辐射电磁场、噪声信号。不辐射电磁场、噪声信号。()化学方面化学方面:耐火、耐水性好，耐腐蚀性好耐火、耐水性好，耐腐蚀性好 (安全安全)。()传输特性方面传输特性方面:低损耗低损耗(，)、宽频带、宽频带(、)、无串音。、无串音。11.光通信系统和光网络系统：光通信系统和光网络系统：光通信系统和光网络系统：光通信系统和光网络系统：光通信系统：光通信系统：时分复用系统，波分复用系统；时分复用系统，波分复用系统；光网络系统：光网络系统：远程网，城域网和接入网。远程网，城域网和接入网。.光通信系统和光网络系统：光通信系统：12密集波分复用系统 (密集波分复用器：；光波分复用器：；光解波分复用器：；光放大器：)间距：间距：频宽频宽密集波分复用系统 (密集波分复用器：；光波分13 ,.,.14.光纤的分类光纤的分类 从材料来分：从材料来分：（）高纯度石英（），（）（）高纯度石英（），（）（）多组分玻璃，（）多组分玻璃，,（）塑料光纤，（）塑料光纤，,（）（）液芯光纤液芯光纤 （）晶体光纤（）晶体光纤 从模式来分：从模式来分：（）单模光纤，芯径微米（）单模光纤，芯径微米 （）多模光纤，芯径微米（）多模光纤，芯径微米.光纤的分类 从材料来分：15 从折射率分布来分：从折射率分布来分：（）阶跃型光纤（）阶跃型光纤 （）梯度折射率型光纤（）梯度折射率型光纤 从制作方法来分：从制作方法来分：（）（化学气相沉积法）（）（化学气相沉积法）（改进化学气相沉积法）（改进化学气相沉积法）（）双坩锅法（适用于制作多组分玻璃（）双坩锅法（适用于制作多组分玻璃)按传输偏振态来分：按传输偏振态来分：（）（）保偏光纤保偏光纤 （）（）非保偏光纤非保偏光纤 按结构来分：按结构来分：（）（）普通光纤普通光纤 （）（）光子晶体光纤光子晶体光纤 从折射率分布来分：16 阶跃折射率光纤的光线理论阶跃折射率光纤的光线理论按照折射率分布按照折射率分布:.阶跃型光纤阶跃型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是光纤中心芯到包层的折射率是突变的。其成本低，模间色散高，。阶跃型突变的。其成本低，模间色散高，。阶跃型光纤通常称为普通光纤。光纤通常称为普通光纤。.渐变型光纤渐变型光纤:光纤中心芯到包层的折射率是光纤中心芯到包层的折射率是渐变的。渐变的。子午光线的传播子午光线的传播 .子午面子午面:在光纤中，通过光纤中心轴的任何在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面。平面。阶跃折射率光纤的光线理论17.子午光线子午光线:位于子午面内的光线位于子午面内的光线.根据光的反射根据光的反射定律，入射光线和反射光线始终在同一平面定律，入射光线和反射光线始终在同一平面内。因此，子午光线经过多次全反射后仍在内。因此，子午光线经过多次全反射后仍在原入射面内，子午光线是原入射面内，子午光线是(平面曲线平面曲线)。.偏射线偏射线:另一种光线不在一个平面里，另一种光线不在一个平面里，不经过波导的轴，它们碰到边界时做内部全反不经过波导的轴，它们碰到边界时做内部全反射，也和点平面边界一样，反射角等于入射射，也和点平面边界一样，反射角等于入射角，角，(空间曲线空间曲线)。如图所示，分别是纤芯和包如图所示，分别是纤芯和包层的折射率，为光纤周围介质折射率。设层的折射率，为光纤周围介质折射率。设.子午光线:位于子午面内的光线.根据光的反射定律，入射光线和18 图 光纤的传光原理光线通过光纤波导端面中心点入射，进入波导后按子午光线传播，根据折射率定律，则:()当入射角 大于界面临界角，即:()光电子技术课件19光线在波导内部作全反射。为了得到波导，外光线在波导内部作全反射。为了得到波导，外面激发的角度面激发的角度必须满足关系式必须满足关系式:().数值孔径数值孔径(.):在一般情况下，在一般情况下，(空气空气)，则子，则子午光线对应的最大入射角为午光线对应的最大入射角为:()它决定了子午光线孔径角的最大值它决定了子午光线孔径角的最大值，即代表光，即代表光纤的集光本领。纤的集光本领。光线在波导内部作全反射。为了得到波导，外20.相对折射率差相对折射率差:因为纤芯和包层的折射率通常因为纤芯和包层的折射率通常相差很小，相差很小，所以可，所以可取取 。由。由()式可得式可得:()作为激光传输用的光纤波导，相对折射作为激光传输用的光纤波导，相对折射率差率差值通常在之内。值通常在之内。光电子技术课件21 几何程长和全反射次数几何程长和全反射次数 .几何程单位长度光纤内光路长度几何程单位长度光纤内光路长度,用来表用来表示，示，.总路程长度总路程长度(光线在该光纤中所传播光线在该光纤中所传播)再再乘上光纤的总长度，。一般来说，光线在光乘上光纤的总长度，。一般来说，光线在光纤中经过的光路长度大于光纤的长度。纤中经过的光路长度大于光纤的长度。图图 光纤长度与路程的关系光纤长度与路程的关系 几何程长和全反射次数22 如图所示，与路程相对应的纤维如图所示，与路程相对应的纤维长度是，所以有长度是，所以有:()当时，上式化为当时，上式化为:()由由()式看出，当一定时，只决定于光式看出，当一定时，只决定于光线的外部激发角线的外部激发角而与光纤本身的粗细无而与光纤本身的粗细无关。关。如图所示，与路程相对应的纤维23 .全反射次数全反射次数:光纤每单位长度上的反射次光纤每单位长度上的反射次数，数，.总反射次数总反射次数:乘以光纤的长度即可得出。乘以光纤的长度即可得出。()式中是纤芯的直径，推导中假定。式中是纤芯的直径，推导中假定。由由()式可以看出式可以看出 ，小时小时 多多 .全反射次数:光纤每单位长度上的反射次数，24 光纤弯曲对子午光线传播的影响光纤弯曲对子午光线传播的影响 光纤的特点之一是可以弯曲，但是这并不光纤的特点之一是可以弯曲，但是这并不代表光纤就可以随意弯曲。代表光纤就可以随意弯曲。聚合物光纤连接线聚合物光纤连接线 光纤弯曲对子午光线传播的影响聚合物光纤连接线25 如图所示，子午光线由光纤直部和弯部的界面上点进入弯部，弯如图所示，子午光线由光纤直部和弯部的界面上点进入弯部，弯部的点在光纤轴线上，为弯部的曲率半径，为纤维的直径，部的点在光纤轴线上，为弯部的曲率半径，为纤维的直径，、各为子午光线在直部、弯部外表面和弯部内表面的入射角各为子午光线在直部、弯部外表面和弯部内表面的入射角可以考察弯曲部分中子午光线的传播情况可以考察弯曲部分中子午光线的传播情况如图所示，子午光线由光纤直部和弯部的界面上点进入弯部，弯部的26 弯曲部分的弯曲部分的 、角不等于角不等于 角，可以证角，可以证明明 ，而，而 所以所以 有可能变得小于有可能变得小于临界角，这时光线就要逸出外表面。证明如下临界角，这时光线就要逸出外表面。证明如下:设点离点的坐标为，设点离点的坐标为，在在 中应用正弦定理中应用正弦定理:()在上式中，因为在上式中，因为 ，所以，所以即即 。弯曲部分的 、角不等于 角，可以证27 在在 内应用正弦定理有内应用正弦定理有:()同样，因为同样，因为 ，所以，所以 即即 。因此，当小到一定程度时，原来。因此，当小到一定程度时，原来在直部能产生全反射的子午光线，到了弯部，在直部能产生全反射的子午光线，到了弯部，在 内应用正弦定理有:28便要从芯线弯曲部分外侧面逸出。便要从芯线弯曲部分外侧面逸出。的减少还可能产生另外一种情形的减少还可能产生另外一种情形:子午光子午光线只在外表面反射，而不在内表面反射。如图线只在外表面反射，而不在内表面反射。如图所示。这时意味着所示。这时意味着 已经增大到，在已经增大到，在 图图 子午线在外表面反射子午线在外表面反射便要从芯线弯曲部分外侧面逸出。29式式()中，以代入，可解出中，以代入，可解出:()当的值比式当的值比式()中的值还要小时，便会发中的值还要小时，便会发生子午光线只在外表面反射而不到内表面反射生子午光线只在外表面反射而不到内表面反射的情形。的情形。光纤弯曲后对光纤弯曲后对的影响。的影响。在式在式()中，当时，中，当时，与与 相差最大，即相差最大，即:式()中，以代入，可解出:30 ()当当 等于临界角，等于临界角，(恒大于恒大于)，这时可以计算相应的，这时可以计算相应的如下如下:31 ()一般情形中，一般情形中，上式可化为，上式可化为:()可见光纤弯曲会使可见光纤弯曲会使值减小，即数值孔径值减小，即数值孔径.减小，从而使光纤的集光本领减弱。越减小，从而使光纤的集光本领减弱。越小，减弱越多。一般情况小，减弱越多。一般情况，因而在不，因而在不太小，弯曲次数不太多时，可忽略弯曲的影响太小，弯曲次数不太多时，可忽略弯曲的影响 32。但是弯曲总要损失光能，对于长距离使用的。但是弯曲总要损失光能，对于长距离使用的通讯传输光纤，应尽量避免不必要的弯曲，实通讯传输光纤，应尽量避免不必要的弯曲，实际光纤在制造时，形成的微弯也会导致光能损际光纤在制造时，形成的微弯也会导致光能损失。失。光纤弯曲时，由于全反射条件不满足，其光纤弯曲时，由于全反射条件不满足，其透光量会下降，这时既要计算子午光线的全反透光量会下降，这时既要计算子午光线的全反射条件，又要推导偏射光线全反射条件，才能射条件，又要推导偏射光线全反射条件，才能求出光纤弯曲时透光量和弯曲半径之间的关求出光纤弯曲时透光量和弯曲半径之间的关系。系。但是弯曲总要损失光能，对于长距离使用的33实验表明，当实验表明，当时时透光量已经开始下降；透光量已经开始下降；当当时透光时透光量开始明显下降。量开始明显下降。实验表明，当，所以光线在内壁上发生第一次反射，所以光线在内壁上发生第一次反射后，反射角就减小后，反射角就减小，从第二次反射开始，从第二次反射开始，以后每次反射后，反射角就减小以后每次反射后，反射角就减小。于锥形光纤的大端时，折射角为，在锥角48 ()又又 ()将式将式()代入式代入式()可得可得:光电子技术课件49 ()这个公式说明，当光线从锥形光纤的大端这个公式说明，当光线从锥形光纤的大端入射时，全反射条件很容易被破坏。因为在光入射时，全反射条件很容易被破坏。因为在光纤中发生全反射的条件是纤中发生全反射的条件是 ，而锥形光纤，而锥形光纤的反射角的反射角 是一直在减小，所以总会在某一是一直在减小，所以总会在某一次反射后，全反射条件不满足了。光线也就会次反射后，全反射条件不满足了。光线也就会从光纤的侧壁逸出去。即使在锥角从光纤的侧壁逸出去。即使在锥角很小的情很小的情况下，只要反射次数足够多，就会在某一次反况下，只要反射次数足够多，就会在某一次反 50射后出现射后出现 ，而使全反射条件受到破坏。，而使全反射条件受到破坏。同时，由于内壁上的反射角逐步减小，光线从同时，由于内壁上的反射角逐步减小，光线从锥形光纤大端入射时，小端的出射光出现发锥形光纤大端入射时，小端的出射光出现发散，这是由于此时出射光锥角比入射的大。反散，这是由于此时出射光锥角比入射的大。反之，当光线从锥形光纤小端入射时，从纤芯和之，当光线从锥形光纤小端入射时，从纤芯和包层界面内壁上的反射角经每次反射后就会增包层界面内壁上的反射角经每次反射后就会增加，所以大多数的光线都会满足全反射条件，加，所以大多数的光线都会满足全反射条件，这是和上面情况相反的。同样此时的出射光锥这是和上面情况相反的。同样此时的出射光锥角比入射的小，因而出射光又会聚作用。图角比入射的小，因而出射光又会聚作用。图就表示了这两种情况。就表示了这两种情况。射后出现 ，而使全反射条件受到破坏。51 图图 锥形光纤大端与小端进光的比较锥形光纤大端与小端进光的比较 要使光线都能从光纤另一端出射，则应满要使光线都能从光纤另一端出射，则应满足足:对于大端入射的情况和分别时光纤出对于大端入射的情况和分别时光纤出光电子技术课件52射端射端(小端小端)和入射端和入射端(大端大端)的半径，的半径，若若 ，则由上式可得，则由上式可得:这是一般情况下锥形光纤聚光条件，再利用这是一般情况下锥形光纤聚光条件，再利用:射端(小端)和入射端(大端)的半径，53是光纤长度，可得:上式为使锥形光纤聚光，光纤有最小长度 另外，锥形光纤两端孔径角不一样，大端孔径角小，小端孔径角大，两者满足关系式:是光纤长度，可得:54式中式中:由此可见，锥形光纤可以改变孔径角，因由此可见，锥形光纤可以改变孔径角，因而可用于耦合。而可用于耦合。式中:55 光纤的集光本领光纤的集光本领 数值孔径是表征光纤集光能力大小的一个数值孔径是表征光纤集光能力大小的一个参数。数值孔径越大即孔径角越大，光纤的集参数。数值孔径越大即孔径角越大，光纤的集光能力就越强，也就是说能进入光纤的光通量光能力就越强，也就是说能进入光纤的光通量就越多。就越多。光纤和普通的光学透镜相比，它的数值孔光纤和普通的光学透镜相比，它的数值孔径大是一个显著的特点。径大是一个显著的特点。光纤的集光本领56设光学透镜的口径为，设光学透镜的口径为，焦距为，如图所示，透焦距为，如图所示，透镜数值孔径可表示为镜数值孔径可表示为:图 透镜的数值孔径上式说明了光学透镜的数值孔径由决定上式说明了光学透镜的数值孔径由决定(为数。称为相为数。称为相对孔径对孔径)。()设光学透镜的口径为，焦距为，如图所示，透镜数值孔径可表示为:57时，数与.的关系如下表所示:可看出在时光学透镜要使孔径角达到是很难做到的。但是光纤的数值孔径可以做得很大。只要选取合适的芯材料和包层材料，其数值可以达到。数.时，数与.的关系如下表所示:数.58 从式从式()可知，由于可知，由于 的数值的数值可以大于，从数学上来说，可以大于，从数学上来说，的值只可的值只可能为能为，但从物理意义上来说，表明光纤的集，但从物理意义上来说，表明光纤的集光能力特别强，不但在时光能力特别强，不但在时可以达到可以达到，而且，而且在在时，时，仍有可能达到仍有可能达到，这在实际的应用，这在实际的应用中是很有意义的。中是很有意义的。从式()可知，由于 的数59朗伯光源朗伯光源:发光强度发光强度,亮度与方向无关。现在我们亮度与方向无关。现在我们 来来计算计算 光纤对朗伯光源发出的光的聚集能力。光纤对朗伯光源发出的光的聚集能力。图 朗伯光源的发光如图所示，朗伯光源处于半径为的半球面的如图所示，朗伯光源处于半径为的半球面的球心处，则通过立体角球心处，则通过立体角 到到 (图中环形阴图中环形阴影区域影区域)的光通量为的光通量为:()阴影区域的阴影区域的面积面积且且于是可得于是可得:()由于光纤的可接受角范围是由于光纤的可接受角范围是，对于式，对于式()积分积分后有后有:朗伯光源:发光强度,亮度与方向无关。现在我们 来60由于从面光源点发出的总光能流为由于从面光源点发出的总光能流为 ，所，所以光纤的集光效率为以光纤的集光效率为 。由上面的讨论可以看出，光纤的数值孔径由上面的讨论可以看出，光纤的数值孔径和集光本领有密切关系，当和集光本领有密切关系，当.时，子午时，子午光线的集光本领与数值孔径光线的集光本领与数值孔径.的平方成正比的平方成正比；当；当.时，集光本领达到最大值。由时，集光本领达到最大值。由于光纤的于光纤的.可以比光学镜头的大得多，所可以比光学镜头的大得多，所以与一般光学镜头比较，光纤的集光本领高。以与一般光学镜头比较，光纤的集光本领高。()()61 偏射光线的传播偏射光线的传播 偏射光线偏射光线:是一些和光纤中心轴即不平行，也不是一些和光纤中心轴即不平行，也不相交的光线，它们和光纤中心轴是异面直线。相交的光线，它们和光纤中心轴是异面直线。偏射光线在光纤中进行一次全反射，平面的方位偏射光线在光纤中进行一次全反射，平面的方位就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，在端面上的投影可以是左旋折线，也可以是右旋在端面上的投影可以是左旋折线，也可以是右旋折线，并且这些螺旋折线和光纤的中心轴是等距折线，并且这些螺旋折线和光纤的中心轴是等距的。的。右旋 左旋 图 斜光线在光纤端面上的投影 偏射光线的传播右旋 62 全反射条件全反射条件 如图所示，为如图所示，为入射在光纤内的斜光线，入射在光纤内的斜光线，和光纤中心和光纤中心是既不平是既不平行，又不相交的异面直线。行，又不相交的异面直线。为在横截面为在横截面(或端面或端面)上上的投影。的投影。是斜是斜光线和光纤轴之间的夹角，光线和光纤轴之间的夹角，内壁上的入射角内壁上的入射角 ，轴倾角轴倾角 是斜光线是斜光线在入射点横截面上的投影在入射点横截面上的投影 图图 斜光线的全斜光线的全 反射条件反射条件 全反射条件63和法线之间的夹角。和法线之间的夹角。，则垂直于平面。这样，则垂直于平面。这样，均为直角三角形。均为直角三角形。在在中，中，在，在中，中，在，在中中:()上式说明这三个角度之间的关系。显然光线在上式说明这三个角度之间的关系。显然光线在光纤内壁发生全反射时光纤内壁发生全反射时 是不变的，由于是不变的，由于和法线之间的夹角。，则垂直于平面。这样，均为64 ，而，而 ，这样，这样就可以得到斜光线的全反射条件为就可以得到斜光线的全反射条件为:()因此，在光纤中传播的斜光线必须满足如下条因此，在光纤中传播的斜光线必须满足如下条件件:()，而 65如果用光线在光纤端面上入射角如果用光线在光纤端面上入射角来代替折射来代替折射角角 ，则上式可以改写成，则上式可以改写成:()如果入射光线是子午光线，则和相重合如果入射光线是子午光线，则和相重合，公式变成，公式变成:()如果用光线在光纤端面上入射角来代替折射66我们从公式我们从公式()就可以得到斜光线的数值就可以得到斜光线的数值孔径为孔径为:()由于由于 ，因而斜光线的数值孔径要比子，因而斜光线的数值孔径要比子午光线的数值孔径大。由于午光线的数值孔径大。由于 的数值依赖于入的数值依赖于入射角射角的取向，所以在斜光线的情况下的取向，所以在斜光线的情况下总有可能为总有可能为，但此时相应的，但此时相应的 的数值应的数值应满足下式满足下式:我们从公式()就可以得到斜光线的数值67 ()从式从式()可以得到轴倾角可以得到轴倾角 ，令其为，令其为 即有即有:()这里的这里的 为偏射光线在光纤内壁全反射时的临为偏射光线在光纤内壁全反射时的临界角。在全反射的条件下，界角。在全反射的条件下，的取值范围为的取值范围为 。讨论偏射光线的传播，可以使我们理解所讨论偏射光线的传播，可以使我们理解所 68谓子午孔径外的黑带现象。如果我们用谓子午孔径外的黑带现象。如果我们用范围内的平行光线入射于光纤的内壁，则范围内的平行光线入射于光纤的内壁，则 角角的取值就是的取值就是 至至的范围，这样，在光纤的范围，这样，在光纤端面上就出现黑带现象。端面上就出现黑带现象。利用公式利用公式()还可以求出在全反射时还可以求出在全反射时偏射光线到光纤中心轴之间的距离。在图偏射光线到光纤中心轴之间的距离。在图中，作中，作，又，又，所以，所以垂直于偏射光线所在的平面，而就是偏垂直于偏射光线所在的平面，而就是偏射光线至光纤中心轴的距离，为光纤直径。射光线至光纤中心轴的距离，为光纤直径。在在中中:谓子午孔径外的黑带现象。如果我们用69 ()如果如果 ，则即为我们所要求的斜光线，则即为我们所要求的斜光线到中心轴的最小距离，利用到中心轴的最小距离，利用 和和 的关的关系，上式可改写为系，上式可改写为:光电子技术课件70化简后得化简后得:()上式说明在发生全反射时，偏射光线至光纤中上式说明在发生全反射时，偏射光线至光纤中心轴有一个最小距离。这个距离和光纤的心轴有一个最小距离。这个距离和光纤的直径，纤芯和包层的折射率及所在介质的折射直径，纤芯和包层的折射率及所在介质的折射率有关。如果入射光线在光纤上位移时，率有关。如果入射光线在光纤上位移时，也也发生变化，在光纤界面内壁上的全反射条件却发生变化，在光纤界面内壁上的全反射条件却仍是不变的。仍是不变的。化简后得:71 光路长度和全反射次数光路长度和全反射次数 现在我们来求偏射光线通过光纤时的几何现在我们来求偏射光线通过光纤时的几何程长和全反射次数。由图可知，单位长程长和全反射次数。由图可知，单位长度中的几何程长为度中的几何程长为:()比较比较()和和()两式，可以看出两者是相两式，可以看出两者是相同的，即斜。在同的，即斜。在角相等的情况下，斜光角相等的情况下，斜光线和子午光线在光纤中的光路长度相同。线和子午光线在光纤中的光路长度相同。光路长度和全反射次数72 同样，单位长度内的全反射次数可写为同样，单位长度内的全反射次数可写为:()由于由于 ()代入式代入式()可得可得:()同样，单位长度内的全反射次数可写为:73比较比较()和和()两式，可得两式，可得:()上式说明偏射光线的全反射次数总是比子午光上式说明偏射光线的全反射次数总是比子午光线多，它是和轴倾角线多，它是和轴倾角 密切相关的。在密切相关的。在 时，即在子午光线情况时，公式时，即在子午光线情况时，公式()和公和公式式()是一致的。是一致的。比较()和()两式，可得:74 光纤波导中的模式理论光纤波导中的模式理论 用几何光学分析简单直观的优点，用几何光学分析简单直观的优点，波动理论的初步近似。波动理论的初步近似。光纤的直径减小到和入射光波长同数量级光纤的直径减小到和入射光波长同数量级时，光的干涉和衍射等波动性质十分明显，时，光的干涉和衍射等波动性质十分明显，模模:具有确定空间和时间分布的电磁场分具有确定空间和时间分布的电磁场分量量(模模)才能在光纤中传播。这个模和光纤参数才能在光纤中传播。这个模和光纤参数、入射光频率和包层的性质有关，并且是满足、入射光频率和包层的性质有关，并且是满足光纤的一定边界条件的麦克斯韦方程组的一个光纤的一定边界条件的麦克斯韦方程组的一个解。解。光纤波导中的模式理论75在光纤波导中在光纤波导中导模导模:位相常数构成有限数目的分立谱位相常数构成有限数目的分立谱辐射模辐射模:位相常数构成无限数目的连续谱。位相常数构成无限数目的连续谱。在包层无限厚的普通光纤波导结构中，光在包层无限厚的普通光纤波导结构中，光纤波导仅由折射率为的芯和折射率为的包纤波导仅由折射率为的芯和折射率为的包层层(无限延拓无限延拓)组成。只要光纤波导的包层厚度组成。只要光纤波导的包层厚度远大于电磁波的穿透深度，这样的光纤就可以远大于电磁波的穿透深度，这样的光纤就可以当做包层无限厚的光纤来处理。当做包层无限厚的光纤来处理。在光纤波导中76 正规波导正规波导:光纤波导的折射率分布沿纵向光纤波导的折射率分布沿纵向(向向)不变，即。不变，即。横向分层均匀横向分层均匀 横向分层非均匀横向分层非均匀 光场可表示为分离形式光场可表示为分离形式:若不涉及光纤中的非线性，若不涉及光纤中的非线性，为常数，为常数，可可 正规波导:光纤波导的折射率分布沿纵向(向)不变77略去，得略去，得:其中，其中，为横截面二维分布项，为横截面二维分布项，为纵向波动项。为纵向波动项。为相移常数、纵向传播常数为相移常数、纵向传播常数。、都是复矢量，即有幅度、都是复矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了相位和方向，它表示了 、沿光纤横截面的沿光纤横截面的略去，得:78的分布，称为模式场。的分布，称为模式场。上式代入上式代入 方程，特征解形式方程，特征解形式:为一个模式。为一个模式。光纤中的光场分布则是这些模式的线性组光纤中的光场分布则是这些模式的线性组合合:的分布，称为模式场。79式中的，是分解系数，表示该模式的相对式中的，是分解系数，表示该模式的相对大小。一系列模式可以看成是一个光波导的场大小。一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。分布的空间谱。式中的，是分解系数，表示该模式的相对80 标量波动方程标量波动方程 光是一种电磁波，因此，光在介质中传播光是一种电磁波，因此，光在介质中传播应满足介质中的麦克斯韦方程组，采用麦克斯应满足介质中的麦克斯韦方程组，采用麦克斯韦方程组形式为韦方程组形式为:()()()()标量波动方程81这里这里 表示电流密度矢量，表示电流密度矢量，是标量电荷密度是标量电荷密度在无源场的情况下，在无源场的情况下，。对于均。对于均匀的、各向同性物质，匀的、各向同性物质，。是介质的相对磁化率，是介质的相对磁化率，在非磁性材料中在非磁性材料中 ，是相对介电常数。因是相对介电常数。因此，当光在内部没有场源、均匀的各向同性此，当光在内部没有场源、均匀的各向同性介质中传播时，麦克斯韦方程组可简化为介质中传播时，麦克斯韦方程组可简化为:()这里 表示电流密度矢量，是标量电荷密度82 ()()()为了应用上的方便，我们将麦克斯韦方程组改为了应用上的方便，我们将麦克斯韦方程组改写成另外一种形式，对方程写成另外一种形式，对方程()取旋度后取旋度后，我们得到，我们得到:()83代入矢量等式代入矢量等式:()就可以将方程就可以将方程()改写成改写成:()解此波动方程式，得一复数形式的特解解此波动方程式，得一复数形式的特解:()式中，式中，表示光波的频率，表示光波的频率，称为波矢，它的称为波矢，它的方向代表了方向代表了()式所表示的平面波的传播式所表示的平面波的传播代入矢量等式:84方向，大小表示位相传播的速度方向，大小表示位相传播的速度，是介质的折射率，是介质的折射率，是真空中的光速，对光波的磁场是真空中的光速，对光波的磁场 ，同样方，同样方法得法得:()由方程式由方程式()和和()表示的平面波满足表示的平面波满足:，()于是，波动方程于是，波动方程()可简化为可简化为:方向，大小表示位相传播的速度85 ()对于磁场有同样的结果对于磁场有同样的结果:()方程方程()和和()称为亥姆霍兹方程，是称为亥姆霍兹方程，是讨论光在介质中传播问题的基本方程，在直角讨论光在介质中传播问题的基本方程，在直角坐标系坐标系(，)中，中，和和 的，分量的，分量均满足亥姆霍兹方程的标量形式均满足亥姆霍兹方程的标量形式:()代表代表 或或 的各个分量。光在有限大的各个分量。光在有限大小的介质中传播，或在一个由折射率不同的几小的介质中传播，或在一个由折射率不同的几 86种介质所组成的物质中传播时，必须考虑不同种介质所组成的物质中传播时，必须考虑不同介质组成的界面处电磁场应满足的边界条件介质组成的界面处电磁场应满足的边界条件:()()()()上式中的上式中的 表示界面的法线方向。亥姆霍兹方表示界面的法线方向。亥姆霍兹方程和边界条件以及麦克斯韦方程组是研究光纤程和边界条件以及麦克斯韦方程组是研究光纤波导的基本出发点。波导的基本出发点。种介质所组成的物质中传播时，必须考虑不同87 光纤波导中的模式光纤波导中的模式模模:具有确定空间和时间分布的电磁场分量具有确定空间和时间分布的电磁场分量是光波导中的一个基本概念，它具有以下特性是光波导中的一个基本概念，它具有以下特性:()稳定性稳定性:一个模式沿纵向传输时，其场分一个模式沿纵向传输时，其场分 布形式不变，即沿方向有稳定的布形式不变，即沿方向有稳定的 分布。分布。()有序性有序性:模式是波导方程的一系列特征解，模式是波导方程的一系列特征解，是离散的，可以排序的。排序方法是离散的，可以排序的。排序方法 有两种。一种是以传播常数有两种。一种是以传播常数的大的大 小排序小排序(越大序号越小越大序号越小)，另一，另一 光纤波导中的模式88 种是以种是以(，)两个自变量排序，两个自变量排序，所以有两列序号。所以有两列序号。()迭加性迭加性:光波导中总的场分布是这些模式的光波导中总的场分布是这些模式的 线性迭加。线性迭加。()正交性正交性:一个正规光波导的不同模式之间满一个正规光波导的不同模式之间满 足正交关系。足正交关系。对于圆柱形的光纤，取柱坐标比较合适。对于圆柱形的光纤，取柱坐标比较合适。种是以(，)两个自变量排序，89 图图 光波导的坐标系光波导的坐标系如图所示，光纤的轴向为，纤芯半径为如图所示，光纤的轴向为，纤芯半径为，折射率为，包层折射率为，且，折射率为，包层折射率为，且 。在整个波导结构中，折射率分布均匀。在整个波导结构中，折射率分布均匀,没有自由电荷及传导电流，属各向同性介质。没有自由电荷及传导电流，属各向同性介质。光电子技术课件90 ()式中下标式中下标()和和()分别代表纤芯和包层区域分别代表纤芯和包层区域。根据规则波导理论，只要求出纵向分量、。根据规则波导理论，只要求出纵向分量、，横向场分量就可利用、，横向场分量就可利用、求出。而求出。而、满足标量亥姆霍兹方程满足标量亥姆霍兹方程:()()因此，能够沿光波导传输的波型或模式的场分布必因此，能够沿光波导传输的波型或模式的场分布必须满足齐次亥姆霍兹方程须满足齐次亥姆霍兹方程()式和式和()式，在处满足的式，在处满足的边界条件边界条件因此，能够沿光波导传输的波型或模式的场分布必须满足齐次亥姆霍91下面我们以为例求解式下面我们以为例求解式()，可按同样方法处理。可按同样方法处理。在圆柱坐标中，方程在圆柱坐标中，方程()可写成可写成:()用分离变量法，令用分离变量法，令:()将式将式()代入式代入式()并同除以并同除以得到得到:下面我们以为例求解式()，可按同样方法处理。在圆柱坐标中，92 ()可见决定可见决定()的方程是的方程是:()令令 ()光电子技术课件93则则:()式中，式中，为纵向传播常数，为横向位相常数为纵向传播常数，为横向位相常数。这是一个齐次常微分方程，如果我们只取沿。这是一个齐次常微分方程，如果我们只取沿方向传播的波，则式方向传播的波，则式()的解为的解为:()式式()即变成即变成:()则:94可见决定可见决定 的方程是的方程是:()上式也是齐次常微分方程，其解是上式也是齐次常微分方程，其解是:()式中，式中，。离散常数是包含零。离散常数是包含零在内的正整数，在内的正整数，是初位相。则式是初位相。则式()变成变成:()可见决定 的方程是:95这就是著名的贝赛尔方程。它的解可以是各阶这就是著名的贝赛尔方程。它的解可以是各阶贝赛尔函数。因为它是一个二阶微分方程，它贝赛尔函数。因为它是一个二阶微分方程，它必定有两个相互无关的解。但任何能在光必定有两个相互无关的解。但任何能在光波导中传输的独立波型必须满足条件波导中传输的独立波型必须满足条件:时，时，()有限；有限；时，时，()。根据贝赛尔函数的性质，所能选取的解只能是根据贝赛尔函数的性质，所能选取的解只能是:()这就是著名的贝赛尔方程。它的解可以是各阶96式中是贝赛尔函数，是第二类修正贝塞尔函数。式中是贝赛尔函数，是第二类修正贝塞尔函数。纤芯内的横向位相常数纤芯内的横向位相常数 包层内的衰减系数包层内的衰减系数将式将式()、式、式()和式和式()代入式代入式()，最后我们得到，最后我们得到:()()()()式决式决值的上下限值的上下限,由波动方程沿轴由波动方程沿轴向的解代入亥姆霍兹方程向的解代入亥姆霍兹方程()和和()，在，在圆柱坐标中，场的横向分量按下列关系求出圆柱坐标中，场的横向分量按下列关系求出:光电子技术课件98 ()现在我们利用边界条件现在我们利用边界条件()式来确定式来确定()光电子技术课件99式和式和()式中的常数，式中的常数，为简单计算，令，当时为简单计算，令，当时，电场切向分量连续，即，电场切向分量连续，即:()()式和()式中的常数，100时，磁场切向分量连续，即:()()时，磁场切向分量连续，即:101式中式中和和分别为和的一阶导数。方分别为和的一阶导数。方程程()()组成四元一次方程组组成四元一次方程组:当其系数行列式当其系数行列式:式中和分别为和的一阶导数。方102 时，方程有无穷时，方程有无穷多组解。将多组解。将()()式代入上式并整式代入上式并整理后得理后得:()光电子技术课件103式中式中:()因式因式()左边与角度无关，故欲使式左边与角度无关，故欲使式()成立则必须成立则必须:()式中:104将式将式()代入式代入式()得得:()方程方程()和和()决定了波导模式的传播决定了波导模式的传播常数常数，式，式()决定了决定了值的上、下限，值的上、下限，色散关系色散关系():描述了在这个限度之内描述了在这个限度之内随随频率变化的规律，各模式的截止条件可从频率变化的规律，各模式的截止条件可从(式式导出。导出。至此尚没有求出，四个至此尚没有求出，四个将式()代入式()得:105常数。实际上，只要不关心场的绝对值，也就常数。实际上，只要不关心场的绝对值，也就没有必要求出这些常数的具体值。没有必要求出这些常数的具体值。相对参量相对参量:表示分量的相对值。当、表示分量的相对值。当、均不为零时，将式均不为零时，将式()、()代入式代入式()并两边同除以并两边同除以()，整理后有，整理后有:()利用此关系，纤芯利用此关系，纤芯()中的纵向分量可写成中的纵向分量可写成:常数。实际上，只要不关心场的绝对值，也就106 ()()再利用式再利用式()、()及及()，则纤，则纤芯中的横场分量可写成芯中的横场分量可写成:光电子技术课件107 ()光电子技术课件108式式()()表示了光波导中的表示了光波导中的“混杂混杂”模场量。沿用微模场量。沿用微波理论中的习惯，波理论中的习惯，当时，称为模；当时，称为模；当时，称为模。当时，称为模。表示贝赛尔函数的阶数，场在角度方向变化的表示贝赛尔函数的阶数，场在角度方向变化的次数次数 表示表示()时的根的序号，场在半径方向变化的次时的根的序号，场在半径方向变化的次数数 “混杂混杂”模的特点是、均不为零。模的特点是、均不为零。当、分别为零时，则称为横电模当、分别为零时，则称为横电模()和横磁模和横磁模()，其场分布分别为其场分布分别为:式()()表示了光波导中的“混杂”模场量。沿用微波理论中的习109模()()模()110 模模()()模()111 截止条件截止条件 以上所讨论的各种模式仅是光波导中可能以上所讨论的各种模式仅是光波导中可能存在的模式，某一模式是否实际存在于光波导存在的模式，某一模式是否实际存在于光波导中，则要根据它所特有的截止条件来判断。对中，则要根据它所特有的截止条件来判断。对于结构一定的于结构一定的(即、及值一定即、及值一定)光波导，光波导，每一可能存在的模式都有自己的截止条件。每一可能存在的模式都有自己的截止条件。传输模传输模:从式从式()可知，当可知，当时，时，()()。如。如果果是实数，表明包层中的场随增大而单调是实数，表明包层中的场随增大而单调地减小。地减小。截止条件112 截止条件截止条件:如果当如果当时，包层中的时，包层中的场不再单调减小，表明它不再是传输模，即传场不再单调减小，表明它不再是传输模，即传输模被截止。这样，在色散关系式中令输模被截止。这样，在色散关系式中令即可求得其截止条件。即可求得其截止条件。对模或模，因为，所以式对模或模，因为，所以式()变成变成:()对模对模:截止条件:如果当时，包层中的113 ()对模对模:()显然，当显然，当时，式时，式()和式和式()都都要求要求()，这就是和模的截止，这就是和模的截止条件。因为条件。因为()是个振荡函数，它有许多根是个振荡函数，它有许多根 114 时，当纤芯半径的值使时，模和模就截止而不复存在了。时，当值使时，模和模就截止而不复存在。对和模，因为，所以情况要复杂得多。故略去繁琐的数学运算，只给出如下结论。模()，当时，说明它没有截止限制，所以称模为光波导中的优势模(即该模总是存在)。时，当纤芯半径的值使时，模和模就截止115()模 ()这时模式截止条件与折射率，值有关。利用公式可将()式化简为 。当()模116时，即纤芯和包层折射率差很小时，即得到()。对模()，()但，这里表示时()的第一个根要从的根算起。如 模:,当纤芯半径值使时模就截止而不能存在了。几个低阶模的截止条件列于表。现进一步讨论上述截止条件的物理意义。从式()可求得:时，即纤芯和包层折射率差很小时，即117 表 低阶模的截止条件 ()模式模式 表 低阶模118式中，式中，是光波频率，是光速。是光波频率，是光速。截止频率截止频率:当时，令当时，令。因为，所以因为，所以:()该式说明了截止频率与光波导参量之间的关系该式说明了截止频率与光波导参量之间的关系。在纤芯半径，纤芯与包层的折射率和。在纤芯半径，纤芯与包层的折射率和一定时，如果光波频率一定时，如果光波频率，则相应的模式，则相应的模式就不能在波导中传播。就不能在波导中传播。对对(或或)模模:式中，是光波频率，是光速。119对模，对模，此式表明模没有截止此式表明模没有截止频率。因此模是光纤波导中的优势模，频率。因此模是光纤波导中的优势模，称为基模。它的单模工作频率范围是称为基模。它的单模工作频率范围是:()上式可改写为上式可改写为:光电子技术课件120归一化频率参量归一化频率参量()()单模光纤波导单模光纤波导:当当时其它高阶模就出时其它高阶模就出现，值愈大，出现的模式就愈多，现，值愈大，出现的模式就愈多，对式对式()求解，可得到各模式传播常求解，可得到各模式传播常数数与归一化频率参量的关系曲线，如图与归一化频率参量的关系曲线，如图归一化频率参量()121所示。图中曲线明显反映出，随着值增大传输模式不断增多的情况。图 归一化传播常数与参量的关系曲线所示。图中曲线明显反映出，随着值增122 阶跃光纤的标量近似阶跃光纤的标量近似 在分析光纤时，一般采用的近似方法之一在分析光纤时，一般采用的近似方法之一为标量近似法为标量近似法:阶跃光纤里的横向电场阶跃光纤里的横向电场(，)或横向磁或横向磁场场(，)的幅度满足标量亥姆霍兹方程。的幅度满足标量亥姆霍兹方程。(实际上，已知只有直角坐标系里各分量或实际上，已知只有直角坐标系里各分量或圆柱坐标系里的、分量才严格满足亥姆霍兹圆柱坐标系里的、分量才严格满足亥姆霍兹方程。方程。)现在假设现在假设 ，能够满足，就是假设它们能够满足，就是假设它们的分布彼此相同，相对关系到处不变，横向的分布彼此相同，相对关系到处不变，横向电场的极化电场的极化(偏振偏振)方向到处相同方向到处相同(即偏振方即偏振方向不变向不变)。阶跃光纤的标量近似123 这种近似在弱传导的情况下，即相对折射这种近似在弱传导的情况下，即相对折射率差很小率差很小 ()以及入射角很小以及入射角很小(即与光纤轴平行即与光纤轴平行)的光纤里，的光纤里，传导模的一般理论将大大简化传导模的一般理论将大大简化(弱导情况弱导情况:纤纤芯中电磁波几乎是横波；芯中电磁波几乎是横波；可不考可不考虑介质分界面对电磁波偏振态的影响虑介质分界面对电磁波偏振态的影响)，并能，并能得到好的计算精度。得到好的计算精度。一般模式理论一般模式理论:这种近似在弱传导的情况下，即相对折射124、严格满足亥姆霍兹方程。标量近似():也满足亥姆霍兹方程，横向分布彼此相同，相对关系到处不变，极化分量方向相同。在弱传导近似下，普通光纤的数值孔径可以近似表示成:()光纤的归一化频率是:、严格满足亥姆霍兹方程。125 ()式中的是纤芯半径，为自由空间的波数。式中的是纤芯半径，为自由空间的波数。这时纤芯和包层交界处的边界条件是在两这时纤芯和包层交界处的边界条件是在两种介质的交界处，标量本身连续，标量在与边种介质的交界处，标量本身连续，标量在与边界正交的方向上界正交的方向上(即法线上即法线上)的变化率连续；就的变化率连续；就是横向场的幅度和它的幅度沿方向上的变化是横向场的幅度和它的幅度沿方向上的变化(即即 )连续。连续。光电子技术课件126近似方程可使许多重要问题如近似方程可使许多重要问题如:.模式的传输系数、模式的传输系数、.截止条件、截止条件、.单模传输条件、单模传输条件、.多模传输时模式数量、多模传输时模式数量、.各模式在纤芯、包层的功率及交界面的功率各模式在纤芯、包层的功率及交界面的功率密度密度等等，得到简便的计算公式，这是近似方法的等等，得到简便的计算公式，这是近似方法的优点。优点。近似方程可使许多重要问题如:127 波动方程的解及特征方程波动方程的解及特征方程 设阶跃光纤中传播一平面电磁波，传播方设阶跃光纤中传播一平面电磁波，传播方向与光纤轴线向与光纤轴线(即轴即轴)方向一致，记为方向一致，记为:()式中，式中，为角频率，为角频率，为传播常数，为传播常数，为横向场。为横向场。根据标量近似法的假定，根据标量近似法的假定，满足满足标量亥姆霍兹波动方程式标量亥姆霍兹波动方程式()，式，式()的圆柱坐标系表示为的圆柱坐标系表示为:波动方程的解及特征方程128 ()根据分离变量法，设上式的解为根据分离变量法，设上式的解为:()将式将式()代入式代入式()，得，得:()()光电子技术课件129式式()的解为的解为:()式式()为椭圆极化为椭圆极化(偏振偏振)波，也可取线极波，也可取线极化波化波 或或 来表示。来表示。式式()在纤芯是一个阶的贝塞尔函在纤芯是一个阶的贝塞尔函数，以数，以()表示，对于包层，考虑到横表示，对于包层，考虑到横向场是由界面起，沿径向按指数函数衰减的，向场是由界面起，沿径向按指数函数衰减的，应取修正的汉克尔函数，以应取修正的汉克尔函数，以()表示。表示。由式由式()的标量解表示为的标量解表示为:式()的解为:130 ()()应用边界条件即可导出特征方程，阶跃光应用边界条件即可导出特征方程，阶跃光纤的边界条件是在处，横向场幅度纤的边界条件是在处，横向场幅度本身本身和沿边界的法线上的变化率和沿边界的法线上的变化率 连续。由连续。由式式()、()有有:()光电子技术课件131 ()由贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的递推公式:()()()式式()是阶跃光纤波导的一种特征方程。是阶跃光纤波导的一种特征方程。这是一个超越方程，由它可以求解或，这是一个超越方程，由它可以求解或，进而可定出常数。进而可定出常数。132 截止条件和传输模截止条件和传输模 由修正的汉克尔函数性能可知，当由修正的汉克尔函数性能可知，当时，时，()将很快衰减到零，适合于描述将很快衰减到零，适合于描述阶跃光纤包层中光的传输。这样射入光纤的光阶跃光纤包层中光的传输。这样射入光纤的光将局限于纤芯中传播。将局限于纤芯中传播。截止条件表示截止的入射角等于全反射临界截止条件表示截止的入射角等于全反射临界条件条件(从几何光学的观点看，截止的临界状从几何光学的观点看，截止的临界状态即为入射光波的入射角等于全反射临界角态即为入射光波的入射角等于全反射临界角的情况的情况)。当时，由式当时，由式()得得:截止条件和传输模133 ()例如例如:当时，便有当时，便有()，其根，其根为，为，即当等于上列值时，导模即当等于上列值时，导模(正规正规模模)将截止。将截止。对应于这一系列截止时的值，是一组标对应于这一系列截止时的值，是一组标量模式，用量模式，用表示。第一个角标表示。第一个角标“”代表代表；第二个角标代表第几根，用表示，如；第二个角标代表第几根，用表示，如、。是主模，它的截止值为。考虑到是主模，它的截止值为。考虑到 134，则归一化频率:即:()当 时，式()成立，这表明模没有低频截止，任何频率都可以传输。当时，()，其根的系列值为:，则归一化频率:135 对应的标量模式为对应的标量模式为模。模。当时，有当时，有()，其根系列值为，其根系列值为:，当等于上列值时，导波截止当等于上列值时，导波截止(注意不要注意不要取的根取的根)。对应的模式为。对应的模式为模。模。线极化波线极化波:即波的极化不随时间变化的波型。即波的极化不随时间变化的波型。许多地方采用来表示上述波型，为许多地方采用来表示上述波型，为 的英文的英文缩写，缩写，对应的标量模式为模。136 一般的波型属于这一类，角标。，为正整一般的波型属于这一类，角标。，为正整数，对应数，对应，对应对应，对应对应，。一般的波型属于这一类，角标。，为正整数，对应，137 标量模与精细模的比较标量模与精细模的比较 用标量近似法解得的模式是简并模。这是用标量近似法解得的模式是简并模。这是因为分析时假设因为分析时假设 同同 一样都满足标量一样都满足标量亥姆霍兹方程，由于这种近似将本来分离的精亥姆霍兹方程，由于这种近似将本来分离的精简模式简并起来了。实际上，精确模式应当是简模式简并起来了。实际上，精确模式应当是分离的。一般模式与，模式有线性关分离的。一般模式与，模式有线性关系，即系，即:()例如例如是一种对称的模，它其实可能是或是一种对称的模，它其实可能是或 标量模与精细模的比较138模，是四重简并模。