直线和面的投影课件

第 三 章 点、直线和平面的投影1 将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向垂直，进而确定主视图的投影方向 整体和局部都要符合三视图的投影规律整体和局部都要符合三视图的投影规律 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用线绘可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用线绘制，当制，当虚线与实线重合时画实线虚线与实线重合时画实线 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系4、三视图的绘制、三视图的绘制2a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 3特殊位置点：特殊位置点：特殊位置点：特殊位置点：4 d d e e f f e f dzxYW YH0例：已知点的两投影，求其第三投影例：已知点的两投影，求其第三投影 d a a a5各种位置点的投影l空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。l投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。l投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。l与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。6四、两点的相对位置四、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空两点的相对位置指两点在空间的间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标值大的在左坐标值大的在左 y y 坐标值大的在前坐标值大的在前 z z 坐标值大的在上坐标值大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bXYHYWZ7 已知已知已知已知A A点在点在点在点在B B(10,2,1)(10,2,1)点之前点之前点之前点之前5 5毫米，之上毫米，之上毫米，之上毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右毫米，之右毫米，之右8 8毫米，求毫米，求毫米，求毫米，求A A点的投影点的投影点的投影点的投影,。a a aXZYWYHOb bb 9858两点左右位置关系，大者在左方。两点左右位置关系，大者在左方。两点的上下位置关系，大者在上方。两点的上下位置关系，大者在上方。两点前后位置关系，大在前方。两点前后位置关系，大在前方。两点的相对位置的判定方法两点的相对位置的判定方法9重影点：重影点：10重影点及可见性判别重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。投影面的重影点。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。表示。112.3 直线的投影直线的投影投影面平行线投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影，平行于另二个投影面垂直于一个投影，平行于另二个投影面 的直线的直线一般位置直线一般位置直线 倾斜于三个投影面的直线倾斜于三个投影面的直线。直线相对投影面的种类12 两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b131 1、投影面平行线投影面平行线水平线水平线水平线水平线正平线正平线正平线正平线侧平线侧平线侧平线侧平线14b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b 152 2、投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线16 反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)173 3、一般位置直线一般位置直线18投影特性：投影特性：三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即:都不反映空间线段都不反映空间线段的实长及与三个投影面的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。投影轴都倾斜。abb a b a 192.4 2.4 直线与点及两直线的相对位置直线与点及两直线的相对位置一、直线与点的相对位置一、直线与点的相对位置20 若点在直线上若点在直线上,则则点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例。即：相同的比例。即：若点的投影有一个不若点的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上，则则该点必不在此直线上。该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=AC/CB=ac/cb=a a c c /c c b b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理21直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1 1 1 1 从属性从属性从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。直线上。直线上。直线上。2 2 2 2 定比性定比性定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A CA C:C BC B=a c a c:c bc b=a a c c :c c b b =a a c c :c c b b ABbbaaXOccCc22点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上投影点在同名投影线上也符合定比定律23例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?ak/kbak/kb24例题例题3 3 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV用定比定律25bbXaaBC例题例题4 4 已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的点的点C C的投影，的投影，使使BCBC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L。cLABzA-zBcab26二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交27 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a 28abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD29b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？30HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点31cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影32d b a abcdc1(2)3(4)两直线交叉两直线交叉 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但“交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？33例题例题 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1两直线交叉34判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可判断重影点的可见性时，需要看重影见性时，需要看重影点在另一投影面上的点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。35例题例题 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)364 4、两直线垂直相交（或垂直交叉）、两直线垂直相交（或垂直交叉）若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：37d abca b c d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线,正正面投影反映直角。面投影反映直角。.38eeeecc例例 已知直线已知直线AB的两面投影和的两面投影和C点的水平投影点的水平投影,试过试过C点作一条直线点作一条直线CE垂直于垂直于AB,求直线求直线CE的两面投的两面投影。影。cbabaOX39f例题例题 过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee40小小 结结点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特殊位置直线的投影特性特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。性。定比定理。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：重点掌握：41一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。42二、直线上的点二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。43四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理442.5 2.5 平面的投影平面的投影一、一、一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面452、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法46VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ47平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-真实性真实性 平面垂直投影面平面垂直投影面-积聚性积聚性 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-类似性类似性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性二、平面的投影特性48 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面491 1）投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面50VWHPPH铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abc abc积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、a a b b c c 、a a b b c c 为为为为 ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、abc abc与与与与OXOX、OYOY的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映 、角的真实大小角的真实大小角的真实大小角的真实大小 ABCacbababbaccc51VWHQQV 正垂面正垂面正垂面正垂面 投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、abcabc、a a b b c c ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、a a b b c c 与与与与OXOX、OZOZ的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大角的真实大角的真实大角的真实大小小小小 ababbacccAcCabB52VWHSWS 侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线积聚为一条线 2 2、abc abc、a a b b c c 为为为为 ABCABC的类似形的类似形的类似形的类似形 3 3、a a b b c c 与与与与OZOZ、OYOY的夹角的夹角的夹角的夹角反映反映反映反映、角的真实大小角的真实大小角的真实大小角的真实大小 CabABcabbbaaccc53abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。是什么位置是什么位置的平面？的平面？542 2）投影面平行面投影面平行面水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面55VWH水平面水平面水平面水平面投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、a a b b c c 、a a b b c c 积聚为一条线积聚为一条线，具积聚为一条线积聚为一条线，具积聚为一条线积聚为一条线，具积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性有积聚性有积聚性有积聚性 2 2、水平投影水平投影水平投影水平投影abcabc反映反映反映反映 ABCABC实形实形实形实形 CABabcbacabccabbbaacc56正平面正平面正平面正平面VWH投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2 2、正平面投影、正平面投影、正平面投影、正平面投影a a b b c c 反映反映反映反映 ABCABC实形实形实形实形 cabbacbcabacabcbcaCBA57投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：1 1、abcabc 、a a b b c c 积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性积聚为一条线，具有积聚性 2 2、侧平面投影侧平面投影侧平面投影侧平面投影a a b b c c 反映反映反映反映 ABCABC实形实形实形实形 侧平面侧平面侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa58a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。593 3）一般位置平面一般位置平面60一般位置平面一般位置平面一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性投影特性投影特性 1 1、abc abc、a a b b c c 、a a b b c c 均为均为均为均为 ABCABC的的的的类似形类似形类似形类似形 2 2、不反映不反映不反映不反映 、的真实角度的真实角度的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB61判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。平面上取任意直线平面上取任意直线三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点6263abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。64例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面面的距的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？65 平面上取点平面上取点66 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解67例题例题例题例题2 2 已知已知已知已知 ABCABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D D是否属于该是否属于该是否属于该是否属于该平面。平面。平面。平面。ddabcabcee68bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二693 3、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线、平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置平面上存在一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线和和和和投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面平行线，不存，不存，不存，不存在投影面垂直线。在投影面垂直线。在投影面垂直线。在投影面垂直线。70abcbac例题例题例题例题 已知已知已知已知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，过点过点过点过点A A作属于该平面作属于该平面作属于该平面作属于该平面 的水平线的水平线的水平线的水平线。mnnm71例：在平面例：在平面ABC上取一点上取一点K，使点，使点K在点在点A之下之下15mm、在点、在点A之之前前20mm处。处。722.6 圆的投影圆的投影圆的投影特性：圆的投影特性：圆的投影特性：圆的投影特性：1 1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；2 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；的直径；的直径；的直径；3 3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；的直径的投影；的直径的投影；的直径的投影；732.72.7直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理：若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。74n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？75正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 76例题例题例题例题3 3 试判断直线试判断直线试判断直线试判断直线ABAB是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面77 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef78例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行79例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试给定。试过点过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk80二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的交点是直线与平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。8182abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k218384km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法85 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面交线是两平面的共有线，的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共交线上的点都是两平面的共有点。有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：只讨论两平面中至少有一个处于特殊位只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。置的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。86可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。8788b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的即为两个共有点的正面投影，故正面投影，故m n 即即MN的的正面投影正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 89c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位位于于defdef的外面，说明的外面，说明点点N N位于位于DEFDEF所确定所确定的平面内，但不位于的平面内，但不位于DEFDEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABCABC和和DEFDEF的交线应为的交线应为MKMK。nn m kmk 互交互交90 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、二、如何在平面上确定直线和点。如何在平面上确定直线和点。三三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一一、平面的投影特性，、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。91要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。92二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于于另一个平面上的一对相交直线。另一个平面上的一对相交直线。93四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。的投影特性画出交线的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。94特殊位置线面相交特殊位置线面相交 特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积积聚性投影聚性投影直接求出。直接求出。（l l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。在直线的另一个投影上找到。（2 2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。95bbaaccmmnn直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk96判断直线的可见性判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。97一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点两个共有点的问题的问题,由由于于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL98判断平面的可见性判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL99