直线和平面的投影课件

第第 二二 章章 点、直点、直线线和平面的和平面的投影投影2-1 2-1 投影的基本知投影的基本知识识2-2 2-2 点的投影点的投影2-3 2-3 直直线线的投影的投影2-4 2-4 平面的投影平面的投影2-5 2-5 直直线线与平面及两平面的相与平面及两平面的相对对位置位置2-6 2-6 换换面法面法要求：掌握点的三面投影要求：掌握点的三面投影规规律，掌握直律，掌握直线线、平面的、平面的投影特性，会利用直投影特性，会利用直线线与平面及两平面的相与平面及两平面的相对对位置位置的投影特性解决有关的投影特性解决有关问题问题。掌握。掌握换换面法面法1整理ppt21 投影的基本知投影的基本知识识投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透画透视图视图画斜画斜轴测图轴测图画工程画工程图样图样及正及正轴测图轴测图2整理ppt中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之投射中心、物体、投影面三者之间间的相的相对对距离距离对对投影的大小有影响。投影的大小有影响。度量性度量性较较差差投影特性投影特性投射投射线线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变变，投影大，投影大小也改小也改变变3整理ppt平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之投影大小与物体和投影面之间间的距离无关。的距离无关。度量性度量性较较好好工程工程图样图样多数采用正投影法多数采用正投影法绘绘制。制。投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法4整理ppt Pb AP采用多面投影采用多面投影。过过空空间间点点A A的投的投射射线线与投影面与投影面P P的交点即的交点即为为点点A A在在P P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影点在一个投影面上的投影不能确定点面上的投影不能确定点的空的空间间位置。位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 22 22 点的投影点的投影解决解决办办法？法？5整理pptHWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（正面投影面（简简称正称正 面或面或V V面）面）水平投影面（水平投影面（简简称水称水 平面或平面或H H面）面）侧侧面投影面（面投影面（简简称称侧侧 面或面或W W面）面）投影投影轴轴oXZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交面的交线线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交面的交线线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交面的交线线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直6整理pptWHVoX空空间间点点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a a 点点A A的正面投影的正面投影a a点点A A的水平投影的水平投影a a 点点A A的的侧侧面投影面投影空空间间点用大写字母点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa AZY7整理pptWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不不动动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx8整理pptXYZOVHWAaa a 点的投影点的投影规规律律:a aOX轴 aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay=a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴9整理ppta aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通通过过作作4545线线使使a a a az z=aa=aax x解法二解法二:用用圆规圆规直接量直接量取取a az=aaxa 10整理ppt三三 点的坐点的坐标标与投影之与投影之间间的关系的关系YWxXYZOVHWAaa a xaazayZaza XYHayOaaxaya xzyzyxyz四四 投影面和投影投影面和投影轴轴上的点上的点课课本本P3611整理ppt五、两点的相五、两点的相对对位置位置 两点的相两点的相对对位置位置指两点在空指两点在空间间的的上下、前上下、前后、左右后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐坐标标大的在左大的在左 y y 坐坐标标大的在前大的在前 z z 坐坐标标大的在上大的在上b aa a b bB B点在点在A A点之前、之点之前、之右、之下。右、之下。XYHYWZ12整理ppt六、重影点：六、重影点：空空间间两点在某一两点在某一投影面上的投影面上的投影重合投影重合为为一一点点时时，则则称此两点称此两点为为该该投投影面影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被被挡挡住的投住的投影加影加()()A A、C C为为哪个投哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c13整理pptaa a b b b23 23 直直线线的投影的投影 两点确定一条直两点确定一条直线线，将，将两点的同名投影用直两点的同名投影用直线连线连接，接，就得到直就得到直线线的同名投影。的同名投影。直直线对线对一个投影面的投影特性一个投影面的投影特性一、直一、直线线的投影特性的投影特性ABab直直线线垂直于投影面垂直于投影面投影重合投影重合为为一点一点 积积聚性聚性直直线线平行于投影面平行于投影面投影反映投影反映线线段段实长实长 ab=AB ab=AB直直线倾线倾斜于投影面斜于投影面投影比空投影比空间线间线段短段短 ab=ABcos ab=ABcosABabAMBabm14整理ppt 直直线线在三个投影面中的投影特性在三个投影面中的投影特性投影面平行投影面平行线线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面与其余两投影面倾倾斜斜投影面垂直投影面垂直线线正平正平线线（平行于面）（平行于面）侧侧平平线线（平行于面）（平行于面）水平水平线线（平行于面）（平行于面）正垂正垂线线（垂直于面）（垂直于面）侧侧垂垂线线（垂直于面）（垂直于面）铅铅垂垂线线（垂直于面）（垂直于面）一般位置直一般位置直线线与三个投影面都与三个投影面都倾倾斜的直斜的直线线统统称特殊位置直称特殊位置直线线垂直于某一投影面垂直于某一投影面15整理pptb a aba b b aa b ba 投影面平行投影面平行线线 在其平行的那个投影面上的投影反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长，并反映直并反映直线线与另两投影面与另两投影面倾倾角的角的实实大。大。另两个投影面上的投影平行于相另两个投影面上的投影平行于相应应的投影的投影 轴轴。水平水平线线侧侧平平线线正平正平线线投投 影影 特特 性：性：与与H面的面的夹夹角角:与与V面的角面的角:与与W面的面的夹夹角角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b 16整理ppt 反映反映线线段段实长实长。且垂直。且垂直于相于相应应的投影的投影轴轴。投影面垂直投影面垂直线线铅铅垂垂线线正垂正垂线线侧侧垂垂线线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有投影有积积聚性聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)17整理ppt 一般位置直一般位置直线线投影特性：投影特性：三个投影都三个投影都缩缩短。短。即即:都不反映空都不反映空间线间线段的段的实长实长及与三个投影面及与三个投影面夹夹角的角的实实大，且与三根投影大，且与三根投影轴轴都都倾倾斜。斜。abb a b a（1 1）ab,ab,abab,ab,ab对对于三个投影于三个投影轴轴既不平既不平行也不垂直行也不垂直（2 2）ab,ab,ab ab,ab,ab都都较较空空间线间线段段ABAB缩缩短了。短了。其具体其具体长长度度为为：ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos18整理pptHWVab abba zYwYHXab abba ab=ABcosab=ABcosab=ABcos一般位置直线与倾角三个投影都缩短，且都倾斜于相应的投影轴19整理pptABVHbb a A0B0ZB-ZAYB-YAZB-ZAab ab实长二、三角形法：一般位置直二、三角形法：一般位置直线线的的实长实长求法求法20整理ppt|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab对面倾角和实长21整理pptABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|对面倾角与实长22整理pptXZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|对面倾角与实长23整理ppt例：求线段CD的实长及角cdcdYd -Yc实长dccd实长24整理ppt直角三角形法要点2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系角角水平投影水平投影zz坐坐标标差差线线段段实长实长角角正面投影正面投影 y y坐坐标标差差线线段段实长实长角角侧侧面投影面投影xx坐坐标标差差线线段段实长实长3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错25整理ppt三、直三、直线线与点的相与点的相对对位置位置 若点在直若点在直线线上上,则则点的投影必在直点的投影必在直线线的的同名投影上。并将同名投影上。并将线线段段的同名投影分割成与空的同名投影分割成与空间间相同的比例。即：相同的比例。即：若点的投影有一个若点的投影有一个不在直不在直线线的同名投影上，的同名投影上，则该则该点必不在此直点必不在此直线线上。上。判判别别方法方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理26整理ppt点点C不不在在直直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在是否在线线段段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线AB上上27整理ppt例例2：判断点：判断点K是否在是否在线线段段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应应用定比定理用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?28整理ppt三、两直三、两直线线的相的相对对位置位置空空间间两直两直线线的相的相对对位置分位置分为为：平行平行、相交相交、交叉交叉。两直两直线线平行平行投影特性：投影特性：空空间间两直两直线线平平行，行，则则其各其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 空空间间两直两直线线之比之比等于其同名投影之比等于其同名投影之比29整理pptabcdc a b d 例例1：判断：判断图图中两条直中两条直线线是否平行。是否平行。对对于一般位于一般位置直置直线线，只要有两个，只要有两个同名投影互相平行，同名投影互相平行，空空间间两直两直线线就平行。就平行。AB/CD30整理pptb d c a cbadd b a c 对对于特殊位置于特殊位置直直线线，只有两个同名投，只有两个同名投影互相平行，空影互相平行，空间间直直线线不一定平行。不一定平行。求出求出侧侧面投影后可知：面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断：判断图图中两条直中两条直线线是否平行。是否平行。求出求出侧侧面投影面投影如何判断？如何判断？31整理pptHVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直两直线线相交相交判判别别方法：方法：若空若空间间两直两直线线相交，相交，则则其同名投其同名投影必相交，且交点的投影必符合空影必相交，且交点的投影必符合空间间一点一点的投影的投影规规律律。反之亦然。反之亦然。交点是两直交点是两直线线的共有点的共有点32整理pptcabb a c d k kd例：例：过过C点点作水平作水平线线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影33整理pptd b a abcdc1(2 )3(4)两直两直线线交叉交叉投影特性投影特性：同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空不符合空间间一个点的投影一个点的投影规规律律。“交点交点”是两直是两直线线上上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直用其可帮助判断两直线线的空的空间间位置。位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为为什么？什么？123 4 两直两直线线相交相交吗吗？34整理ppt 两直两直线线垂直相交（或垂直交叉）垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一若直角有一边边平行于投影面，平行于投影面，则则它在它在该该投投影面上的投影仍影面上的投影仍为为直角。直角。设设 直角直角边边BC/H面面因因 BCAB,同同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直直线线在在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证证明：明：35整理ppt例：例：过过C点作直点作直线线与与AB垂直相交。垂直相交。d abca b c dAB为为正平正平线线,正正面投影反映直角。面投影反映直角。.反之，若一角的投影反之，若一角的投影为为直角，而且空直角，而且空间间被投影的角被投影的角至少有一至少有一边边平行于平行于该该投影面，投影面，则则空空间间角必是直角。角必是直角。36整理ppt 小小 结结 点与直点与直线线的投影特性，尤其是的投影特性，尤其是特殊位特殊位置置 直直线线的投影特性的投影特性。点与直点与直线线及两直及两直线线的相的相对对位置的判断位置的判断方方 法及投影特性。法及投影特性。定比定理。定比定理。直角定理，即两直直角定理，即两直线线垂直垂直时时的投影特的投影特性。性。重点掌握：重点掌握：37整理ppt一、点的投影一、点的投影规规律律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴 aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay=a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴38整理ppt二、各种位置直二、各种位置直线线的投影特性的投影特性 一般位置直一般位置直线线三个投影与各投影三个投影与各投影轴轴都都倾倾斜。斜。投影面平行投影面平行线线 在其平行的投影面上的投影反映在其平行的投影面上的投影反映线线段段实长实长及与相及与相应应投影面的投影面的夹夹角。另两个投影平行角。另两个投影平行于相于相应应的投影的投影轴轴。投影面垂直投影面垂直线线 在其垂直的投影面上的投影在其垂直的投影面上的投影积积聚聚为为一一点。另两个投影反映点。另两个投影反映实长实长且垂直于相且垂直于相应应的投影的投影轴轴。39整理ppt三、直三、直线线上的点上的点 点的投影在直点的投影在直线线的同名投影上。的同名投影上。点分点分线线段成定比，点的投影必分段成定比，点的投影必分线线段的投影段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直四、两直线线的相的相对对位置位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直同名投影相交，交点是两直线线的共有的共有点，且符合空点，且符合空间间一个点的投影一个点的投影规规律。律。同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符不符合空合空间间一个点的投影一个点的投影规规律。律。“交点交点”是两直是两直线线上一上一对对重影点的投影。重影点的投影。40整理ppt五、相互垂直的两直五、相互垂直的两直线线的投影特性的投影特性 两直两直线线同同时时平行于某一投影面平行于某一投影面时时，在，在该该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。两直两直线线中有一条平行于某一投影面中有一条平行于某一投影面时时，在在该该投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。两直两直线线均均为为一般位置直一般位置直线时线时，在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理41整理ppt2.4 2.4 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直直线线上的上的三个点三个点abca b c 直直线线及及线线外一外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直直线线abca b c 平面平面图图形形42整理ppt迹迹线线表示法表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW平面与投影面的交线，叫做平面的迹线。43整理ppt二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾倾斜斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把投影就把实实形形现现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影投影积积聚成直聚成直线线 平面平面倾倾斜投影面斜投影面-投影投影类类似原平面似原平面实实形性形性类类似性似性积积聚性聚性 平面平面对对一个投影面的投影特性一个投影面的投影特性44整理ppt 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面平面对对于三投影面的位置可分于三投影面的位置可分为为三三类类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都与三个投影面都倾倾斜斜 正垂面正垂面 侧侧垂面垂面 铅铅垂面垂面 正平面正平面 侧侧平面平面 水平面水平面45整理pptabca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类类似性似性类类似性似性积积聚性聚性铅铅垂面垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影在它垂直的投影面上的投影积积聚聚成直成直线线。该该直直线线与投影与投影轴轴的的夹夹角反映空角反映空间间平面与另外两投影面平面与另外两投影面夹夹角的大小。角的大小。另外两个投影面上的投影有另外两个投影面上的投影有类类似性。似性。为为什么？什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？46整理ppta b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积积聚性聚性积积聚性聚性实实形性形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映在它所平行的投影面上的投影反映实实形。形。另两个投影面上的投影分另两个投影面上的投影分别积别积聚成与聚成与相相应应的投影的投影轴轴平行的直平行的直线线。47整理ppt投影特性1、abc、abc、abc 均为 ABC的类似形2、不反映、的真实角度 abcbacababbaccbacCAB 一般位置平面一般位置平面48整理ppt三、平面上的直三、平面上的直线线和点和点判断直判断直线线在平面在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直若一直线过线过平面平面上的两点，上的两点，则则此此直直线线必在必在该该平面平面内。内。定定 理理 二二若一直若一直线过线过平面上的平面上的一点，且平行于一点，且平行于该该平平面上的另一直面上的另一直线线，则则此直此直线线在在该该平面内。平面内。平面上取任意直平面上取任意直线线49整理pptabcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直：已知平面由直线线AB、AC所确定，所确定，试试 在平面内任作一条直在平面内任作一条直线线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。50整理ppt例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平内作一条水平线线，使其到，使其到 H面的距面的距 离离为为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？51整理ppt 平面上取点平面上取点 先找出先找出过过此点而又在平面内的一条直此点而又在平面内的一条直线线作作为辅为辅助助线线，然后再在，然后再在该该直直线线上确定点的位上确定点的位置。置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取首先面上取线线abca b k c d kd利用平面的利用平面的积积聚性求解聚性求解通通过过在面内作在面内作辅辅助助线线求解求解52整理pptbckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为为正平正平线线，补补全平行四全平行四边边形形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二53整理ppt2.5 直直线与平面及两平面的相与平面及两平面的相对位置位置相相对对位置包括位置包括平行平行、相交相交和和垂直。垂直。一、平行一、平行问题问题 直直线线与平面平行与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括 直直线线与平面平行与平面平行定理：定理：若一直若一直线线平行于平面上的某平行于平面上的某一直一直线线，则该则该直直线线与此平面必相互平与此平面必相互平行。行。54整理pptn a c b m abcmn例例1：过过M点作直点作直线线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？55整理ppt正平正平线线例例2：过过M点作直点作直线线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 56整理ppt 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直交直线线对应对应平行于另平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这则这两平面相互两平面相互平行。平行。若两若两投影面垂直投影面垂直面面相互平行，相互平行，则则它它们们具有具有积积聚性聚性的那的那组组投投影必相互平行。影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef57整理ppt二、相交二、相交问题问题直直线线与平面相交与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直直线线与平面相交与平面相交 直直线线与平面相交，其与平面相交，其交点是直交点是直线线与平面的共有点。与平面的共有点。要要讨论讨论的的问题问题：求求直直线线与平面的与平面的交点。交点。判判别别两者之两者之间间的相互遮的相互遮挡挡关系，即关系，即判判别别可可 见见性。性。我我们们只只讨论讨论直直线线与平面中至少有与平面中至少有一个一个处处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。58整理pptabcmnc n b a m 平面平面为为特殊位置特殊位置例：求直例：求直线线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判并判别别可可见见性。性。空空间间及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC是一是一铅铅垂垂面，其水平投影面，其水平投影积积聚成一聚成一条直条直线线，该该直直线线与与mnmn的交的交点即点即为为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判判别别可可见见性性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 为为可可见见。还还可通可通过过重影点判重影点判别别可可见见性。性。k 1(2)作作 图图k2159整理pptkm(n)bm n c b a ac 直直线为线为特殊位置特殊位置空空间间及投影分析及投影分析 直直线线MNMN为铅为铅垂垂线线，其水平投影其水平投影积积聚成一个点，聚成一个点，故交点故交点K K的水平投影也的水平投影也积积聚聚在在该该点上。点上。求交点求交点 判判别别可可见见性性 点点位于平面上，位于平面上，在前；点在前；点位于位于MNMN上，在上，在后。故后。故k k 2 2 为为不可不可见见。1(2)k 21作作图图用面上取点法用面上取点法60整理ppt 两平面相交两平面相交 两平面相交其交两平面相交其交线为线为直直线线，交交线线是是两平面的共有两平面的共有线线，同同时时交交线线上的点都是两平上的点都是两平面的共有点。面的共有点。要要讨论讨论的的问题问题：求求两平面的两平面的交交线线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交一个共有点及交线线的方向。的方向。只只讨论讨论两平面中至少有一个两平面中至少有一个处处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。判判别别两平面之两平面之间间的相互遮的相互遮挡挡关系，即：关系，即：判判别别可可见见性。性。61整理ppt可通可通过过正面投影正面投影直直观观地地进进行判行判别别。abcdefc f d b e a m(n)空空间间及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都都为为正垂面正垂面，它，它们们的正面的正面投影都投影都积积聚成直聚成直线线。交交线线必必为为一条正垂一条正垂线线，只要求只要求得交得交线线上的一个点便可作上的一个点便可作出交出交线线的投影。的投影。求交求交线线 判判别别可可见见性性作作 图图 从正面投影上可从正面投影上可看出，在交看出，在交线线左左侧侧，平面，平面ABCABC在上，其水平投影可在上，其水平投影可见见。nm能否不用重能否不用重影点判影点判别别？能能!如何判如何判别别？例：求两平面的交例：求两平面的交线线MN并判并判别别可可见见性。性。62整理pptb c f h a e abcefh1(2)空空间间及投影分析及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有正面投影有积积聚性。聚性。a a b b 与与e e f f 的交点的交点m m 、b b c c 与与f f h h 的交点的交点n n 即即为为两个共有点两个共有点的正面投影，故的正面投影，故m m n n 即即MNMN的的正面投影正面投影。求交求交线线 判判别别可可见见性性点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fhfh可可见见，n2n2不可不可见见。作作 图图mn 2 nm 1 63整理pptc d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投点的水平投影影n n位于位于defdef的外面，的外面，说说明点明点N N位于位于DEFDEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEFDEF这这个个图图形内。形内。所以所以ABCABC和和DEFDEF的交的交线应为线应为MKMK。nn m kmk 互交互交64整理pptbak三三 垂直垂直问题问题1、直、直线线与平面垂直与平面垂直定理：若一直定理：若一直线线垂直于平面，垂直于平面，则该则该直直线线的水平的水平投影一定垂直于投影一定垂直于该该平面上水平平面上水平线线的水平投影，而的水平投影，而该该直直线线的正面投影一定垂直于的正面投影一定垂直于该该平面上的平面投影平面上的平面投影NKABn证证明：明：NK垂直平面垂直平面PPHAB是平面是平面P内的一条水平内的一条水平线线则则NK垂直于垂直于AB则则nk垂直于垂直于ab同理可同理可证证直直线线NKNK的正面投影垂直于平面上正平的正面投影垂直于平面上正平线线的正面投影的正面投影65整理ppt例：例：过过点点M作直作直线线垂直于三角形垂直于三角形ABC所确定的平面所确定的平面mbmacabceeddnn66整理ppt2、二平面垂直、二平面垂直若一平面包含另一平面的垂若一平面包含另一平面的垂线线，则则此二平面相互垂直此二平面相互垂直 作平面作平面Q包含垂直于平面包含垂直于平面P的直的直线线AB 作平面作平面Q垂直于平面垂直于平面P内的直内的直线线CDPQABPQCD67整理ppt例：例：过过直直线线MN作一平面使它垂直于作一平面使它垂直于ABC所确定的平面所确定的平面abcabcmnmn112268整理ppt 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直二、如何在平面上确定直线线和点。和点。三、两平面平行的条件一定是分三、两平面平行的条件一定是分别别位于两平面位于两平面 内的内的两两组组相交直相交直线对应线对应平行。平行。四、直四、直线线与平面的交点及平面与平面的交与平面的交点及平面与平面的交线线是是 两者的共有点或共有两者的共有点或共有线线。解解题题思路：思路：空空间间及投影分析及投影分析 目的是找出交点或交目的是找出交点或交线线的已知投影。的已知投影。判判别别可可见见性性 尤其是尤其是如何利用重影点判如何利用重影点判别别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。69整理ppt要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影三个投影为边为边数相等的数相等的类类似多似多边边形形类类似性似性。在其垂直的投影面上的投影在其垂直的投影面上的投影积积聚成直聚成直线线 积积聚性聚性。另外两个投影另外两个投影类类似。似。在其平行的投影面上的投影反映在其平行的投影面上的投影反映实实形形 实实形性形性。另外两个投影另外两个投影积积聚聚为为直直线线。70整理ppt二、平面上的点与直二、平面上的点与直线线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直一定位于平面内的某条直线线上上 平面上的直平面上的直线线 过过平面上的两个点。平面上的两个点。过过平面上的一点并平行于平面上的一点并平行于该该平面上的某条直平面上的某条直线线。三、平行三、平行问题问题 直直线线与平面平行与平面平行 直直线线平行于平面内的一条直平行于平面内的一条直线线。两平面平行两平面平行 必必须须是一个平面上的一是一个平面上的一对对相交直相交直线对应线对应平行平行 于另一个平面上的一于另一个平面上的一对对相交直相交直线线。71整理ppt四、相交四、相交问题问题 求直求直线线与平面的交点的方法与平面的交点的方法 一般位置直一般位置直线线与特殊位置平面求交点，利用与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的交点的共有性和平面的积积聚性直接求解。聚性直接求解。投影面垂直投影面垂直线线与一般位置平面求交点，利用与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直交点的共有性和直线线的的积积聚性，采取平面上聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。求两平面的交求两平面的交线线的方法的方法 两特殊位置平面相交，分析交两特殊位置平面相交，分析交线线的空的空间间位置，位置，有有时时可找出两平面的一个共有点，根据交可找出两平面的一个共有点，根据交线线 的投影特性画出交的投影特性画出交线线的投影。的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的特殊位置平面的积积聚性找出两平面的两个共聚性找出两平面的两个共 有点，求出交有点，求出交线线。72整理ppt2.6 2.6 换换面法面法一、一、问题问题的提出的提出 如何求一般位置直如何求一般位置直线线的的实长实长？如何求一般位置平面的真如何求一般位置平面的真实实大小？大小？换换 面面 法：法：物体本身在空物体本身在空间间的位置不的位置不动动，而，而用某一新投影面（用某一新投影面（辅辅助投影面）代替原有助投影面）代替原有投影面，使投影面，使物体相物体相对对新的投影面新的投影面处处于解于解题题所需要的有利位置所需要的有利位置，然后将物体向新投影，然后将物体向新投影面面进进行投射。行投射。解决方法：更解决方法：更换换投影面。投影面。73整理pptVHAB a b ab二、新投影面的二、新投影面的选择选择原原则则1.1.新投影面必新投影面必须对须对空空间间物体物体处处于于最有利的最有利的解解 题题位置。位置。平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面2.2.新投影面必新投影面必须须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b174整理pptVHA a a axX 更更换换一次投影面一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影三、点的投影变换规变换规律律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.75整理pptax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之新旧投影之间间的关系的关系 aa1 X1 a1ax1=a ax 点的新投影到新投影点的新投影到新投影轴轴的距离等于被代替的投影的距离等于被代替的投影 到原投影到原投影轴轴的距离。的距离。axa 一般一般规规律：律：点的新投影和与它有关的原投影的点的新投影和与它有关的原投影的连线连线，必垂直，必垂直 于新投影于新投影轴轴。.76整理ppt XVHaa ax更更换换H面面 求新投影的作求新投影的作图图方法方法 VHXP1HX1 由点的不由点的不变变投影向新投影投影向新投影轴轴作垂作垂线线，并在垂，并在垂线线上量取一段距离，使上量取一段距离，使这这段距离段距离等于被代替的投影到原投影等于被代替的投影到原投影轴轴的距离。的距离。aa X1P1H a1axax1ax1更更换换V面面a1作作图规图规律：律：.77整理ppt 更更换换两次投影面两次投影面先把先把V面面换换成平面成平面P1，P1 H，得到中，得到中间间新投影体系新投影体系:P1HX1 再把再把H面面换换成平面成平面P2，P2 P1，得到新投影体系，得到新投影体系:X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更按次序更换换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 78整理pptax2 a aXVH 求新投影的作求新投影的作图图方法方法a2X1HP1X2P1P2 作作图规图规律律 a2a1 X2 轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .79整理pptVHAB a b ab四、四、换换面法的四个基本面法的四个基本问题问题1.把一般位置直把一般位置直线变换线变换成投影面平行成投影面平行线线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空空间间分析分析：换换H面行面行吗吗？不行！不行！作作图图：例：求直例：求直线线AB的的实长实长及与及与H面的面的夹夹角。角。a b abXVH新投影新投影轴轴的位置？的位置？a1b1与与ab平行。平行。.80整理ppta1b1VH a aXB b bA2.把一般位置直把一般位置直线变换线变换成投影面垂直成投影面垂直线线空空间间分析：分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作作图图：X1P1a1b1X2P2二次二次换换面把投影面平行面把投影面平行线变线变成投影面垂直成投影面垂直线线。X2轴轴的位置？的位置？a2 b2ax2a2 b2.与与a1b1垂直垂直一次一次换换面把直面把直线变线变成投影面平行成投影面平行线线；81整理ppt 一般位置直一般位置直线变换线变换成投影面垂直成投影面垂直线线，需，需经经几次几次变换变换？a b c abcdVHABCDX d 3.把一般位置平面把一般位置平面变换变换成投影面垂直面成投影面垂直面 如果把平面内的一条直如果把平面内的一条直线变换线变换成新投影面的成新投影面的垂直垂直线线，那么，那么该该平面平面则变换则变换成新投影面的垂直面。成新投影面的垂直面。P1X1c1b1 a1 d1空空间间分析：分析：在平面内在平面内取取一条投影面平行一条投影面平行线线，经经一次一次换换面后面后变换变换成成新投影面的垂直新投影面的垂直线线，则该则该平面平面变变成新投影成新投影面的垂直面。面的垂直面。作作图图方法：方法：两平面垂直需两平面垂直需满满足什么条件？足什么条件？能否只能否只进进行一次行一次变换变换？思考：思考：若若变换变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直取什么位置直线线？正平正平线线！82整理ppt a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程：在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换变换成新投影成新投影 面的垂直面的垂直线线。d1a1 d1c1 反映平面反映平面对对哪哪个投影面的个投影面的夹夹角？角？.83整理ppta1 b1需需经经几次几次变换变换？一次一次换换面面,把一般位置平面把一般位置平面变换变换成新投影面的垂直面；成新投影面的垂直面；二次二次换换面，再面，再变换变换成新投影面的平行面。成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面把一般位置平面变换变换成投影面平行面成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图图：AB是水平是水平线空空间间分析：分析：a2c2b2c1X2轴轴的位置？的位置？平面的平面的实实形形.X1HP1.与其平行与其平行84整理pptb1 距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D。c c b a abXVH 五、五、换换面法的面法的应应用用 如下如下图图：当直：当直线线AB垂直于投影面垂直于投影面时时，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映实长实长。APBDCca b d作作图图:求求C点到直点到直线线AB的距离，的距离，就是求垂就是求垂线线CD的的实长实长。空空间间及投影分析：及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作作线线平行于平行于x2轴轴。.如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？85整理pptb a abcdc 例例2：已知两交叉直：已知两交叉直线线AB和和CD的公垂的公垂线线的的长长度度 为为MN，且且AB为为水平水平线线，求，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空空间间及投影分析：及投影分析：VHXHP1X1圆圆半径半径=MNn m 当直当直线线AB垂直于投影垂直于投影面面时时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时这时它的投影它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作作图图：请请注意各点的投注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m点是点是难难点。点。.86整理ppt空空间间及投影分析及投影分析：AB与与CD都平行于投影面都平行于投影面时时，其投影，其投影的的夹夹角才反映角才反映实实大（大（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的平点所确定的平面面变换变换成投影面平行面。成投影面平行面。例例3:过过C点作直点作直线线CD与与AB相交成相交成60角。角。d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！已知点已知点C是等是等边边三角形的三角形的顶顶点，另两个点，另两个顶顶点在直点在直线线AB上，上，求等求等边边三角形的投影。三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.87整理pptP2P1X2H P1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空空间间及投影分析及投影分析：由几何定理知：两面角由几何定理知：两面角为为两平面同两平面同时时与第三平面垂直相交与第三平面垂直相交时时所得两交所得两交线线之之间间的的夹夹角。角。在投影在投影图图中中,两平面的交两平面的交线线垂直于投影面垂直于投影面时时，则则两平面垂直于两平面垂直于该该投影面，它投影面，它们们的投影的投影积积聚成直聚成直线线，直，直线间线间的的夹夹角角为为所求。所求。.88整理ppt小小 结结 本章主要介本章主要介绍绍了投影了投影变换变换的一种常用方法的一种常用方法 换换面法面法。一、一、换换面法就是面法就是改改变变投影面的位置投影面的位置，使它与所，使它与所给给物物 体或其几何元素体或其几何元素处处于于解解题题所需的特殊位置所需的特殊位置。二、二、换换面法的关面法的关键键是要注意是要注意新投影面的新投影面的选择选择条件条件，即必即必须须使使新投影面与某一原投面保持垂直关新投影面与某一原投面保持垂直关系系，同同时时又有利于解又有利于解题题需要，需要，这样这样才能使正投影才能使正投影规规 律律继续继续有效。有效。三、三、点的点的变换规变换规律是律是换换面法的作面法的作图图基基础础，四个基本，四个基本 问题问题是解是解题题的基本作的基本作图图方法，必需熟方法，必需熟练练掌握。掌握。89整理ppt换换面法的四个基本面法的四个基本问题问题：2.把一般位置直把一般位置直线变线变成投影面垂直成投影面垂直线线1.把一般位置直把一般位置直线变线变成投影面平行成投影面平行线线3.把一般位置平面把一般位置平面变变成投影面垂直面成投影面垂直面4.把一般位置平面把一般位置平面变变成投影面平行面成投影面平行面变换变换一次投影面一次投影面变换变换一次投影面一次投影面变换变换两次投影面两次投影面变换变换两次投影面两次投影面需先在面内作一条投影面平行需先在面内作一条投影面平行线线90整理ppt四、解四、解题时题时一般要注意下面几个一般要注意下面几个问题问题：分析已分析已给给条件的空条件的空间间情况，弄清原始条件情况，弄清原始条件中中 物体与原投影面的相物体与原投影面的相对对位置位置，并把，并把这这些些条件条件 抽象成几何元素（点、抽象成几何元素（点、线线、面等）。、面等）。根据要求得到的根据要求得到的结结果，确定出有关几何元果，确定出有关几何元 素素对对新投影面新投影面应处应处于什么于什么样样的特殊位置的特殊位置（垂（垂 直或平行），据此直或平行），据此选择选择正确的解正确的解题题思路与方思路与方 法。法。在具体作在具体作图过图过程中，要注意新投影与原投影程中，要注意新投影与原投影 在在变换变换前后的关系，前后的关系，既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无确无误误地求得地求得结结果，又能将果，又能将结结果果返回到原投返回到原投 影体系中去。影体系中去。作作业业:习题习题册册91整理ppt