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绪论及基本概念、知识绪论及基本概念、知识空空 气气 动动 力力 学学绪论及基本概念、知识空 气 动 力 学空气与气体动力学的任务、研究方法及发展空气与气体动力学的任务、研究方法及发展无黏流动无黏流动无黏流动无黏流动液体液体液体液体流体力学流体力学流体力学流体力学流体静力学流体静力学流体静力学流体静力学流体动力学流体动力学流体动力学流体动力学气体气体气体气体水力学水力学水力学水力学理论流体动力学理论流体动力学理论流体动力学理论流体动力学润滑理论润滑理论润滑理论润滑理论黏性流动黏性流动黏性流动黏性流动 变化小变化小变化小变化小 变化大变化大变化大变化大不可压缩低速不可压缩低速不可压缩低速不可压缩低速空气动力学空气动力学空气动力学空气动力学高度或低压影响高度或低压影响高度或低压影响高度或低压影响高速影响高速影响高速影响高速影响动力气象学动力气象学动力气象学动力气象学稀薄气体动力学稀薄气体动力学稀薄气体动力学稀薄气体动力学气体动力学气体动力学气体动力学气体动力学亚亚亚亚/跨跨跨跨/超声速空气动力超声速空气动力超声速空气动力超声速空气动力学学学学高超声速空气动力学高超声速空气动力学高超声速空气动力学高超声速空气动力学电磁流体动力学电磁流体动力学电磁流体动力学电磁流体动力学空气与气体动力学的任务、研究方法及发展无黏流动液体流体力学流基本任务：基本任务：基本任务：基本任务：空气、气体的运动规律及其与固体之间相互作用力空气、气体的运动规律及其与固体之间相互作用力空气、气体的运动规律及其与固体之间相互作用力空气、气体的运动规律及其与固体之间相互作用力航空、航天、航空、航天、航空、航天、航空、航天、汽车汽车汽车汽车/列车、建筑列车、建筑列车、建筑列车、建筑/桥梁、叶轮机械（风机桥梁、叶轮机械（风机桥梁、叶轮机械（风机桥梁、叶轮机械（风机/汽轮机等）、汽轮机等）、汽轮机等）、汽轮机等）、天气预报、船舶、体育运动、天气预报、船舶、体育运动、天气预报、船舶、体育运动、天气预报、船舶、体育运动、航空飞行器空气动力学航空飞行器空气动力学航空飞行器空气动力学航空飞行器空气动力学升力储备：升力储备：升力储备：升力储备：爬升、机动飞行爬升、机动飞行爬升、机动飞行爬升、机动飞行气动效率：气动效率：气动效率：气动效率：高升阻比高升阻比高升阻比高升阻比稳定性、操控性稳定性、操控性稳定性、操控性稳定性、操控性表面压力及换热规律：表面压力及换热规律：表面压力及换热规律：表面压力及换热规律：材料、结构材料、结构材料、结构材料、结构理想不可压流体理想不可压流体理想不可压流体理想不可压流体伯努利方程伯努利方程伯努利方程伯努利方程空气流过飞行器外部时运动规律空气流过飞行器外部时运动规律空气流过飞行器外部时运动规律空气流过飞行器外部时运动规律 飞行器升力及形成机理飞行器升力及形成机理飞行器升力及形成机理飞行器升力及形成机理库塔库塔库塔库塔-儒可夫儒可夫儒可夫儒可夫斯基定理斯基定理斯基定理斯基定理库塔库塔库塔库塔-儒科夫儒科夫儒科夫儒科夫斯基定理斯基定理斯基定理斯基定理假设假设假设假设实际实际实际实际黏性黏性黏性黏性附面层附面层附面层附面层旋涡旋涡旋涡旋涡/涡涡涡涡量量量量StokesStokes定理定理定理定理翼型非对称附面层内涡量总和翼型非对称附面层内涡量总和翼型非对称附面层内涡量总和翼型非对称附面层内涡量总和即为导致升力的环量即为导致升力的环量即为导致升力的环量即为导致升力的环量环量环量环量环量 从何而来？从何而来？从何而来？从何而来？凯尔文定理凯尔文定理凯尔文定理凯尔文定理基本任务：空气、气体的运动规律及其与固体之间相互作用力航空、飞行器气动部件及其空气动力学机理飞行器气动部件及其空气动力学机理飞行器气动部件及其空气动力学机理飞行器气动部件及其空气动力学机理翼梢小翼翼梢小翼翼梢小翼翼梢小翼下洗速度下洗速度下洗速度下洗速度诱导阻力诱导阻力诱导阻力诱导阻力有效迎角有效迎角有效迎角有效迎角 下洗角下洗角下洗角下洗角翼尖尾涡翼尖尾涡翼尖尾涡翼尖尾涡升力升力升力升力 当地升力当地升力当地升力当地升力等效来流等效来流等效来流等效来流来流来流来流来流实际升力实际升力实际升力实际升力尾涡尾涡尾涡尾涡翼梢小翼翼梢小翼翼梢小翼翼梢小翼 阻挡气流上卷阻挡气流上卷阻挡气流上卷阻挡气流上卷削弱尾涡削弱尾涡削弱尾涡削弱尾涡下洗速度下洗速度下洗速度下洗速度 诱导阻力诱导阻力诱导阻力诱导阻力 内向侧力内向侧力内向侧力内向侧力升力升力升力升力推力推力推力推力内向侧力内向侧力内向侧力内向侧力升力升力升力升力 推力推力推力推力 飞行器气动部件及其空气动力学机理翼梢小翼下洗速度诱导阻力有后掠机翼后掠机翼后掠机翼后掠机翼平直机翼平直机翼平直机翼平直机翼是产生升力是产生升力是产生升力是产生升力/激波的有效速度激波的有效速度激波的有效速度激波的有效速度后掠翼可提高产生激波的后掠翼可提高产生激波的后掠翼可提高产生激波的后掠翼可提高产生激波的MaMacrcr边条涡边条涡边条涡边条涡边条翼：边条翼：边条翼：边条翼：下表面压力下表面压力下表面压力下表面压力 上表面压力上表面压力上表面压力上表面压力气流旋转气流旋转气流旋转气流旋转边条涡边条涡边条涡边条涡涡旋转涡旋转涡旋转涡旋转涡心涡心涡心涡心P P低而低而低而低而V V高高高高流经部位压力低流经部位压力低流经部位压力低流经部位压力低涡升力涡升力涡升力涡升力注入机翼表面气流能量推迟分离注入机翼表面气流能量推迟分离注入机翼表面气流能量推迟分离注入机翼表面气流能量推迟分离激波激波激波激波激波阻力激波阻力激波阻力激波阻力后掠机翼平直机翼是产生升力/激波的有效速度后掠翼可提高产生激发动机气体动力学发动机气体动力学发动机气体动力学发动机气体动力学 高速气体（空气或燃气）在压缩性呈显著作用时的流动规高速气体（空气或燃气）在压缩性呈显著作用时的流动规高速气体（空气或燃气）在压缩性呈显著作用时的流动规高速气体（空气或燃气）在压缩性呈显著作用时的流动规律及其与物体之间的相互作用；律及其与物体之间的相互作用；律及其与物体之间的相互作用；律及其与物体之间的相互作用；气体在物体内部（如发动机）的运动规律；气体在物体内部（如发动机）的运动规律；气体在物体内部（如发动机）的运动规律；气体在物体内部（如发动机）的运动规律；航空发动机主要部件及其作用航空发动机主要部件及其作用航空发动机主要部件及其作用航空发动机主要部件及其作用压气机压气机压气机压气机/风扇：风扇：风扇：风扇：气体增压气体增压气体增压气体增压燃烧室：燃烧室：燃烧室：燃烧室：气体加热气体加热气体加热气体加热涡轮：涡轮：涡轮：涡轮：气体膨胀气体膨胀气体膨胀气体膨胀发动机气体动力学高速气体（空气或燃气）在压缩性呈显著作用时 音障音障音障音障/音爆音爆音爆音爆/音爆音爆音爆音爆云云云云正激波及阻力正激波及阻力正激波及阻力正激波及阻力弱压缩波弱压缩波弱压缩波弱压缩波斜激波斜激波斜激波斜激波 音障音障音障音障楔型体楔型体楔型体楔型体超音速运动超音速运动超音速运动超音速运动激波及激波阻力激波及激波阻力激波及激波阻力激波及激波阻力阻力系数阻力系数阻力系数阻力系数 消耗消耗消耗消耗3/43/4功率功率功率功率 活塞发动机活塞发动机活塞发动机活塞发动机高速时螺旋桨效率低、桨尖易产生激波高速时螺旋桨效率低、桨尖易产生激波高速时螺旋桨效率低、桨尖易产生激波高速时螺旋桨效率低、桨尖易产生激波喷气发动机喷气发动机喷气发动机喷气发动机 降低波阻的超音速气动布局降低波阻的超音速气动布局降低波阻的超音速气动布局降低波阻的超音速气动布局如后掠翼、面积率如后掠翼、面积率如后掠翼、面积率如后掠翼、面积率蜂腰机身等蜂腰机身等蜂腰机身等蜂腰机身等 音爆音爆音爆音爆激波面上声学能量高度集中，这些能量让人感受到短暂而极其强烈的爆炸声。激波面上声学能量高度集中，这些能量让人感受到短暂而极其强烈的爆炸声。激波面上声学能量高度集中，这些能量让人感受到短暂而极其强烈的爆炸声。激波面上声学能量高度集中，这些能量让人感受到短暂而极其强烈的爆炸声。超音速超音速超音速超音速低压气流低压气流低压气流低压气流局部正激波局部正激波局部正激波局部正激波斜激波斜激波斜激波斜激波局部亚音气流局部亚音气流局部亚音气流局部亚音气流超音超音超音超音/亚音气流亚音气流亚音气流亚音气流超音速气流超音速气流超音速气流超音速气流膨胀加速膨胀加速膨胀加速膨胀加速压缩减速压缩减速压缩减速压缩减速尾激波尾激波尾激波尾激波压缩减速压缩减速压缩减速压缩减速 音爆云音爆云音爆云音爆云激波后气体激波后气体激波后气体激波后气体急剧膨胀降压降温急剧膨胀降压降温急剧膨胀降压降温急剧膨胀降压降温潮湿天气潮湿天气潮湿天气潮湿天气气温低于露点气温低于露点气温低于露点气温低于露点水汽凝结水珠水汽凝结水珠水汽凝结水珠水汽凝结水珠云雾云雾云雾云雾音障/音爆/音爆云正激波及阻力弱压缩波斜激波音障楔型体 冲压发动机冲压发动机冲压发动机冲压发动机亚燃冲压发动机亚燃冲压发动机亚燃冲压发动机亚燃冲压发动机 3Ma63Ma6进气道及扩压段进气道及扩压段进气道及扩压段进气道及扩压段斜激波及正激波斜激波及正激波斜激波及正激波斜激波及正激波拉伐尔喷管拉伐尔喷管拉伐尔喷管拉伐尔喷管气流增压至亚音速气流增压至亚音速气流增压至亚音速气流增压至亚音速燃烧室燃烧室燃烧室燃烧室燃烧燃烧燃烧燃烧气流超音速喷出气流超音速喷出气流超音速喷出气流超音速喷出推力推力推力推力超燃冲压发动机超燃冲压发动机超燃冲压发动机超燃冲压发动机进气道进气道进气道进气道/斜激波斜激波斜激波斜激波气流增压且超音速气流增压且超音速气流增压且超音速气流增压且超音速隔离段隔离段隔离段隔离段附面层诱导激波串附面层诱导激波串附面层诱导激波串附面层诱导激波串气流继续增压气流继续增压气流继续增压气流继续增压扩张喷管扩张喷管扩张喷管扩张喷管燃烧室燃烧室燃烧室燃烧室/燃烧燃烧燃烧燃烧气流超音速喷出气流超音速喷出气流超音速喷出气流超音速喷出推力推力推力推力冲压发动机亚燃冲压发动机 3Ma6进气道及扩压段斜航天空气动力学航天空气动力学航天空气动力学航天空气动力学 热障及黑障热障及黑障热障及黑障热障及黑障可压缩性可压缩性可压缩性可压缩性激波激波激波激波黏性黏性黏性黏性摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力压缩增温压缩增温压缩增温压缩增温摩擦生热摩擦生热摩擦生热摩擦生热气流带走气流带走气流带走气流带走加热飞行器表面加热飞行器表面加热飞行器表面加热飞行器表面化学反应化学反应化学反应化学反应空气电离空气电离空气电离空气电离等离子鞘套等离子鞘套等离子鞘套等离子鞘套等离子体振荡频率等离子体振荡频率等离子体振荡频率等离子体振荡频率无线电截止频率无线电截止频率无线电截止频率无线电截止频率无线电信号屏蔽无线电信号屏蔽无线电信号屏蔽无线电信号屏蔽F16F16战斗机战斗机战斗机战斗机 Ma=2 Ma=2温度温度温度温度 120120铝合金铝合金铝合金铝合金黑鸟黑鸟黑鸟黑鸟SR-17SR-17侦察机侦察机侦察机侦察机 Ma=3 Ma=3温度温度温度温度 37037093%93%钛合金钛合金钛合金钛合金航天飞机航天飞机航天飞机航天飞机 Ma=36 Ma=36温度温度温度温度 11000K11000K硅瓷片防护瓦、烧蚀材料硅瓷片防护瓦、烧蚀材料硅瓷片防护瓦、烧蚀材料硅瓷片防护瓦、烧蚀材料 热障热障热障热障结构强度结构强度结构强度结构强度 刚度刚度刚度刚度 动能动能动能动能热能热能热能热能热辐射热辐射热辐射热辐射热传导热传导热传导热传导气动热力学气动热力学气动热力学气动热力学常温常压常温常压常温常压常温常压 OO2 2占占占占20%N20%N2 2占占占占80%80%完全气体完全气体完全气体完全气体2000KT4000K2000KT4000K O O2 22O 2O 4000KT9000K4000KT9000K N N2 22N2N9000KT 9000KT 原子电离原子电离原子电离原子电离OOOO+e+e-N NN N+e+e-O,N,O,N,阳离子阳离子阳离子阳离子OO+,N,N+和自由电子的和自由电子的和自由电子的和自由电子的等离子体等离子体等离子体等离子体 黑障黑障黑障黑障气动热化学气动热化学气动热化学气动热化学分子密度低分子密度低分子密度低分子密度低电离弱电离弱电离弱电离弱80km80km黑障区黑障区黑障区黑障区 54.8km5Ma5高超音速空气动力学高超音速空气动力学高超音速空气动力学高超音速空气动力学卫星卫星卫星卫星/航天飞机航天飞机航天飞机航天飞机稀薄空气动力学稀薄空气动力学稀薄空气动力学稀薄空气动力学飞行器返回飞行器返回飞行器返回飞行器返回气动热化学动力学气动热化学动力学气动热化学动力学气动热化学动力学/电磁流体力学电磁流体力学电磁流体力学电磁流体力学内流气体动力学内流气体动力学内流气体动力学内流气体动力学 压气机压气机压气机压气机/涡轮绕叶片流动涡轮绕叶片流动涡轮绕叶片流动涡轮绕叶片流动 燃烧室燃烧问题燃烧室燃烧问题燃烧室燃烧问题燃烧室燃烧问题20世纪：空气-气体动力学完整体系创建莱特兄弟 第一架有动 2020世纪世纪世纪世纪6060年代年代年代年代 高性能计算机高性能计算机高性能计算机高性能计算机现代计算技术现代计算技术现代计算技术现代计算技术空气空气空气空气-气体动力学理论气体动力学理论气体动力学理论气体动力学理论实验验证实验验证实验验证实验验证计算流体力学计算流体力学计算流体力学计算流体力学/CFD/CFD 部件部件部件部件/全机复杂流场计算全机复杂流场计算全机复杂流场计算全机复杂流场计算 精度精度精度精度/可靠性可靠性可靠性可靠性 周期短周期短周期短周期短/省经费省经费省经费省经费 2020世纪以来世纪以来世纪以来世纪以来 实验技术发展实验技术发展实验技术发展实验技术发展PIVPIVHWAHWA数据采集数据采集数据采集数据采集/处理系统处理系统处理系统处理系统PIV/PIV/激光测速仪激光测速仪激光测速仪激光测速仪HWA/HWA/热线风速仪热线风速仪热线风速仪热线风速仪压力压力压力压力/温度敏感漆温度敏感漆温度敏感漆温度敏感漆详细流场结构详细流场结构详细流场结构详细流场结构/图谱图谱图谱图谱复杂流动机理认识复杂流动机理认识复杂流动机理认识复杂流动机理认识准确实验数据准确实验数据准确实验数据准确实验数据20世纪60年代 高性能计算机计算流体力学/CFD部件/连续介质流连续介质流连续介质流连续介质流空气空气空气空气-气体动力气体动力气体动力气体动力学学学学低密度与自由分子流低密度与自由分子流低密度与自由分子流低密度与自由分子流亚音速流亚音速流亚音速流亚音速流无黏流动无黏流动无黏流动无黏流动黏性流动黏性流动黏性流动黏性流动不可压缩流不可压缩流不可压缩流不可压缩流可压缩流可压缩流可压缩流可压缩流跨音速流跨音速流跨音速流跨音速流 超音速流超音速流超音速流超音速流 高超音速流高超音速流高超音速流高超音速流空气空气空气空气-气体动力学所涉及的流动类型气体动力学所涉及的流动类型气体动力学所涉及的流动类型气体动力学所涉及的流动类型连续介质流空气-气体动力学低密度与自由分子流亚音速流无黏流动流体力学基本概念流体力学基本概念 连续介质连续介质连续介质连续介质随机热运动随机热运动随机热运动随机热运动离散离散离散离散/有间隙有间隙有间隙有间隙大量分子大量分子大量分子大量分子实际离散结构实际离散结构实际离散结构实际离散结构无分子空隙无分子空隙无分子空隙无分子空隙无分子运动无分子运动无分子运动无分子运动连续连续连续连续充满充满充满充满空间空间空间空间 物质空间连续分布假设物质空间连续分布假设物质空间连续分布假设物质空间连续分布假设微观结构性质微观结构性质微观结构性质微观结构性质宏观物理量宏观物理量宏观物理量宏观物理量协调联系协调联系协调联系协调联系时间时间时间时间空间点空间点空间点空间点连续可微函数连续可微函数连续可微函数连续可微函数分子效应范围分子效应范围分子效应范围分子效应范围连续介质范围连续介质范围连续介质范围连续介质范围分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程 ：相邻分子碰撞前的平均距离相邻分子碰撞前的平均距离相邻分子碰撞前的平均距离相邻分子碰撞前的平均距离流体质点流体质点流体质点流体质点连续介质连续介质连续介质连续介质研究物体特征尺寸研究物体特征尺寸研究物体特征尺寸研究物体特征尺寸L Ly yx x流体质点流体质点流体质点流体质点体现空间一点的宏观属性体现空间一点的宏观属性体现空间一点的宏观属性体现空间一点的宏观属性包含分子数多到保证获得稳定的宏观统计属性包含分子数多到保证获得稳定的宏观统计属性包含分子数多到保证获得稳定的宏观统计属性包含分子数多到保证获得稳定的宏观统计属性L L a a特征体积特征体积特征体积特征体积含含含含2.72.7 10101010个空气分子个空气分子个空气分子个空气分子分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程1010-6-6cmcm某时刻某时刻某时刻某时刻流场流场流场流场某空间点某空间点某空间点某空间点宏观物理量宏观物理量宏观物理量宏观物理量该时刻占据该空间点该时刻占据该空间点该时刻占据该空间点该时刻占据该空间点流体质点具有的宏观物理量流体质点具有的宏观物理量流体质点具有的宏观物理量流体质点具有的宏观物理量流体力学基本概念连续介质随机热运动离散/有间隙大量分子实连续流区：连续流区：连续流区：连续流区：70km130km130km1cm1cm3 3 含含含含10101313个分子个分子个分子个分子分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程分子平均自由行程0.3m0.3m130km130km稀薄空气动力学稀薄空气动力学稀薄空气动力学稀薄空气动力学连续介质连续介质连续介质连续介质 空气动力学角度的大气结构空气动力学角度的大气结构空气动力学角度的大气结构空气动力学角度的大气结构 过渡流区：过渡流区：过渡流区：过渡流区：100-130km100-130km 一点密度一点密度一点密度一点密度压缩压缩压缩压缩膨胀膨胀膨胀膨胀 一点速度一点速度一点速度一点速度某时刻空间某固定点某时刻空间某固定点某时刻空间某固定点某时刻空间某固定点B B的速度的速度的速度的速度=该时刻通过该时刻通过该时刻通过该时刻通过B B点的流体质点的速度点的流体质点的速度点的流体质点的速度点的流体质点的速度连续介质空间连续介质空间连续介质空间连续介质空间流场流场流场流场流体质点流体质点流体质点流体质点y yx x流场中某空间点物理量流场中某空间点物理量流场中某空间点物理量流场中某空间点物理量=占据该点流体质点具有的物理量占据该点流体质点具有的物理量占据该点流体质点具有的物理量占据该点流体质点具有的物理量运动运动运动运动/静静静静止止止止同一空间点同一空间点同一空间点同一空间点不同时刻不同时刻不同时刻不同时刻不同流体质点占据不同流体质点占据不同流体质点占据不同流体质点占据具有不同物理量具有不同物理量具有不同物理量具有不同物理量y yx x连续流区：70km标准海平面1cm3 含2.71019个 可压缩性可压缩性可压缩性可压缩性 波义耳实验波义耳实验波义耳实验波义耳实验气体压力从气体压力从气体压力从气体压力从p p增加增加增加增加p+p+p p体积或比容体积或比容体积或比容体积或比容v v/单位质量气体占有的容积单位质量气体占有的容积单位质量气体占有的容积单位质量气体占有的容积 压力改变量压力改变量压力改变量压力改变量比容相对变化量比容相对变化量比容相对变化量比容相对变化量 压缩性压缩性压缩性压缩性流体音速大小流体音速大小流体音速大小流体音速大小 压力变化幅度压力变化幅度压力变化幅度压力变化幅度考虑压缩性？考虑压缩性？考虑压缩性？考虑压缩性？体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量比值比值比值比值流体的可压缩性系数流体的可压缩性系数流体的可压缩性系数流体的可压缩性系数空气一个大气压下空气一个大气压下空气一个大气压下空气一个大气压下 =10=10-5-5mm2 2/N/N水一个大气压下水一个大气压下水一个大气压下水一个大气压下 =5=5 1010-10-10 mm2 2/N/N高速高速高速高速/高高高高MaMa数运动气体必须考虑可压缩性数运动气体必须考虑可压缩性数运动气体必须考虑可压缩性数运动气体必须考虑可压缩性 传热性传热性传热性传热性 yT(y+y)xyT(y)Qy y热传导：分子热运动热传导：分子热运动热传导：分子热运动热传导：分子热运动热能输运热能输运热能输运热能输运热辐射：电磁波辐射热辐射：电磁波辐射热辐射：电磁波辐射热辐射：电磁波辐射热对流：流体宏观运动热对流：流体宏观运动热对流：流体宏观运动热对流：流体宏观运动热迁移热迁移热迁移热迁移静止静止静止静止/运动流体运动流体运动流体运动流体运动流体运动流体运动流体运动流体温度分布不均匀温度分布不均匀温度分布不均匀温度分布不均匀傅立叶定律：傅立叶定律：傅立叶定律：傅立叶定律：单位面积热流量与温度梯度成比例单位面积热流量与温度梯度成比例单位面积热流量与温度梯度成比例单位面积热流量与温度梯度成比例热量传递方向与温度梯度方向相反热量传递方向与温度梯度方向相反热量传递方向与温度梯度方向相反热量传递方向与温度梯度方向相反 -导热系数导热系数导热系数导热系数W/(m.K)W/(m.K)三维空间温度不均匀分布三维空间温度不均匀分布三维空间温度不均匀分布三维空间温度不均匀分布热传导性为各向同性热传导性为各向同性热传导性为各向同性热传导性为各向同性高温区高温区高温区高温区低温区低温区低温区低温区热能热能热能热能分子热运动分子热运动分子热运动分子热运动热辐射热辐射热辐射热辐射热传导热传导热传导热传导高超音速高超音速高超音速高超音速载人飞船载人飞船载人飞船载人飞船“阿波罗阿波罗阿波罗阿波罗”再入大气再入大气再入大气再入大气q qr r/q/qc c 0.30.3不可忽略热辐不可忽略热辐不可忽略热辐不可忽略热辐射射射射空间探测器空间探测器空间探测器空间探测器“丘比特丘比特丘比特丘比特”再入大气再入大气再入大气再入大气q=qq=qr r忽略可热传导忽略可热传导忽略可热传导忽略可热传导可压缩性 波义耳实验气体压力从p增加p+p体积或比容v 黏性黏性黏性黏性 流体中的切应力与垂直流动方向速度梯度成比例流体中的切应力与垂直流动方向速度梯度成比例流体中的切应力与垂直流动方向速度梯度成比例流体中的切应力与垂直流动方向速度梯度成比例牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律相邻流层气体以不同宏观速度运动相邻流层气体以不同宏观速度运动相邻流层气体以不同宏观速度运动相邻流层气体以不同宏观速度运动平均速度平均速度平均速度平均速度气体质点宏观速度气体质点宏观速度气体质点宏观速度气体质点宏观速度热运动速度热运动速度热运动速度热运动速度气体分子随机运动速度气体分子随机运动速度气体分子随机运动速度气体分子随机运动速度分子速度分子速度分子速度分子速度分子随机运动及碰撞分子随机运动及碰撞分子随机运动及碰撞分子随机运动及碰撞动量交换动量交换动量交换动量交换16861686年牛顿剪切流动实验年牛顿剪切流动实验年牛顿剪切流动实验年牛顿剪切流动实验牛顿流体牛顿流体牛顿流体牛顿流体上层宏观速度大上层宏观速度大上层宏观速度大上层宏观速度大动量动量动量动量 下层宏观速度小下层宏观速度小下层宏观速度小下层宏观速度小动量动量动量动量 运动气体相邻各层间分子动量单位时间变化率运动气体相邻各层间分子动量单位时间变化率运动气体相邻各层间分子动量单位时间变化率运动气体相邻各层间分子动量单位时间变化率=剪应力剪应力剪应力剪应力/黏性力黏性力黏性力黏性力 流体中切应力与剪切变形率成比例流体中切应力与剪切变形率成比例流体中切应力与剪切变形率成比例流体中切应力与剪切变形率成比例 切应力切应力切应力切应力流体微团变形流体微团变形流体微团变形流体微团变形流体的易流动性流体的易流动性流体的易流动性流体的易流动性黏性系数黏性系数黏性系数黏性系数 -动力粘性系数动力粘性系数动力粘性系数动力粘性系数 -运动粘性系数运动粘性系数运动粘性系数运动粘性系数T 分子无规则热运动速度分子无规则热运动速度分子无规则热运动速度分子无规则热运动速度 动量交换动量交换动量交换动量交换 流体粘性大小的度量流体粘性大小的度量流体粘性大小的度量流体粘性大小的度量T=288.15KT=288.15K时水时水时水时水 =1.75=1.75 1010-3-3 N.s/mN.s/m2 2T=288.15KT=288.15K时空气时空气时空气时空气 =1.7894=1.7894 1010-5-5 N.s/mN.s/m2 2T T=288.15K288.15K且且且且 =1.225kg/m=1.225kg/m3 3时时时时 =1.4607=1.4607 1010-5-5 mm2 2/s/s流体质点：流体质点：流体质点：流体质点：可忽略尺度效应可忽略尺度效应可忽略尺度效应可忽略尺度效应如膨胀如膨胀如膨胀如膨胀/变形变形变形变形/转动转动转动转动的最小单元的最小单元的最小单元的最小单元流体微团：流体微团：流体微团：流体微团：大量流体质点组成的具有尺度效应的微小流体团大量流体质点组成的具有尺度效应的微小流体团大量流体质点组成的具有尺度效应的微小流体团大量流体质点组成的具有尺度效应的微小流体团yFhv(y)ABxv黏性 流体中的切应力与垂直流动方向速度梯度成比例牛顿内摩擦 作用在流体上的力作用在流体上的力作用在流体上的力作用在流体上的力质量力质量力质量力质量力R Rb b作用在体积作用在体积作用在体积作用在体积 内每个流体质点上的非接触力内每个流体质点上的非接触力内每个流体质点上的非接触力内每个流体质点上的非接触力与与与与 以外流体无关以外流体无关以外流体无关以外流体无关地球引力地球引力地球引力地球引力/重力重力重力重力电磁力电磁力电磁力电磁力非惯性系中惯性力非惯性系中惯性力非惯性系中惯性力非惯性系中惯性力某时刻作用于单位质量流体上质量力某时刻作用于单位质量流体上质量力某时刻作用于单位质量流体上质量力某时刻作用于单位质量流体上质量力某时刻作用于体积微元某时刻作用于体积微元某时刻作用于体积微元某时刻作用于体积微元和和和和整个体积整个体积整个体积整个体积 上质量力上质量力上质量力上质量力只存在重力场只存在重力场只存在重力场只存在重力场ZXY S S表面力表面力表面力表面力p pn n外界（流体或固体）作用在体积表面外界（流体或固体）作用在体积表面外界（流体或固体）作用在体积表面外界（流体或固体）作用在体积表面S S上的力上的力上的力上的力压力压力压力压力黏性黏性黏性黏性/摩擦摩擦摩擦摩擦力力力力体积体积体积体积 表面表面表面表面S S上面积元上面积元上面积元上面积元 S S外法向单位向量外法向单位向量外法向单位向量外法向单位向量设设设设t t时刻作用时刻作用时刻作用时刻作用 S S上上上上表面力表面力表面力表面力作用于面积元作用于面积元作用于面积元作用于面积元dSdS及整个表面及整个表面及整个表面及整个表面S S上表面力上表面力上表面力上表面力流体分子间距离大流体分子间距离大流体分子间距离大流体分子间距离大分子间引力小分子间引力小分子间引力小分子间引力小法向力法向力法向力法向力切向力切向力切向力切向力与黏性有关与黏性有关与黏性有关与黏性有关流体静止流体静止流体静止流体静止理想流体理想流体理想流体理想流体 =0=0流体压力流体压力流体压力流体压力热力学热力学热力学热力学“压强压强压强压强”流体质点不能承受拉力流体质点不能承受拉力流体质点不能承受拉力流体质点不能承受拉力表面力只能指向流体体积内部表面力只能指向流体体积内部表面力只能指向流体体积内部表面力只能指向流体体积内部可证明：可证明：可证明：可证明：静止流体或运动的无粘流体中某一点压强数值与所取作用面的空间方位无关静止流体或运动的无粘流体中某一点压强数值与所取作用面的空间方位无关静止流体或运动的无粘流体中某一点压强数值与所取作用面的空间方位无关静止流体或运动的无粘流体中某一点压强数值与所取作用面的空间方位无关作用在流体上的力质量力Rb作用在体积内每个流体质点上的非 完全气体及其热力学参数、热力学定律完全气体及其热力学参数、热力学定律完全气体及其热力学参数、热力学定律完全气体及其热力学参数、热力学定律分子为弹性质点分子为弹性质点分子为弹性质点分子为弹性质点分子不占有体积分子不占有体积分子不占有体积分子不占有体积分子间无作用力分子间无作用力分子间无作用力分子间无作用力完全气体完全气体完全气体完全气体状态方程状态方程状态方程状态方程克拉贝隆方程克拉贝隆方程克拉贝隆方程克拉贝隆方程R-R-气体常数气体常数气体常数气体常数空气空气空气空气R=287.06J/kg.KR=287.06J/kg.K状态参数：状态参数：状态参数：状态参数：标志热力系内工质所处状态的宏观物理量标志热力系内工质所处状态的宏观物理量标志热力系内工质所处状态的宏观物理量标志热力系内工质所处状态的宏观物理量基本状态参数基本状态参数基本状态参数基本状态参数均匀热力系内两个独立状态参数均匀热力系内两个独立状态参数均匀热力系内两个独立状态参数均匀热力系内两个独立状态参数其他状态参数其他状态参数其他状态参数其他状态参数过程参数过程参数过程参数过程参数其他状态参数其他状态参数其他状态参数其他状态参数与过程有关的热力学参数与过程有关的热力学参数与过程有关的热力学参数与过程有关的热力学参数大量微观粒子具有的能量大量微观粒子具有的能量大量微观粒子具有的能量大量微观粒子具有的能量内能内能内能内能u u不包括热力系宏观运动动能和外界作用的能量不包括热力系宏观运动动能和外界作用的能量不包括热力系宏观运动动能和外界作用的能量不包括热力系宏观运动动能和外界作用的能量分子动能分子动能分子动能分子动能分子移动分子移动分子移动分子移动/转动转动转动转动/内部原子振动内部原子振动内部原子振动内部原子振动T T的函数的函数的函数的函数分子位能分子位能分子位能分子位能分子间相互作用具有的能量分子间相互作用具有的能量分子间相互作用具有的能量分子间相互作用具有的能量 v v或或或或 的函数的函数的函数的函数构成分子的化学能和构成原子的原子能构成分子的化学能和构成原子的原子能构成分子的化学能和构成原子的原子能构成分子的化学能和构成原子的原子能组成热力系组成热力系组成热力系组成热力系工质流动过程中携带的总能量即内能与推动功之和工质流动过程中携带的总能量即内能与推动功之和工质流动过程中携带的总能量即内能与推动功之和工质流动过程中携带的总能量即内能与推动功之和焓焓焓焓h h热力学第一定律热力学第一定律热力学第一定律热力学第一定律 外界传给封闭物质系统的热量外界传给封闭物质系统的热量外界传给封闭物质系统的热量外界传给封闭物质系统的热量=系统内能增量系统内能增量系统内能增量系统内能增量+系统对外界做机械功系统对外界做机械功系统对外界做机械功系统对外界做机械功定容比热定容比热定容比热定容比热定压比热定压比热定压比热定压比热热完全气体热完全气体热完全气体热完全气体完全气体及其热力学参数、热力学定律分子为弹性质点分子不占C Cv v与与与与C Cp p关系关系关系关系比热比比热比比热比比热比C Cv v、C Cp p、k k为常数为常数为常数为常数量热完全气体量热完全气体量热完全气体量热完全气体真实气体效应真实气体效应真实气体效应真实气体效应T600KT600K氧分子氧分子氧分子氧分子OO2 2氮分子氮分子氮分子氮分子N N2 2平动平动平动平动+转动转动转动转动单位质量空气单位质量空气单位质量空气单位质量空气600KT2500K600KT2500K氧分子氧分子氧分子氧分子OO2 2氮分子氮分子氮分子氮分子N N2 2平动平动平动平动+转动转动转动转动+振动振动振动振动振动动能振动动能振动动能振动动能k k 2500KT9000K2500KT9000K氧分子氧分子氧分子氧分子OO2 2氮分子氮分子氮分子氮分子N N2 2离解离解离解离解如如如如9000KT9000K2500KT2500K多组分多组分多组分多组分/变成分变成分变成分变成分/有化学反应混合气有化学反应混合气有化学反应混合气有化学反应混合气体体体体Cv与Cp关系比热比Cv、Cp、k为常数量热完全气体真实气体熵熵熵熵s s热力系在可逆过程中从外界传入的热量与当时绝对温度之商热力系在可逆过程中从外界传入的热量与当时绝对温度之商热力系在可逆过程中从外界传入的热量与当时绝对温度之商热力系在可逆过程中从外界传入的热量与当时绝对温度之商等熵关系式等熵关系式等熵关系式等熵关系式热力学第二定律热力学第二定律热力学第二定律热力学第二定律/熵增原理熵增原理熵增原理熵增原理 绝热变化的孤立系统中绝热变化的孤立系统中绝热变化的孤立系统中绝热变化的孤立系统中若过程可逆若过程可逆若过程可逆若过程可逆s=0s=0若过程不可逆若过程不可逆若过程不可逆若过程不可逆s0s0熵s热力系在可逆过程中从外界传入的热量与当时绝对温度之商等熵 流体中运动物体所受的力流体中运动物体所受的力流体中运动物体所受的力流体中运动物体所受的力升阻力及力矩升阻力及力矩升阻力及力矩升阻力及力矩气动力：气动力：气动力：气动力：空气施加在物面上作用力空气施加在物面上作用力空气施加在物面上作用力空气施加在物面上作用力垂直指向物面垂直指向物面垂直指向物面垂直指向物面表面压力表面压力表面压力表面压力p p切于物面且与气流方向相同切于物面且与气流方向相同切于物面且与气流方向相同切于物面且与气流方向相同切应力切应力切应力切应力/摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力 合力合力合力合力垂直来流垂直来流垂直来流垂直来流升力升力升力升力L L 平行来流平行来流平行来流平行来流阻力阻力阻力阻力D D垂直弦线垂直弦线垂直弦线垂直弦线法向力法向力法向力法向力N N 平行弦线平行弦线平行弦线平行弦线轴向力轴向力轴向力轴向力A A迎迎迎迎角角角角弦线弦线弦线弦线来流来流来流来流自由来流动压自由来流动压自由来流动压自由来流动压 参考面积参考面积参考面积参考面积S S参考长度参考长度参考长度参考长度l l 二维二维二维二维升力系数升力系数升力系数升力系数 阻力系数阻力系数阻力系数阻力系数 力矩系数力矩系数力矩系数力矩系数压强系数压强系数压强系数压强系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数流体中运动物体所受的力升阻力及力矩气动力：空气施加在物面上空气与气体动力学所需的部分数学知识空气与气体动力学所需的部分数学知识 坐标系坐标系坐标系坐标系笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系ZXYOBC空间矢量空间矢量空间矢量空间矢量微增量微增量微增量微增量r XYOr=constr+dr=const=const+d=constd 空间矢量空间矢量空间矢量空间矢量圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系Z空气与气体动力学所需的部分数学知识坐标系笛卡尔坐标系ZXY 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度PP1Q=const+d=const方向为方向为方向为方向为 变化率最大方向变化率最大方向变化率最大方向变化率最大方向大小为这个最大变化率数值大小为这个最大变化率数值大小为这个最大变化率数值大小为这个最大变化率数值标量场不均匀性的量度标量场不均匀性的量度标量场不均匀性的量度标量场不均匀性的量度哈密顿算子及其在直角坐标系下形式哈密顿算子及其在直角坐标系下形式哈密顿算子及其在直角坐标系下形式哈密顿算子及其在直角坐标系下形式具有微分和向量双重性质具有微分和向量双重性质具有微分和向量双重性质具有微分和向量双重性质进行向量计算并对其右边量微分进行向量计算并对其右边量微分进行向量计算并对其右边量微分进行向量计算并对其右边量微分 =const=const等势面上取任意相邻等势面上取任意相邻等势面上取任意相邻等势面上取任意相邻P P1 1点点点点等势面等势面等势面等势面 =const=const单位法向量单位法向量单位法向量单位法向量为为为为方向方向方向方向单位向量单位向量单位向量单位向量dndn为等势面为等势面为等势面为等势面 =const=const和和和和+d=const间最小距间最小距离离 在在在在R R向的直接微分向的直接微分向的直接微分向的直接微分=在该方向的投影在该方向的投影在该方向的投影在该方向的投影哈密顿算子在圆柱坐标系下形式哈密顿算子在圆柱坐标系下形式哈密顿算子在圆柱坐标系下形式哈密顿算子在圆柱坐标系下形式标量场的梯度PP1Q=const+d=const方 矢量场的梯度张量及其分解矢量场的梯度张量及其分解矢量场的梯度张量及其分解矢量场的梯度张量及其分解速度梯度张量速度梯度张量速度梯度张量速度梯度张量=变形率张量（对称）变形率张量（对称）变形率张量（对称）变形率张量（对称）+旋转张量（反对称）旋转张量（反对称）旋转张量（反对称）旋转张量（反对称）与流体微团变形有关与流体微团变形有关与流体微团变形有关与流体微团变形有关与流体微团旋转有关与流体微团旋转有关与流体微团旋转有关与流体微团旋转有关矢量场的梯度张量及其分解速度梯度张量=变形率张量（对称）+矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度矢量场的散度向量中包围向量中包围向量中包围向量中包围MM点作微小体积点作微小体积点作微小体积点作微小体积且其表面为且其表面为且其表面为且其表面为 s s速度散度速度散度速度散度速度散度ds 流体微团流体微团流体微团流体微团 边界为边界为边界为边界为s s，以，以，以，以 运动的边界元运动的边界元运动的边界元运动的边界元 法向单位向量为法向单位向量为法向单位向量为法向单位向量为 ，则，则，则，则流体微团体积相对变化率流体微团体积相对变化率流体微团体积相对变化率流体微团体积相对变化率=流体速度散度流体速度散度流体速度散度流体速度散度ds 矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的旋度斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式矢量场矢量场矢量场矢量场V V沿有向闭曲线沿有向闭曲线沿有向闭曲线沿有向闭曲线L L的环量的环量的环量的环量 等于等于等于等于矢量场矢量场矢量场矢量场V V的旋度场通过的旋度场通过的旋度场通过的旋度场通过L L所张的曲面所张的曲面所张的曲面所张的曲面A A的通量的通量的通量的通量矢量场的散度向量中包围M点作微小体积且其表面为s速度闭域闭域闭域闭域 、S S上的物理量上的物理量上的物理量上的物理量 、一阶偏导数连续一阶偏导数连续一阶偏导数连续一阶偏导数连续 拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子 线线线线/面面面面/体积分关体积分关体积分关体积分关系系系系若若若若S S为为为为 的封闭曲面且的封闭曲面且的封闭曲面且的封闭曲面且 为为为为dSdS的单位外法线向量的单位外法线向量的单位外法线向量的单位外法线向量闭域、S上的物理量、一阶偏导数连续拉普拉斯算子线随体导数及雷诺输运定理随体导数及雷诺输运定理 拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法和欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法t t1 1t t2 2时间段内时间段内时间段内时间段内从某时刻始跟踪每一流体质点从某时刻始跟踪每一流体质点从某时刻始跟踪每一流体质点从某时刻始跟踪每一流体质点描述其流动参数变化描述其流动参数变化描述其流动参数变化描述其流动参数变化t t1 1时刻时刻时刻时刻描述某时刻流场中占据不同空间几何描述某时刻流场中占据不同空间几何描述某时刻流场中占据不同空间几何描述某时刻流场中占据不同空间几何位置的流体质点具有的流动参数分布位置的流体质点具有的流动参数分布位置的流体质点具有的流动参数分布位置的流体质点具有的流动参数分布 体系和控制体体系和控制体体系和控制体体系和控制体体系体系体系体系t t1 1时刻时刻时刻时刻t t2 2时刻时刻时刻时刻确定不变的流体质点集合确定不变的流体质点集合确定不变的流体质点集合确定不变的流体质点集合边界随流体运动且变化边界随流体运动且变化边界随流体运动且变化边界随流体运动且变化边边边边 界界界界环境环境环境环境体系体系体系体系力力力力/能能能能量量量量质量质量质量质量t t1 1时刻时刻时刻时刻t t2 2时刻时刻时刻时刻边边边边 界界界界环境环境环境环境控制体控制体控制体控制体力力力力/能量能量能量能量/质质质质量量量量相对空间坐标系固定不变的体积相对空间坐标系固定不变的体积相对空间坐标系固定不变的体积相对空间坐标系固定不变的体积流体质点随时间流入流体质点随时间流入流体质点随时间流入流体质点随时间流入/流出该空间流出该空间流出该空间流出该空间控制体控制体控制体控制体随体导数及雷诺输运定理拉格朗日法和欧拉法欧拉法拉格朗日法t 随体导数随体导数随体导数随体导数/物质导物质导物质导物质导数数数数用欧拉导数表示一个流体质点用欧拉导数表示一个流体质点用欧拉导数表示一个流体质点用欧拉导数表示一个流体质点/微团的拉格朗日变化率微团的拉格朗日变化率微团的拉格朗日变化率微团的拉格朗日变化率某流体质点具有的某物理量如某流体质点具有的某物理量如某流体质点具有的某物理量如某流体质点具有的某物理量如 流体质点通过流体质点通过流体质点通过流体质点通过1 1点时其具有的点时其具有的点时其具有的点时其具有的 随时间变化率随时间变化率随时间变化率随时间变化率拉格朗日变化率拉格朗日变化率拉格朗日变化率拉格朗日变化率随体导数随体导数随体导数随体导数/物质导物质导物质导物质导数数数数流体质点速度流体质点速度流体质点速度流体质点速度随体导数算子随体导数算子随体导数算子随体导数算子局部或当地偏导数局部或当地偏导数局部或当地偏导数局部或当地偏导数流体质点物理量因流动非定常性引起的随时间变化率流体质点物理量因流动非定常性引起的随时间变化率流体质点物理量因流动非定常性引起的随时间变化率流体质点物理量因流动非定常性引起的随时间变化率迁移偏导数迁移偏导数迁移偏导数迁移偏导数存在梯度存在梯度存在梯度存在梯度的非均匀场中因质点的非均匀场中因质点的非均匀场中因质点的非均匀场中因质点位置变化引起的物理量随时间变化率位置变化引起的物理量随时间变化率位置变化引起的物理量随时间变化率位置变化引起的物理量随时间变化率 的最大变化率投影至的最大变化率投影至的最大变化率投影至的最大变化率投影至V V方向方向方向方向t t时间内运动距离时间内运动距离时间内运动距离时间内运动距离 t t时间时间时间时间=单位时间单位时间单位时间单位时间 变化率变化率变化率变化率小人儿低温小人儿低温小人儿低温小人儿低温迁移偏导数迁移偏导数迁移偏导数迁移偏导数屋里屋里屋里屋里屋外屋外屋外屋外小人儿低温小人儿低温小人儿低温小人儿低温局部偏导数局部偏导数局部偏导数局部偏导数雪球雪球雪球雪球随体导数/物质导数用欧拉导数表示一个流体质点/微团的拉格朗 雷诺输运定理雷诺输运定理雷诺输运定理雷诺输运定理用欧拉导数表示一个流体体系的拉格朗日变化率用欧拉导数表示一个流体体系的拉格朗日变化率用欧拉导数表示一个流体体系的拉格朗日变化率用欧拉导数表示一个流体体系的拉格朗日变化率系统物理量系统物理量系统物理量系统物理量质量质量质量质量动量动量动量动量总能量总能量总能量总能量动量矩动量矩动量矩动量矩 (t)(t+t)SS2 3S1dAdA 2 1t t时刻时刻时刻时刻控制体控制体控制体控制体 =体系体系体系体系 (t)(t)第一项：第一项：第一项：第一项：对控制体对控制体对控制体对控制体 不同时刻积分不同时刻积分不同时刻积分不同时刻积分 t t0 0时时时时 (t)(t)体体体体系系系系转转转转化化化化为为为为控控控控制制制制体体体体且且且且不不不不随随随随t t变变变变化化化化第二、三项第二、三项第二、三项第二、三项单位时间从单位时间从单位时间从单位时间从控制体控制体控制体控制体 边界边界边界边界S S1 1、S S2 2移出和移入物理量移出和移入物理量移出和移入物理量移出和移入物理量单位时间单位时间单位时间单位时间控制体控制体控制体控制体 边界边界边界边界S S净向外输运物理量净向外输运物理量净向外输运物理量净向外输运物理量考虑夹角关系考虑夹角关系考虑夹角关系考虑夹角关系保证微体积为正保证微体积为正保证微体积为正保证微体积为正某物理量系统导数某物理量系统导数某物理量系统导数某物理量系统导数控制体控制体控制体控制体 中所含物理量中所含物理量中所含物理量中所含物理量 增量增量增量增量通过控制面通过控制面通过控制面通过控制面A A流出相应物理量流出相应物理量流出相应物理量流出相应物理量单位时间内单位时间内单位时间内单位时间内雷诺输运定理用欧拉导数表示一个流体体系的拉格朗日变化率系统某个流体质点某个流体质点某个流体质点某个流体质点流体质点组成的系统流体质点组成的系统流体质点组成的系统流体质点组成的系统所具有的物理量随时间变化率即所具有的物理量随时间变化率即所具有的物理量随时间变化率即所具有的物理量随时间变化率即拉格朗日变化率拉格朗日变化率拉格朗日变化率拉格朗日变化率以该物理量以该物理量以该物理量以该物理量欧拉导数欧拉导数欧拉导数欧拉导数形式描述形式描述形式描述形式描述欧拉场欧拉场欧拉场欧拉场欧拉场中的控制体欧拉场中的控制体欧拉场中的控制体欧拉场中的控制体雷诺输运定理的不同形式雷诺输运定理的不同形式雷诺输运定理的不同形式雷诺输运定理的不同形式令令令令雷诺第二输运定理雷诺第二输运定理雷诺第二输运定理雷诺第二输运定理质量守恒质量守恒质量守恒质量守恒连续方程连续方程连续方程连续方程某个流体质点流体质点组成的系统所具有的物理量随时间变化率即
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