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二次根式复习1本章知识本章知识本章知识本章知识（一）（一）、二次根式、二次根式概念及意义概念及意义.像像 、这样表示这样表示 的的 _，且，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。根号内含有字母的代数式叫做二次根式。一一个数的个数的_也叫做二次根式。也叫做二次根式。算术平方根算术平方根算术平方根算术平方根注意：注意：被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零判断下列各式哪些是二次根式？判断下列各式哪些是二次根式？本章知识（一）、二次根式概念及意义.像 2题型题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.1.当当 _时，时，有意义。有意义。2.2.若若 +3.3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解得解得 -5x-5x3 3解：解：说明：二次根式被开方数说明：二次根式被开方数不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范围常转式中字母的取值范围常转化为不等式（组）化为不等式（组）33a=4a=4有意义的条件是有意义的条件是 .题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.3题型题型2:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.4.4.已知：已知：+=0,+=0,求求 x-y x-y 的值的值.5.5.已知已知x,yx,y为实数为实数,且且 +3(y-2)+3(y-2)2 2=0,=0,则则x-yx-y的值为的值为()A.3 A.3 B.-3 B.-3 C.1 D.-1C.1 D.-1解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=02x+y=0解得解得 x=4,y=-8x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12x-y=4-(-8)=4+8=12D D题型2:二次根式的非负性的应用.4.已知：+4(二）、二次根式的性质：二）、二次根式的性质：本章知识本章知识本章知识本章知识(二）、二次根式的性质：本章知识5(二）二次根式的简单性质二）二次根式的简单性质 练习：计算练习：计算(二）二次根式的简单性质 练习：计算6(二）二次根式的简单性质二）二次根式的简单性质 练习：计算练习：计算(二）二次根式的简单性质 练习：计算7积的算术平方根积的算术平方根 积的算术平方根，等于积中各积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（因式的算术平方根的积（a a、b b都是都是非负数）。非负数）。(二）二次根式的简单性质二）二次根式的简单性质 积的算术平方根 积的算术平方根，等于积中各因式的算8商的算术平方根商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根术平方根除以除式的算术平方根(二）二次根式的简单性质二）二次根式的简单性质 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方9BA（1）下列各式不是二次根式的是下列各式不是二次根式的是（）（3）选择：下列计算正确的是（）（）（）CC基础训练BA（1）下列各式不是二次根式的是（10 把被开方数的积作为积的被开方数把被开方数的积作为积的被开方数（三）二次根式的乘法（三）二次根式的乘法 把被开方数的积作为积的被开方数（三）二次根式的11（三）二次根式的除法（三）二次根式的除法 把被开方数的商作为商的被开方数把被开方数的商作为商的被开方数（三）二次根式的除法 把被开方数的商作为商的被开方12练习：计算练习：计算练习：计算13(四）二次根式的运算四）二次根式的运算(四）二次根式的运算 143 3、实数在数轴上的位置如图示，、实数在数轴上的位置如图示，化简化简|a-1|+|a-1|+。4、请计算、请计算a=，b=，求求 a2b-ab2 的值的值3、实数在数轴上的位置如图示，。能力冲浪4、156.6.若方程若方程 ，则，则 x_x_ 5.5.若数轴上表示数若数轴上表示数x x的点在原点的左边，的点在原点的左边，则化简则化简|3x+x|3x+x2 2|的结果是（的结果是（）A.-4x B.4x C.-2x D.2xA.-4x B.4x C.-2x D.2xC C7.7.一个台阶如图，阶梯每一层高一个台阶如图，阶梯每一层高15cm15cm，宽，宽25cm25cm，长，长60cm.60cm.一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点爬到点爬到B B点最短路程是多少？点最短路程是多少？251515256060AB解：解：B151525256060A能力冲浪6.若方程 ，则 16A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（17A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（18A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（19A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（20A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（21A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展1 1ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（22A AB BP PD DC C若点若点P P为线段为线段CDCD上动点上动点。已知已知 ABP的一边的一边AB=（2 2）如图所示，）如图所示，ADDCADDC于于D D，BCCDBCCD于于C C，则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的4444的方格中画出格点的方格中画出格点ABPABP，使，使 三角形的三边为三角形的三边为 拓展拓展2 2 设设DP=a,DP=a,请用含请用含a a的代数式表的代数式表示示APAP，BPBP。则则AP=_AP=_，BP=_BP=_。当当a=1 a=1 时，时，则则PA+PB=_,PA+PB=_,当当a=3,a=3,则则PA+PB=_PA+PB=_ PA+PBPA+PB是否存在一个最小值？是否存在一个最小值？ABPDC若点P为线段CD上动点。已知ABP的一边AB=（23 一元二次方程复习24本章知识网络 概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0)直接开平方法:x2=p(p0)(mx+n)2=p(p0)解法 配方法 一 公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 元 判别式:b2-4ac=0 判别式 不解方程,判别方程根的情况,二 用处 求方程中待定常数的值或取值范围,进行有关的证明,次 关系:x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,方 根与系数的关系 求与方程的根有关的代数式的值,用处 求作一元二次方程,程 已知两数的和与积,求此两数 判断方程两根的特殊关系,实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,本章知识网络 概念:-251.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一只含有一个个未知未知数数，并并且未知且未知数数的最高次的最高次数数是是2 2的整式的整式方程叫做一元二次方程。方程叫做一元二次方程。2 2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 一般地一般地一般地一般地,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以化为化为化为化为 的形式的形式的形式的形式,我们把我们把我们把我们把(a,b,c(a,b,c(a,b,c(a,b,c为常数，为常数，为常数，为常数，a0a0a0a0）称为）称为）称为）称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式。1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次261.直接开平方法对于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直接开平方法解1.直接开平方法272.配方法用配方法解一元二次方程的步骤:w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);w2.移项:把常数项移到方程的右边;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法2.配方法用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系283.公式法w一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(w老师提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).w2.b2-4ac0.3.公式法一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(29公式法是这样生产的w你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0)吗?心动 不如行动w1.化1:把二次项系数化为1;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;公式法是这样生产的你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0304.分解因式法w当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.w老师提示:w1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;w2.关键是熟练掌握因式分解的知识;w3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.分解因式法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两31ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。形式再选取合理的方法。1 1、直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法ax2+c=0 =ax2+bx=0 32w我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.一元二次方程的根的判别式我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.一元33若方程有若方程有两个两个 不相等的不相等的实实数数根根,则则b2-4ac0 回顾与反思判判别别式逆定理式逆定理若方程有若方程有两个两个 相等的相等的实实数数根根,则则b2-4ac=0若方程若方程没没有有实实数数根根,则则b2-4ac0若方程有若方程有两个两个 实实数数根根,则则b2-4ac0若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0 回顾34判别式的用处1.不解方程.判别方程根的情况,2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数的值或取值范围,3.进行有关的证明,判别式的用处1.不解方程.判别方程根的情况,35一元二次方程根一元二次方程根与与系系数数的的关关系系设设x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的的两个两个根根,则则有有x1+x2=,x1x2=.一元二次方程根与系数的关系设x1,x2是一元二次方程ax2+36解应用题列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.回顾与复习5 5 5 5解应用题列方程解应用题的一般步骤是:回顾与复习5371.数字与方程 例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.1.数字与方程 例1.一个两位数,它的十位数字比个位数38数字与方程例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.数字与方程例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5392.几何与方程例1.一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.201515+2x20+2x2.几何与方程例1.一块长方形草地的长和宽分别为20cm和40几何与方程n例2.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.几何与方程例2.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地41几何与方程n例3.将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?几何与方程例3.将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每42w例例1.甲公司前年甲公司前年缴税税40万元，今年万元，今年缴税税48.4万元万元.该公公司司缴税税的年平均增的年平均增长率率为多少多少?3.增长率与方程基本数量关系:a(1+x)2=b例1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴43w例例2.某公司某公司计划划经过两两年把某年把某种种商品的生商品的生产成本降低成本降低19%，那，那么么平均每年需降低百分之几平均每年需降低百分之几?增长率与方程例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么44w例例1.一次一次会会议上上,每每两个参两个参加加会会议的人都互相握了一的人都互相握了一次手次手,有人有人统计一共握了一共握了66次手次手.这次次会会议到到会会的人的人数数是多少是多少?4.美满生活与方程例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统45思考思考(09(09年广年广东东中考中考)（本（本题满题满分分9 9分）分）某某种种电脑电脑病毒病毒传传播非常快，如果播非常快，如果一台一台电脑电脑被感染，被感染，经过经过两两轮轮感染后就感染后就会会有有8181台台电脑电脑被感染被感染请请你你用用学学过过的的知知识识分析，每分析，每轮轮感染中平均一台感染中平均一台电脑电脑会会感染几台感染几台电脑电脑？若病毒得不到有效？若病毒得不到有效控制，控制，3 3轮轮感染后，被感染的感染后，被感染的电脑电脑会会不不会会超超过过700700台？台？思考(09年广东中考)（本题满分9分）46w例例2.小明小明将将勤工助勤工助学学挣得的得的500元元钱按一年定期存入按一年定期存入银行行,到期后取到期后取出出50元用元用来来购买学学习用品用品 剩下的剩下的450元元连同同应得的得的税税后利息又全部后利息又全部按一年定期存入按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得且到期后可得税税后后本息本息约461元元,那那么么这种种存款的年利率大存款的年利率大约是多少是多少?(精确到精确到0.01%).美满生活与方程例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期47w例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?5.经济效益与方程例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准486.我是商场精英n例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?6.我是商场精英例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售49n例.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10 x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?7.利润与方程例.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商50回味无穷小结 拓展列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:a(1x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)回味无穷小结 拓展列方程解应用题的一般步骤是:51勾股定理复习课勾股定理复习课52一、知识要点如果直角三角形如果直角三角形两两直角直角边边分分别为别为a，b，斜，斜边为边为c，那那么么勾股定理勾股定理a a2 2+b+b2 2=c=c2 2即直角三角形即直角三角形两两直角直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的平方的平方.一、知识要点如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，勾53勾股逆定理勾股逆定理 如果三角形的三如果三角形的三边长边长a，b，c满满足足a2+b2=c2，那那么么这这个个三角形是直角三角形三角形是直角三角形 满满足足a2+b2=c2的三的三个个正整正整数数，称称为为勾股勾股数数勾勾 股股 数数勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a254二、练习（一）、（一）、填填空空题题1、在、在RtABC中，中，C=90，若若a=5，b=12，则则c=_；若若a=15，c=25，则则b=_；若若c=61，b=60，则则a=_；若若a b=3 4，c=10则则SRtABC=_。2、直角三角形、直角三角形两两直角直角边长边长分分别为别为5和和12，则则它它 斜斜边边上的高上的高为为_。1320112460/13二、练习（一）、填空题1、在RtABC中，C=90，255二、练习（二）、（二）、选择题选择题1已知一已知一个个Rt的的两两边长边长分分别为别为3和和4，则则第三第三 边长边长的平方是（）的平方是（）A、25 B、14C、7D、7或或252下列各下列各组组数数中，以中，以a，b，c为边为边的三角形不是的三角形不是 Rt的是（）的是（）A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5DA二、练习（二）、选择题1已知一个Rt的两边长分别为3和456二、练习3若若线线段段a，b，c组组成成Rt，则则它它们们的比的比为为（）（）A、2 3 4 B、3 4 6C、5 12 13D、4 6 74如果如果Rt两两直角直角边边的比的比为为5 12，则则斜斜边边上的上的 高高与与斜斜边边的比的比为为（）（）A、60 13B、5 12 C、12 13 D、60 169CD二、练习3若线段a，b，c组成Rt，则它们的比为（）C57二、练习5如果如果Rt的的两两直角直角边长边长分分别为别为n21，2n（n1），），那那么它么它的斜的斜边长边长是（）是（）A、2nB、n+1C、n21 D、n2+16已知已知RtABC中，中，C=90，若，若a+b=14cm，c=10cm，则则RtABC的面的面积积是（）是（）A、24cm2B、36cm2 C、48cm2 D、60cm27等腰三角形底等腰三角形底边边上的高上的高为为8，周，周长为长为32，则则三三角形的面角形的面积为积为（）（）A、56 B、48 C、40D、32DAB二、练习5如果Rt的两直角边长分别为n21，2n（n58二、练习（三）、解答（三）、解答题题1、如、如图图，铁铁路上路上A，B两两点相距点相距25km，C，D为为 两两村庄，村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现现在要在在要在铁铁路路AB上上 建一建一个个土特土特产产品收品收购购站站E，使得，使得C，D两两村到村到 E站的距离相等，站的距离相等，则则E站站应应建在离建在离A站多少站多少km 处处？CAEBD二、练习（三）、解答题1、如图，铁路上A，B两点相距25km59解：解：设设AE=x km，则，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2=BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。x25-xCAEBD1510解：设AE=x km，则 BE=（25-x）kmx25-x60二、练习2、已知，、已知，ABC中，中，AB=17cm，BC=16cm，BC边边上的中上的中线线AD=15cm，试说试说明明ABC是等腰是等腰三角形。三角形。提示提示:先先运运用勾股定理用勾股定理证证明中明中线线ADBC,再利用再利用等腰三角形的判定方法就可以等腰三角形的判定方法就可以说说明了明了.二、练习2、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm61二、练习3、已知，如、已知，如图图，在，在RtABC中，中，C=90，1=2，CD=1.5,BD=2.5,求求AC的的长长.DACB12提示：作提示：作辅辅助助线线DEAB，利用平，利用平分分线线的性的性质质和勾股定理。和勾股定理。二、练习3、已知，如图，在RtABC中，C=90，DA62解：解：过过D点做点做DEABDACB12E 1=2,C=90 DE=CD=1.5在在 RtDEB中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2在在RtACD和和 RtAED中中,CD=DE,AD=AD RtACD RtAED AC=AE令令AC=x,则则AB=x+2在在 RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得 AC2+BC2=AB2即即:x2+42=(x+2)2 x=3x解：过D点做DEABDACB12E 1=2,C631.1.如图所示，这是一块大家常用的一种橡皮，如图所示，这是一块大家常用的一种橡皮，如果如果ADAD4 4厘米，厘米，CDCD3 3厘米，厘米，BCBC1212厘米，厘米，你能算出你能算出ABAB两点之间的距离吗？两点之间的距离吗？随堂练习随堂练习A AB BC CD D1.如图所示，这是一块大家常用的一种橡皮，随堂练习ABCD642、等腰三角形底、等腰三角形底边边上的高上的高为为8，周，周长为长为32，求求这这个个三角形的面三角形的面积积8X16-XDABC解：解：设这设这个个三角形三角形为为ABC，高高为为AD，设设BD为为X，则则AB为为（16-X），），由勾股定理得：由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即即X2+64=256-32X+X2 X=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=482、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积65四四四四边边边边 复复复复 习习习习形形形形四边 复 习形66四边形四边形一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质二、几种特殊四边形的性质三、几种特殊四边形的常用判定方法三、几种特殊四边形的常用判定方法四、中心对称图形与中心对称的区别和联系四、中心对称图形与中心对称的区别和联系五、有关定理五、有关定理七、典型举例七、典型举例六、主要画图六、主要画图四边形一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质三、几种67任意四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边平行一个角是直角邻边相等邻边相等一个角是直角一个角是直角两腰相等一组对边平行另一组对边不平行一、四边形的分类及转化一、四边形的分类及转化任意四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对68平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等两底平行两腰相等对角相等邻角互补四个角都是直角同一底上的角相等对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：二、几种特殊四边形的性质：平行且相等平行且相等平行平行两底平行对角相等四个角同一底上对69三、几种特殊四边形的常用判定方法：三、几种特殊四边形的常用判定方法：1 1、定、定义义：两两组对边组对边分分别别平行平行 2 2、两两组对边组对边分分别别相相等等3 3、一、一组对边组对边平行且相等平行且相等 4 4、对对角角线线互相平分互相平分1 1、定、定义义：有一外角是直角的平行四：有一外角是直角的平行四边边形形 2 2、三、三个个角是直角的四角是直角的四边边形形3 3、对对角角线线相等的平行四相等的平行四边边形形1 1、定、定义义：一：一组邻边组邻边相等的平行四相等的平行四边边形形 2 2、四、四条条边边都相等的四都相等的四边边形形3 3、对对角角线线互相垂直的平行四互相垂直的平行四边边形形1 1、定、定义义：一：一组邻边组邻边相等且有一相等且有一个个角是直角的平行四角是直角的平行四边边形形2 2、有一、有一组邻边组邻边相等的矩形相等的矩形 3 3、有一、有一个个角是直角的菱形角是直角的菱形1 1、两两腰相等的梯形腰相等的梯形 2 2、在同一底上的、在同一底上的两两角相等的梯角相等的梯形形 3 3、对对角角线线相等的梯形相等的梯形三、几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行70四、中心对称图形与中心对称的区别和联系四、中心对称图形与中心对称的区别和联系中心对称图形：中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。如果把一个图形绕着某一点旋转180后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。A AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DCCAABBA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC CA AB BC C1、中心对称的两个图形是全等图形2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分中心对称图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分oo四、中心对称图形与中心对称的区别和联系中心对称图形：中心对称71五、有关定理：五、有关定理：1、四边形的内角和等于 ，外角和等于 。n边形的内角和等于 ，外角和等于 。2、梯形的中位线 于两底，且等于 。平行平行360360（n-2n-2）180180360360两两底和的一半底和的一半360360条条件：在梯形件：在梯形ABCDABCD中，中，EFEF是中位是中位线线3、两条平行线之间的距离以及性质：平行平行线线段段两条两条平行平行线线夹在两条平行线间的 相等夹在 间的垂线段相等AB两条两条平行平行线线中，一中，一条条直直线线上任意一上任意一点到另一点到另一条条直直线线的距离，叫的距离，叫这这两条两条平行平行线线的距离。的距离。ABFEDC如：如：ABCDL1L2如：如：ABCDL1L2如：如：结论结论：EFABCDEFABCD，EF=EF=（AB+CDAB+CD）1 12 2五、有关定理：1、四边形的内角和等于 724、一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也 。5、过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过 。6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过 。ABCDEF条条件：件：ADBECFADBECF，AB=BCAB=BC结论结论：DE=EFDE=EFABCDE条条件：在件：在ABCABC中，中，AD=BD AD=BD，DEBC DEBC结论结论：AE=ECAE=ECABFEDC条条件：在梯形件：在梯形ABCDABCD中，中，AE=DE AE=DE，ABEFDCABEFDC结论结论：BF=FCBF=FC相等相等第三第三边边的中点的中点另一腰的中点另一腰的中点4、一组平行线在一条直线上截得的线段相等，5、过三角形一边的73六、主要画图：六、主要画图：1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：如：画画一一个个平行四平行四边边形形ABCDABCD，使，使边边BC=5cm,BC=5cm,对对角角线线AC=5cmAC=5cm，BD=8cm.BD=8cm.ABCDO452.5452.5OBCAD六、主要画图：1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形742、用平行线等分线段CNC如图：点C就是线段AB的中点AB把把线线段段ABAB二等分二等分AB把把线线段段ABAB五等分五等分2、用平行线等分线段CNC如图：点C就是线段AB的中点AB把75EDFH如图：点C就是线段AB的中点2、用平行线等分线段CNCAB把把线线段段ABAB二等分二等分AB把把线线段段ABAB五等分五等分如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点EDFH如图：点C就是线段AB的中点2、用平行线等分线段CN76七、典型举例：七、典型举例：例例1 1：如：如图图，四，四边边形形ABCDABCD为为平行四平行四边边形，延形，延长长BABA至至E E，延，延长长DCDC至至F F，使，使BE=DFBE=DF，AFAF交交BCBC于于H H，CECE交交ADAD于于G.G.求求证证：E=FE=FABHFCDEG证明：四边形ABCD是平行四边形ABCD=BE=DFAECF=四边形AFCE是平行四边形注：利用平行四注：利用平行四边边形的性形的性质质来来证证明明线线段或角相等是一段或角相等是一种种常用方法。常用方法。E=F七、典型举例：例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长B77例例2 2：如：如图图，在四，在四边边形形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，CD=1CD=1，A=60A=60，B=D=90 B=D=90，求四，求四边边形形ABCDABCD的面的面积积。B BA AD DC CE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对连结对角角线线、延、延长长两两边边等。解：延长AD，BC交于点E，在RtABE中，A=60，E=30又AB=2BE=3AB=2 3在RtCDE中，同理可得 DE=3CD=3S四边形ABCD=S RtABE -S RtCDE=ABBE -CDDE1212=223 -131212=33221例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=678例例3 3：如：如图图，在梯形，在梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，中位，中位线线EF=7cmEF=7cm，对对角角线线ACBDACBD，BDC=30BDC=30，求梯形的高，求梯形的高线线AHAHA AB BC CH HD DF FE E析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况：平移一腰作两高平移一对角线过梯形一腰中点和上底一端作直线延长两腰例3：如图，在梯形ABCD中，ABCD，中位线EF=7cm79例例3 3：如：如图图，在梯形，在梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，中位，中位线线EF=7cmEF=7cm，对对角角线线ACBDACBD，BDC=30BDC=30，求梯形的高，求梯形的高线线AHAHA AB BC CH HD DF FE EMM解：过A作AMBD，交CD的延长线于M又ABCD四边形ABDM是平行四边形，DM=AB，AMC=BDC=30又中位线EF=7cm，CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又ACBD，ACAM，AHCD，ACD=60AC=CM=7cm12AH=ACsin60=3(cm)72例3：如图，在梯形ABCD中，ABCD，中位线EF=7cm80注：解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。A AB BC CD DF FE EO OD D解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm254解得x=AF=FC=,FD=8 x=25474答：折痕的长为7.5cm则FD=AD AF=8-x在RtCDF中，FC =FD +CD222 x =（8-x）+6222H在RtFEH中，EF =FH +EH222EF =6 +（-）22225474EF=7.5(负根舍去）作FHBC于H注：解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点81例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。A AB BC CD DF FE EO OFOCDAOAD=FO658=FO=154FE=152解法解法2 2例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm,把纸对折82 数据的离散程度复习课83极差极差:一组数据中的最大数据与最小一组数据中的最大数据与最小 数据的差数据的差极差最大值最小值极差最大值最小值极极极极差能差能差能差能够够够够反映反映反映反映数数数数据的据的据的据的变变变变化范化范化范化范围围围围.极极极极差是最差是最差是最差是最简单简单简单简单的一的一的一的一种种种种度度度度量量量量数数数数据波据波据波据波动动动动情情情情况况况况的量的量的量的量,但但但但它它它它受受受受极极极极端端端端值值值值的影的影的影的影响响响响较较较较大大大大.极差:一组数据中的最大数据与最小 数据的差极差最大84练习练习1.1.在数据在数据在数据在数据:3 4 5 1.5 9:3 4 5 1.5 9中中中中,中位数是中位数是中位数是中位数是_,_,极差是极差是极差是极差是_._.2.2.一一组组数数据据1,2,31,2,3，x x 的的极极差是差是6 6 ，则则 x x的的值值为为_7或-347.53.3.3.3.我市某天的我市某天的我市某天的我市某天的气温气温气温气温情情情情况况况况如下表如下表如下表如下表:极极极极差是差是差是差是 。1515练习1.在数据:3 4 5 1.5 85S S2 2=(x=(x1 1x)x)2 2(x(x2 2x)x)2 2 (x(xn nx)x)2 2 1n在一组数据中在一组数据中x x1 1,x,x2 2x xn n，个数据与它们的平均数分别，个数据与它们的平均数分别是是 ，我们用它们的平均数，即用我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差方差。(x(x1 1x)x)2 2,(x,(x2 2x)x)2 2 ,(x,(xn nx)x)2 2.方差的公式：方差的公式：S2=(x1x)2(x2x)2 86 (1)(1)数数据据1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的方差是的方差是_（2 2）A A组组：0 0、1010、5 5、5 5、5 5、5 5、5 5、5 5、5 5、5 5 极极差是差是_,_,方差是方差是_ B B组组：4 4、6 6、3 3、7 7、2 2、8 8、1 1、9 9、5 5、5 5 极极差是差是_,_,方方 差是差是_2 210105 58 86 6 (1)数据1、2、3、4、5的方差是_21087S S=(x(x1 1-x)-x)2 2+(x+(x2 2-x)-x)2 2+(x+(xn n-x)x)2 2 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的并把它叫做这组数据的标准差标准差。注意：注意：通常，一组数据的方差或标准差越小，通常，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据就越稳这组数据离散程度越小，这组数据就越稳定。定。S=(x1-x)2+(x2-x)2+88(1)(1)某某样样本的方差是本的方差是9 9，则标则标准差是准差是_3 3(2)(2)一一个个样样本的方差是本的方差是则这则这个个样样本中的本中的数数据据个数个数是是_，平均，平均数数是是_1001008 8(1)某样本的方差是9，则标准差是_3(2)一个样89（4 4）甲，乙）甲，乙两两名射名射击击手的手的测试测试成成绩统计绩统计如下：如下：哪个哪个射射击击手手稳稳定？定？为为什什么么？(3)(3)人人数数相同的九年相同的九年级级甲、乙甲、乙两两班班学学生在同一次生在同一次 数学数学单单元元测试测试，班，班级级平均分和方差如下平均分和方差如下x x甲甲=x=x乙乙=80=80，S S2 2甲甲=240,S=240,S2 2乙乙=180,=180,则则成成绩较为稳绩较为稳定的班定的班级级是是_乙班乙班（4）甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：(3)人数90（5）我市统计局发布公报显示，）我市统计局发布公报显示，2004年到年到2008年我市年我市GDP增长率分别为增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%10.3%经济学家评论说，这经济学家评论说，这5年的年的GDP增长率相增长率相当平稳，从统计学的角度看，当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳增长率相当平稳”说明这组数据的说明这组数据的_比较小。（比较小。（）A中位数中位数 B平均数平均数 C众数众数 D方差方差D D（5）我市统计局发布公报显示，2004年到2008年我市GD91 (6)随机从甲乙两块试验田中各取随机从甲乙两块试验田中各取100株麦苗株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：测量高度，计算平均数和方差的结果为：x甲甲=13 x乙乙=13，S2甲甲=7.5,S2乙乙=21.6则小麦长则小麦长势比较整齐的试验田是势比较整齐的试验田是_（填甲或乙（填甲或乙)甲甲 (6)随机从甲乙两块试验田中各取100株麦苗测量高度92（7）数学老师对小明参加的）数学老师对小明参加的4次数学考试成绩次数学考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳是否稳定定，于是老师需要知道小明这，于是老师需要知道小明这4次数学成绩的次数学成绩的（）A平均数平均数 B中位数中位数 C方差方差 D众数众数 C C（8 8）已知）已知样样本本数数据据101101，a a，102102，100100，9999平均平均数数为为100100，则这则这个个样样本的本的标标准差是（准差是（）A A、0 0 B B、1 1 C C、D D、2 2C C（7）数学老师对小明参加的4次数学考试成绩进行统计分析，判断93规规律律总结总结：已知已知数数据据a1，a2，a3，an的平均的平均数数为为X 方差方差为为Y 标标准差准差为为Z 则则数数据据a1+3，a2+3，a3+3，an+3的平均的平均数数为为-，方差，方差为为-，标标准差准差为为-。数数据据a1-3，a2-3，a3-3，an-3的平均的平均数数为为-，方差，方差为为-，标标准差准差为为-。数数据据3a1，3a2，3a3，3an的平均的平均数数为为-，方差，方差为为-，标标准差准差为为-。X+3X+3Y YZ ZX-3X-3Y YZ Z3X3X9Y9Y3Z3Z规律总结：X+3YZX-3YZ3X9Y3Z941.数据数据a1，a2，a3，an的方差为的方差为m数据数据5a1-3，5a2-3，5a3-3，5an-3的方的方差为差为_25m25m1.数据a1，a2，a3，an的方差为m数据5a1-3，95 某市射击队甲、乙两名优秀队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）请填写下表：7 71.21.27.57.53 3 某市射击队甲、乙两名优秀队员在相同的条件下各射靶10次96（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果分析：从平均数和方差结合看（分析谁的成绩好些）；从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩些）；从平均数和命中9环以上的次数结合看（分析谁的成绩好些）；从折线图上甲乙命中环数的走势看（分析谁更有潜力）从平均数和方差结合看，甲的成绩好些，因为甲比较稳定；从平均数和中位数结合看，乙的成绩好些，因为乙的中位数较大；平均数和命中9环以上的次数结合看，乙的成绩好些，因为乙命中9环以上环数多；应该选乙，因为从乙的后几环来看呈上升趋势有发展潜力。（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果分析：从平均数和97谢谢98
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