特征值特征向量的计算教学课件

特征值特征向量的计算26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。-查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。-温斯顿丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。-格林斯潘。设则方程 即 是的n次方程 在复数域上，方程 一定有 n个根。A的特征多项式方程A的特征方程定义定义 2 设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数 称为几何重数(度数)。显然：解：令 ，得 1=-1，2=7则A的特征值为1=-1，2=7【例1】求 的特征值2、求求A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量设i是A的特征值，则方程AX=i,X有非零解.即方程(A-iE)X=O有非零解，方程组(A-liE)X=O的全部非零解A的对应于特征值li的特征向量:2）求出(A-iE)X=O的一个基础解系 V1、V2、Vs 步骤：1）把=i代入方程(A-iE)X=O得一齐次线性方程组(A-iE)X=O3）A的属于特征值li 的特征向量为：是不全为零任意常数【例2】求矩阵 的特征值与特征向量 解：得 1=2，2=3=1（二重根）则A的特征值为1=2，2=3=1把1=2代入方程(A-E)X=O，得(A-2E)X=O=+-=+-0040312121xxxxx=0021xx,得一基础解系于是，A的属于1=2的全部特征向量为：把2=3=1代入方程(A-E)X=O，得(A-E)X=O行变换于是，A的属于2=1的全部特征向量为：取13=x=+=+-0023121xxxx-=13122xxxx得一基础解系取11=x解：得 1=-2，2=3=7（二重根）则A的特征值为 1=-2，2=3=7把1=-2代入方程(A-E)X=O，得(A+2E)X=O【例3】求矩阵 的特征值与特征向量于是，A的属于1=-2的全部特征向量为：=+-=-02023221xxxx=232122xxxx,得一基础解系取12=x把2=3=7代入方程(A-E)X=O，得(A-7E)X=O令 分别取，得基础解系于是，A的属于2=3=7的全部特征向量为：022321=+xxx31222xxx-=定理定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性 无关。即 若 是属于特征值1 的特征向量 是属于特征值2的特征向量且1 2，则 与 线性无关 证明：设1、2、m是A的m个不同的特征值，1、2、m是分别属于1、2、m 的特征向量，即 是方程 的非零解 要证：线性无关设：即有 ，且在(1)式两边左乘A，得(2)在(2)式两边左乘A，得（3）（1）（2）（3）（m）做矩阵乘积:（*），即B可逆不同特征值对应的特征向量线性无关所以：则：定理定理 2 设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则:(1)k是 kA的特征值(k为任意常数)(2)m 是Am 的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，0，且-1是A-1的特征值因为 是A的属于l的特征向量，即是方程AX=lX的非零解，所以有 A=且0 证（1）：k是 kA的特征值且0，所以是方程kAX=kX的非零解k是 kA的特征值因为(kA)要证方程(kA)X=(k)X 有非零解=k(A)=k()=(k)先证当A可逆时，0：反证：若不然，=0由A=，得A=0因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。矛盾证（3）当A可逆时，l0，且-1是A-1的特征值再证-1是A-1的特征值：因为 A=，两边左乘A-1，得=A-1 =A-1 且0-1=A-1 即是方程A-1 X=-1 X的非零解故-1是A-1的特征值【例4】设四阶方阵A满足 求 的一个特征值。解：,即A可逆,由所以=-3是A的一个特征值且由再由定理2的（1）可知：定理定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A有相同的特征值证明：即 A与A有相同的特征多项式故A与A有相同的特征值定理定理 4 设1、2、n是A的n个特征值，则 说明 （1）利用本定理结论(1)可检验所求 的特征值是否正确。（2）由结论(2)可得性质：n阶方阵A可逆A的所有特征值i0（1）1+2+n=a11+a22+ann （2）12 n定义定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：则称A与B相似。定理定理 5 若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。【例6】设A满足 证明其特征值只能取 1或2.证明：【例5】设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所 对应的特征值的绝对值等于1。证明：因为A为正交矩阵，左边=右边=作业：P121 1，121 1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。、最灵繁的人也看不见自己的背脊。非洲非洲2 2、最困难的事情就是认识自己。、最困难的事情就是认识自己。希腊希腊3 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。、有勇气承担命运这才是英雄好汉。黑塞黑塞4 4、与肝胆人共事，无字句处读书。、与肝胆人共事，无字句处读书。周恩来周恩来5 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根培根