数学模型姜启源第二章（第五版）课件

研究研究对象的机理比象的机理比较简单用静用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用尽量采用简单的数学工具来建模的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎迎.第二章 初等模型研究对象的机理比较简单用静态、线性、确定性模型即可达到建 第二章 初等模型2.1双双层玻璃窗的功效玻璃窗的功效2.2划艇比划艇比赛的成的成绩2.3实物交物交换2.4汽汽车刹刹车距离与道路通行能力距离与道路通行能力2.5估估计出租出租车的的总数数2.6评选举重重总冠冠军2.7解解读CPI2.8核核军备竞赛2.9扬帆帆远航航2.10节水洗衣机水洗衣机第二章2.1双层玻璃窗的功效2d墙室室内内T1室室外外T2dd墙l室室内内T1室室外外T2问题双双层玻璃窗与同玻璃窗与同样多材料的多材料的单层玻璃窗相比，减少多少玻璃窗相比，减少多少热量量损失失.假假设热量量传播只有播只有传导，没有，没有对流流.T1,T2不不变，热传导过程程处于于稳态.材料均匀，材料均匀，热传导系数系数为常数常数.建建模模热传导定律定律Q1Q2Q单位位时间单位面位面积传导的的热量量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数系数2.1双双层玻璃窗的功效玻璃窗的功效双双层单层2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外Tdd墙l室室内内T1室室外外T2Q1TaTb记双双层玻璃窗玻璃窗传导的的热量量Q1Ta内内层玻璃的外玻璃的外侧温度温度Tb外外层玻璃的内玻璃的内侧温度温度k1玻璃的玻璃的热传导系数系数k2空气空气的的热传导系数系数建模建模dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导记单层玻璃窗玻璃窗传导的的热量量Q22d墙室室内内T1室室外外T2Q2双双层与与单层窗窗传导的的热量之比量之比k1=48 10-3(J/cmskwh),k2=2.5 10-4,k1/k2=1632对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2hQ1/Q242O0.060.030.026模型模型应用用取取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双即双层玻璃窗与同玻璃窗与同样多材多材料的料的单层玻璃窗相比，可玻璃窗相比，可减少减少97%的的热量量损失失.结果分析果分析Q1/Q2所以如此小，是由于所以如此小，是由于层间空气的空气的热传导系系数数k2 2极低极低,而而这要求空气非常干燥、不流通要求空气非常干燥、不流通.房房间通通过天花板、天花板、墙壁、壁、损失的失的热量更多量更多.实际上双上双层窗的功效不会如此之大窗的功效不会如此之大!hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用取h=2.2划艇比划艇比赛的成的成绩赛艇艇2000m成成绩t(min)种种类1234平均平均单人人7.167.257.287.177.21双人双人6.876.926.956.776.88四人四人6.336.426.486.136.32八人八人5.875.925.825.735.84空艇重空艇重w0(kg)桨手数手数n16.313.618.114.7对四种四种赛艇艇(单人、双人、四人、八人人、双人、四人、八人)4次国次国际大大赛冠冠军的成的成绩进行比行比较，发现与与桨手数有某手数有某种关系种关系.试建立数学模型揭示建立数学模型揭示这种关系种关系.问题准准备调查赛艇的尺寸和艇的尺寸和质量量l/b,w0/n基本不基本不变艇艇长l 艇艇宽b l/b(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.02.2划艇比赛的成绩赛艇2000m成问题分析分析前前进阻力阻力浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力前前进动力力桨手的划手的划桨功率功率分析分析赛艇速度与艇速度与桨手数量之手数量之间的关系的关系赛艇速度由前艇速度由前进动力和前力和前进阻力决定阻力决定:划划桨功率功率赛艇艇速度速度前前进动力力前前进阻力阻力桨手手数量数量艇艇重重浸没浸没面面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型.问题分析前进阻力浸没部分与水的摩擦力前进动力模型假模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数常数),w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力f与与sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速v,浸没面浸没面积 s,浸没体浸没体积A,空艇重空艇重w0,阻力阻力f,桨手数手数n,桨手功率手功率 p,桨手体重手体重 w,艇重艇重W.艇的静艇的静态特性特性艇的艇的动态特性特性3）w相同，相同，p不不变，p与与w成正比成正比桨手的特征手的特征模型模型建立建立f sv2,pwv(n/s)1/3s1/2A1/3,AW(=w0+nw)n sn2/3vn1/9比比赛成成绩 tn1/9np fv,模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）模型模型检验nt17.2126.8846.3285.84线性最小二乘法性最小二乘法利用利用4次国次国际大大赛冠冠军的平均的平均成成绩对模型模型 tn1/9进行行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84O模型检验nt线性最小二乘法利用4次国际大赛数学模型姜启源第二章（第五版）课件数学模型姜启源第二章（第五版）课件划艇比划艇比赛的成的成绩对实际数据做比数据做比较、分析，、分析，发现并提出并提出问题.利用物理基本知利用物理基本知识分析分析问题.模型假模型假设比比较粗糙粗糙.利用合适的物理定律及利用合适的物理定律及简单的比例的比例方法建模方法建模(只考只考虑各种艇的相各种艇的相对速度速度).模型模型结果与果与实际数据十分吻合数据十分吻合(巧合！巧合！)划艇比赛的成绩对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.利问题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方双方为满足更高的需要，足更高的需要，商定商定相互交相互交换一部分一部分.研究研究实物交物交换方案方案.yxp.用用x,y分分别表示甲表示甲,乙占有乙占有X,Y的数量的数量.设交交换前甲占前甲占有有X的数量的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量数量为y0,作作图：若不考若不考虑双方双方对X,Y的偏的偏爱，则矩形内任一点矩形内任一点p(x,y)都是一种都是一种交交换方案方案：甲占有：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox02.3实物交物交换问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差甲的无差别曲曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同同样的的满意意程度程度,即即p1,p2对甲是甲是无差无差别的的.MN将将所有与所有与p1,p2无差无差别的点的点连接起来接起来,得到一条得到一条无差无差别曲曲线MN.线上各点的上各点的满意度相同意度相同,线的形状反映的形状反映对X,Y的偏的偏爱程度程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点各点满意度更高的点如意度更高的点如p3，在另一条无差，在另一条无差别曲曲线M1N1上上,于是形成于是形成一族无差一族无差别曲曲线（无数条）（无数条）.xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线分析p1.p2.c1 yOxf(x,y)=c1无差无差别曲曲线族的性族的性质：单调减减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以宁愿以较多的多的 y换取取较少的少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以就要以较多的多的 x换取取较少的少的 y.甲的无差甲的无差别曲曲线族族记作作f(x,y)=c1c1满意度意度（f 等等满意度曲意度曲线）甲的无差甲的无差别曲曲线p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1 无差别曲线族的性质xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差乙的无差别曲曲线族族g(x,y)=c2具有具有相同性相同性质（形状可以不同）（形状可以不同）.双方的交双方的交换路径路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差乙的无差别曲曲线族族g=c2(坐坐标系系xOy,且反向）且反向）甲的无差甲的无差别曲曲线族族f=c1ABpP双方双方满意的交意的交换方案必方案必在在AB（交（交换路径）上路径）上!因因为在在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于意度低于AB上的点上的点p.两族曲两族曲线切点切点连线记作作AB分析与建模分析与建模xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族g(x,y)AB 交交换方案的方案的进一步确定一步确定交交换方案方案交交换后甲的占有量后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交交换路路径径AB双方的无差双方的无差别曲曲线族族X,Y用用货币衡量其价衡量其价值，设交交换前前x0,y0价价值相同，相同，则等等价交价交换原原则下交下交换路径路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设X单价价a,Y单价价b,则等价交等价交换下下ax+by=s(s=ax0=by0)等价交等价交换原原则x0yy0O.xp.AB交换方案的进一步确定交换方案交换后甲的占有量(2.4汽汽车刹刹车距离与道路通行能力距离与道路通行能力提高道路通行能力是提高道路通行能力是现代城市交通面代城市交通面临的重要的重要课题.背景和背景和问题车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大速度越高、密度越大，道路通行能力越大.介介绍交通流的主要参数及基本交通流的主要参数及基本规律；律；讨论汽汽车刹刹车距离与道路通行能力两个模型距离与道路通行能力两个模型.车速高，刹速高，刹车距离距离变大，大，车辆密度将受到制密度将受到制约.需要需要对影响通行能力的因素影响通行能力的因素进行行综合分析合分析.2.4汽车刹车距离与道路通行能力提高道路通行能力是现代城交通流的主要参数及基本交通流的主要参数及基本规律律流量流量q某某时刻刻单位位时间内通内通过道路某断面的道路某断面的车辆数数(辆/h)密度密度k某某时刻通刻通过道路某断面道路某断面单位位长度内的度内的车辆数数(辆/km)速度速度v 某某时刻通刻通过道路某断面的道路某断面的车辆速度速度(km/h)交通流交通流标准准长度的小型汽度的小型汽车在在单方向道路上行方向道路上行驶形形成的成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.借用物理学概念借用物理学概念,将交通流看作一将交通流看作一辆辆汽汽车组成的成的连续流体流体,用用流量、速度、密度流量、速度、密度3个参数描述其基本特性个参数描述其基本特性.3个参数之个参数之间的基本关系的基本关系交通流的主要参数及基本规律流量q某时刻单位时间内通过道路某速度速度v 与密度与密度k 的关系的关系vf 畅行行车速速(k=0时)kj阻塞密度阻塞密度(v=0时)数据分析、机理分析数据分析、机理分析流量流量q与密度与密度k 的关系的关系车速速v=vf/2时流量流量q最大最大密度密度k变大大，流量流量q增加增加；k=kj/2时q最大最大；k继续变大，大，q减小减小.车流密度加大流密度加大司机被迫减速司机被迫减速交通流的主要参数及基本交通流的主要参数及基本规律律线性模型性模型抛抛物物线流量流量q与速度与速度v的关系的关系速度v与密度k的关系vf畅行车速(k=0时)kj速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量最大流量时的密度的密度vm=vf/2 最大流量最大流量时的速度的速度交通流的主要参数及基本交通流的主要参数及基本规律律速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密车速越快刹速越快刹车距离越距离越长.刹刹车距离距离从司机决定刹从司机决定刹车到到车完全停止行完全停止行驶的距离的距离.汽汽车刹刹车距离模型距离模型二者是二者是线性关系性关系吗？车速速v(km/h)20406080100120140刹刹车距离距离d(m)6.5 17.8 33.6 57.183.4 118.0 153.5d 与与v不是不是线性关系！性关系！vd需需对刹刹车过程程作作机理分析机理分析，建立建立d 与与v的数学模型的数学模型.测试数据数据车速越快刹车距离越长.刹车距离从司机决定刹车到车完全停止行问题分析分析最大制最大制动力与力与车质量成正比量成正比,使汽使汽车作匀减速运作匀减速运动常数常数刹刹车距离距离反反应距离、制距离、制动距离距离常数常数反反应距离距离司机决定刹司机决定刹车到制到制动器开始起作用器开始起作用.制制动距离距离反反应距离距离反反应时间车速速司机状况司机状况制制动系系统灵活性灵活性制制动器作用力器作用力车重、重、车速速道路、气候道路、气候制制动距离距离制制动器开始起作用到汽器开始起作用到汽车完全停止完全停止.问题分析最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动常数刹车模型假模型假设1.刹刹车距离距离d 为反反应距离距离d1与制与制动距离距离d2之和之和.2.反反应距离距离d1与与车速速v 成正比成正比,比例系数比例系数为反反应时间.3.刹刹车时使用最大制使用最大制动力力F：F作的功等于汽作的功等于汽车动能的改能的改变.F与与车的的质量量m 成正比成正比.模型假设1.刹车距离d为反应距离d1与制动距离F=mad1=c1 v模型建立模型建立F d2=m v2/2d=d1+d2制制动距离距离为d2时，制，制动力力F作的功作的功为Fd2车速从速从v变成成0，动能的能的变化化为mv2/2d2=c2v2,c2=m/2Fd=c1v+c2v2参数估参数估计调查交通工程学的相关交通工程学的相关资料料：根据根据测试数据数据对模型模型作作拟合合.司机反司机反应时间c1约为0.71s，系数，系数c2约为0.01(mh2/km2)c2=1/2aF=mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2城市通行能力模型城市通行能力模型道路通行能力道路通行能力单位位时间内通内通过某断面的最大某断面的最大车辆数数.通行能力通行能力表示道路的容量，表示道路的容量，交通流量交通流量表示道路的表示道路的负荷荷.饱和度和度流量与通行能力的比流量与通行能力的比值,表示道路的表示道路的负荷程度荷程度.通行能力通行能力在安全条件下，当具有在安全条件下，当具有标准准长度和技度和技术指指标的的车辆，以前后两，以前后两车最小最小车头间隔隔连续行行驶时，单位位时间内通内通过道路某断面的道路某断面的最大最大车辆数数N(辆/h).v车速速(km/h)，D最小最小车头间隔隔(m)N=1000v/D城市通行能力模型道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆城市干道的通行能力城市干道的通行能力最小最小车头间隔隔D主要由刹主要由刹车距离距离d决定：决定：d0车身身标准准长度与两度与两车间安全距离之和，取固定安全距离之和，取固定值.车速速v一定一定时，道路通行能力道路通行能力N与与c1，c2，d0（道路、道路、车辆、司机等状况、司机等状况）有关有关.城市通行能力模型城市通行能力模型D=d+d0d=c1v+c2v2N=1000v/D城市干道的通行能力最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：d0当当d0，c1，c2变大大时最大通行能力最大通行能力Nm减小减小.城市通行能力模型城市通行能力模型最大通最大通行能力行能力当d0，c1，c2变大时最大通行能力Nm减小.城市通行一些人喜一些人喜欢记驶过身旁身旁的的汽汽车号号码.两两难境地的决策境地的决策与朋友打与朋友打赌的的“骰子骰子”共共识：出出现任何号任何号码汽汽车的的机会机会相同相同.随意随意记下下驶过的的10辆出租出租车牌号：牌号：0421,0128,0702,0410,0598,0674,0712,0529,0867,0312估估计这座城市出租座城市出租车的的总数数.出租出租车牌号从某一个数字牌号从某一个数字0101按按顺序序发放放.2.5估估计出租出租车的的总数数一些人喜欢记驶过身旁的汽车号码.两难境地的决策与朋友打赌的“估估计出租出租车的的总数数问题分析分析10个号个号码从小到大重新排列从小到大重新排列.x0,x区区间内全部整数内全部整数值总体体x1,x2,x10总体的一个体的一个样本本根据根据样本和本和x0对总体的体的x作出估作出估计.起始号起始号码(已知已知)终止号止号码(未知未知)出租出租车总数数为x-x0+1估计出租车的总数问题分析10个号码从小到大重新排列.x0起始号起始号码x0平移平移为0001模型建立模型建立总体体全部号全部号码0001,0002,x样本本总体中的体中的n个号个号码从小到大排列从小到大排列x1,x2,xn建立由建立由x1,x2,xn估估计x的模型的模型基本假定基本假定：每个每个xi 取自取自总体中任一号体中任一号码的概率相等的概率相等.x出租出租车总数数估估计出租出租车的的总数数起始号码x0平移为0001模型建立总体全部号码000模型模型1平均平均值模型模型模型建立模型建立总数是数是样本均本均值的的2倍倍模型1平均值模型模型建立总数是样模型模型2中位数模型中位数模型x1-1x-xn假定假定：样本的最小本的最小值与最大与最大值在在总体中体中对称称.模型模型3两端两端间隔隔对称模型称模型x1-1=x-xn模型2中位数模型x1-1x-xn假定：样本的最小值模型模型4平均平均间隔模型隔模型把起始号把起始号码和和样本排成数列：本排成数列：1,x1,x2,xn,相相邻两数两数有有n个个间隔隔：x1 1,x2 x1 1,xn xn-1 1n个个间隔隔的的平均平均值作作为xn与与x间隔的估隔的估计模型4平均间隔模型把起始号码和样本排成数列：1,模型模型5区区间均分模型均分模型将将总体区体区间1,x平均分成平均分成n 份份.每个小区每个小区间长度度假定假定：样本中每个本中每个xi 都位于小区都位于小区间的中点的中点.x xn应是小区是小区间长度的一半度的一半模型5区间均分模型将总体区间1,x平均分成计算与分析算与分析第第1样本本：0321,0028,0602,0310,0498,0574,0612,0429,0767,0212第第2样本本：0249,0739,0344,0148,0524,0284,0351,0089,0206,0327设定定x0=0001模型模型1 模型模型2 模型模型3 模型模型4 模型模型5最大相差最大相差第第1样样本本870926794843807134第第2样样本本651610827812778217相差相差221316333129用用5个模型估个模型估计出租出租车总数数x不合理不合理(x=651,610739)6516100739不不稳定（相差大）定（相差大）计算与分析第1样本：0321,0028,0602,计算与分析算与分析用全部用全部样本，有本，有统计依据依据计算与分析用全部样本，有统计依据数数值模模拟样本估本估计结果与果与总体体对比比,评价各价各个个模型模型.用用5个模型分个模型分别对每个每个样本估本估计总体体x.画画m个个样本估本估计的的x的直方的直方图，分析分析x的分布的分布.给定定总体体1,2,x，x=1000从从总体体中中取取n=10个数个数为一个一个样本本，共，共m=200个个样本本对每个模型每个模型计算算m个个样本估本估计的的x的的平均平均值、标准差准差及平均及平均值与真与真值x=1000间的的误差差数值模拟样本估计结果与总体对比,评价各个模型.用5个模型分模型模型1模型模型2模型模型3模型模型4模型模型5平均平均值值1023.21037.41010.01005.6962.3平均平均值误值误差差23.237.410.05.6-37.7标标准差准差170.1261.0126.390.987.0模型模型1模型模型2模型模型3模型模型4模型模型5平均平均值值986.5985.4980.8992.9950.1平均平均值误值误差差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9标标准差准差181.4271.1107.986.682.8数数值模模拟第第1次次模模拟第第2次次模模拟总体体x=1000,每个每个样本本 n=10,m=200个个样本本平均平均值误差差小小标准差准差大大标准差准差小小平均平均值误差差大大模型模型4(平均平均间隔模型隔模型)较优.5.690.9-7.186.6模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.模型1模型2模型3模型4模型5数数值模模拟第第1 1次模次模拟拟的直方的直方图图左低右高的非左低右高的非对称型称型左右左右对称称型型模型1模型2模型3模型4模型5数值模拟第1次模拟的直方图左低模型模型中中起始号起始号码已知已知(平移至平移至1),限制了限制了应用范用范围.小小结与与评注注5个模型个模型中中平均平均值和中位数模型用和中位数模型用到到一点一点统计，其他其他3个模型来自常个模型来自常识,后者后者竟然竟然较前者更前者更优.数数值模模拟是是模型模型检验的重要方法的重要方法:给定定总体通体通过模模拟产生生样本本,根据模型得到根据模型得到总体参数体参数,进行行比比较和和评价价.问题：哪些模型可以推广到起始号哪些模型可以推广到起始号码未知未知的情况？的情况？模型中起始号码已知(平移至1),限制了应用范围.小结与评注5与与“估估计出租出租车的的总数数”相关的相关的历史事史事实二二战中一支盟中一支盟军的的指指挥部急需掌握德部急需掌握德军坦克的数量坦克的数量.盟盟军俘俘获了若干了若干辆德德军坦克，得到它坦克，得到它们的的序列号序列号码.情情报人人员获知知这支支部部队的的坦克号坦克号码按按顺序序编排排.以俘以俘获的坦克号的坦克号码为样本本，估估计出坦克出坦克总量量.英美情英美情报机构通机构通过捕捕获德德军武器武器的的序列序列编号，号，对军用用轮胎、胎、枪支、装甲支、装甲车等众多装等众多装备的的产量做出估量做出估计.战后将估后将估计值与从档案中得到的与从档案中得到的实际产量量进行比行比较，多数估多数估计的的误差在差在10%以内以内！与“估计出租车的总数”相关的历史事实二战中一支盟军的指挥部急举重重依靠运依靠运动员全身力量完成全身力量完成的体育的体育项目目按照运按照运动员体重划分体重划分级别进行比行比赛.赛艇艇拳拳击摔跤摔跤每个每个级别都都有有一个一个冠冠军.能能评选出一个出一个“总冠冠军”吗？2.6评选举重重总冠冠军举重依靠运动员全身力量完成的体育项目按照运动员体重划分级别进56kg,62kg,69kg,77k,85kg,94kg,105kg,105kg以上以上.男子男子举重比重比赛按运按运动员体重体重(上限上限)分分为8个个级别：问题每个每个级别设3个个项目：抓目：抓举、挺、挺举、总成成绩.每个每个级别、每个、每个项目都目都产生生一个冠一个冠军.同一同一项目目(如抓如抓举)的的8个冠个冠军中中怎怎样选出出“总冠冠军”？不同不同级别冠冠军成成绩按体重按体重“折合折合”到到某个某个标准准级别，比比较折合成折合成绩，选出最高的作出最高的作为总冠冠军.评选举重重总冠冠军56kg,62kg,69kg,77k,85kg,9问题分析分析比比赛产生生各各级别冠冠军成成绩的的实际值建立体重与建立体重与举重成重成绩的的数学模型数学模型计算各算各级别冠冠军举重成重成绩的的理理论值计算算实际值与理与理论值的的比比值构造一个构造一个简单、合适的指、合适的指标作作为折合成折合成绩各各级别冠冠军折合成折合成绩最最高的高的为总冠冠军评选举重重总冠冠军问题分析比赛产生各级别冠军成绩的实际值建立体重与举重成绩的数数据收集数据收集利用利用举重比重比赛的的世界世界纪录建立建立数学模型数学模型.级别项目目纪录保持者保持者日期日期62kg级级抓抓举举153kg石智勇（中国）石智勇（中国）2002.6.28挺挺举举182kg乐茂盛（中国）茂盛（中国）2002.10.2总总成成绩绩327kg金恩国（朝金恩国（朝鲜）2012.7.3169kg级级抓抓举举165kg马尔科夫（保加利科夫（保加利亚）2000.9.20挺挺举举198kg廖廖辉辉（中国）（中国）2013.10.23总总成成绩绩358kg廖廖辉辉（中国）（中国）2013.10.23多年多年积累下来的世界累下来的世界记录与某一次比与某一次比赛成成绩相比，相比，更能避免偶然性更能避免偶然性.不同不同级别成成绩的差的差别基本上由运基本上由运动员体重决定体重决定.数据收集利用举重比赛的世界纪录建立数学模型.级别项目纪录保持不掌握不掌握创造造记录的运的运动员的的实际体重体重.因因为体重越大、体重越大、举得越重，比得越重，比赛时运运动员体重体重都会都会调整到非常接近各整到非常接近各级别的上限的上限.105kg以上以上级未未设上限，只在其余上限，只在其余7个个级别中中选总冠冠军.数据收集数据收集利用利用举重比重比赛的的世界世界纪录建立建立数学模型数学模型.不掌握创造记录的运动员的实际体重.因为体重越大、举得越重，比世界世界记录与体重数据与体重数据的的散点散点图数据分析数据分析大致呈大致呈线性关系性关系大大级别成成绩的增加的增加变慢慢线性关系有所改性关系有所改进幂函数函数(幂次小于次小于1)可能更合适可能更合适世世界界记录体重体重普通坐普通坐标世世界界记录体重体重对数坐数坐标世界记录与体重数据的散点图数据分析大致呈线性关系大级别成绩的建立建立举重重总成成绩y与与运运动员体重体重w的的数学数学模型模型模型模型建立建立模型模型1线性模型性模型最小二乘法最小二乘法编程程计算算 k=2.7039-60k 430/160=2.69估算估算线性模型性模型yw430160建立举重总成绩y与运动员体重w的数学模型模型建立模型1模型模型2幂函数模型函数模型运运动生理学生理学确定确定幂函数的函数的幂次次举重重总成成绩y与与运运动员体重体重w的模型的模型s 肌肉截面肌肉截面积l 身体尺寸身体尺寸最小二乘法最小二乘法编程程计算算 k=20.4711幂函数模型函数模型yw2/3模型2幂函数模型运动生理学确定幂函数的幂次举重总成模型模型3幂函数改函数改进模型模型举重重总成成绩y与与运运动员体重体重w的模型的模型最小二乘法最小二乘法举重重过程中力量的程中力量的损失及身体尺寸的失及身体尺寸的变化化.50名名顶尖运尖运动员成成绩的的统计分析分析幂函数函数改改进模型模型非肌肉部分模型3幂函数改进模型举重总成绩y与运动员体重w的模举重重总成成绩y与与运运动员体重体重w的模型的模型线性模型性模型幂函数模型函数模型幂函数函数改改进模型模型级别级别总总成成绩纪录绩纪录线线性模型性模型幂幂函数模型函数模型幂幂函数改函数改进进模型模型56kg级级305kg313.6486(-2.76%)299.6405(1.79%)298.2689(2.26%)62kg级级327kg329.8718(-0.87%)320.6784(1.97%)324.3317(0.82%)69kg级级358kg348.7988(2.64%)344.3827(3.95%)350.2363(2.22%)77kg级级379kg370.4298(2.58%)370.5121(2.56%)375.7952(1.12%)两个两个幂函数模型比函数模型比线性模型改性模型改进不大不大.1.71%2.32%1.47%总平均平均误差差举重总成绩y与运动员体重w的模型线性模型幂函数模型幂函数改评选总冠冠军wi(i=1,2,7)从从轻到重到重7个个级别的的体重体重(上限上限)线性模型性模型幂函数模型函数模型幂函数函数改改进模型模型各各级别冠冠军的的理理论成成绩yi一次比一次比赛中各中各级别冠冠军的的实际成成绩级别i冠冠军在在评选总冠冠军中中实力力以以线性模性模型型为例例评选总冠军wi(i=1,2,7)从轻到重7个评选总冠冠军任取任取级别i=4(w4=77kg级)为标准准使使z4=y4与与实力力成正比的成正比的指指标按按7个个级别冠冠军的折合成的折合成绩排名，第一者排名，第一者为总冠冠军.将体重折合成将体重折合成77kg级后后级别i冠冠军的的实际成成绩.折合成折合成绩模型中系数模型中系数k随世界随世界纪录的刷新而改的刷新而改变.评选总冠军任取级别i=4(w4=77kg级)为标准使z4评选总冠冠军折合成折合成绩线性模型性模型幂函数模型函数模型幂函数函数改改进模型模型评选2008年北京奥运会男子年北京奥运会男子举重比重比赛总冠冠军级别冠冠军获得者得者总总成成绩绩折合成折合成绩绩及名次及名次线线性模型性模型幂幂函数模型函数模型幂幂函数改函数改进进模型模型56kg级级龙龙清泉（中）清泉（中）292kg344.8621（7）361.0644（5）367.8969（4）62kg级级张张湘祥（中）湘祥（中）319kg358.2213（6）368.5729（3）369.6175（3）69kg级级廖廖辉辉（中）（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）77kg级级史才秀（史才秀（韩韩）366kg366.0000（3）366.0000（4）366.0000（6）85kg级级陆陆永（中）永（中）394kg372.2621（1）368.8735（2）371.7543（2）94kg级级伊利伊利亚亚（哈）（哈）406kg361.1818（5）355.4413（6）362.5143（7）105kg级级阿拉姆阿拉姆诺诺夫（白）夫（白）436kg362.0121（4）354.5581（7）367.7366（5）69kg级级廖廖辉辉（中）（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）评选总冠军折合成绩线性模型幂函数模型幂函数改进模型3个模型中都个模型中都只有一个只有一个以因子形式出以因子形式出现的的系数系数k,可以在可以在构造折合成构造折合成绩时消去消去,便于便于评选总冠冠军.小小结与与评注注举重成重成绩与体重与体重关系关系的数学模型的数学模型是是评选总冠冠军方法的基方法的基础.通通过世界世界纪录数据数据观察察和和机理分析机理分析分分别建立建立线性模型、性模型、幂函数模型和函数模型和幂函数改函数改进模型模型.3个模型中都只有一个以因子形式出现的系数k,可以在构造折合成CPI(ConsumerPriceIndex)居民消居民消费价格指数价格指数每月每月9日左右国家日左右国家统计局局发布上月全国布上月全国CPI数据数据.反映反映购买消消费品和服品和服务项目目时价格价格变动趋势的数字的数字.观察通察通货膨膨胀水平的重要指水平的重要指标.从从数学建模的思路，按照数据分析方法解数学建模的思路，按照数据分析方法解读CPI.2.7解解读CPICPI(ConsumerPriceIndex)每月9按照按照时间顺序解序解读CPI环比比价格指数价格指数 以以上月上月为基期基期进行行对比比消除季消除季节变化和化和节日日对价格的影响价格的影响同比同比价格指数价格指数反映当前价格的波反映当前价格的波动以以上年同月上年同月为基期基期进行行对比比通常公布价格指数通常公布价格指数增增长率率(%),方便方便了解价格上了解价格上涨幅度幅度2011.3环比增比增长率率-0.2%2011.2环比增比增长率率1.2%基期指数基期指数1002011.3同同比增比增长率率5.4%环比指数比指数101.2(2011.1为100)同同比指数比指数105.4(2010.3为100)环比指数比指数99.8(2011.2为100)按照时间顺序解读CPI环比价格指数以上月为基期进行对比消除季月份月份k123456789101112环环比比(%)1.0 1.2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.5 0.30.5 0.1 0.2 0.3全国全国2011年年CPI各月份各月份环比增比增长率率环比比价格指数价格指数pk某年某年k月月环比增比增长率率(%)Pk以上年以上年12月月为基期基期,本本年年k月月的的价格指数价格指数pk为正正Pk上升上升,pk为负Pk下降下降Pk涨幅回落幅回落Pk上升上升变缓2011CPI环比比月份k123456789101112环比(%)1.01.月份月份k12345678910111220114.9 4.95.45.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.54.24.120124.5 3.23.63.4 3.0 2.2 1.8 2.0 1.9 1.72.02.5qk某年某年k月同比增月同比增长率率(%)同比同比价格指数价格指数全国全国2011,2012年年CPI各月份各月份同同比增比增长率率2012年比年比2011年每月价年每月价格上格上涨的幅度明的幅度明显减少减少.月份k12345678910111220114.94.95.qk(j)j年年k月月同比同比指数指数环比比价格指数价格指数与与同比同比价格指数价格指数的关系的关系pk(j)j年年k月月环比比指数指数xk(j)j年年k月价格指数（以月价格指数（以j-2年年12月月为基期）基期）qk(j)j年k月同比指数环比价格指数与同比价格指数的从从1月到月到k月以上年同一月以上年同一时期期为基期基期进行行对比比.累累计价格指数价格指数月份月份k123456789101112同同比比(%)4.5 3.23.63.4 3.0 2.2 1.8 2.0 1.9 1.72.02.5累累计计(%)4.5 3.93.83.7 3.5 3.3 3.1 2.9 2.8 2.72.72.6全国全国2012年年CPI各月份各月份同同比比增增长率率和和累累计增增长率率第第k月的累月的累计是是1月月至至k月同比的平均月同比的平均值（k=1,2，12）几几个月的价格指数个月的价格指数以其各以其各个月价格指数的平均个月价格指数的平均值度量度量.从1月到k月以上年同一时期为基期进行对比.累计价格指数月份k年年价格指数价格指数每年每年1至至12月同比的平均月同比的平均值年年20032004200520062007200820092010201120122013(%)3.91.81.54.85.9-0.73.35.42.62.6CPI100103.9 105.8 107.4 112.5 119.1 118.3 122.2 128.8 132.2 135.6全国全国2004年至年至2013年年CPI的增的增长从从2003年到年到2013年年全国全国CPI增增长35%每年与上年比每年与上年比较的增的增长率率年价格指数每年1至12月同比的平均值年20032004200按照分按照分类结构解构解读CPI与与许多人多人对物价的物价的亲身感受有身感受有较大差距大差距.近近10年年CPI平均平均年增年增长率不率不过3.5%.原因之一原因之一：CPI由由国家国家统计局局对全国居民家庭全国居民家庭衣食住行各衣食住行各类消消费品和服品和服务价格价格综合加工合加工得到得到.消消费品和服品和服务项目分目分8大大类,约700个代表品种个代表品种.权重重根据居民家庭用于各种消根据居民家庭用于各种消费品和服品和服务项目的开支占目的开支占总消消费支出的比重确定支出的比重确定.CPI由价格及其由价格及其权重二者共同决定重二者共同决定.按照分类结构解读CPI与许多人对物价的亲身感受有较大差距.近大大类类中中类类权权重重(%)1食品食品粮粮食食、油油脂脂、肉肉禽禽及及其其制制品品、水水产产品品、蛋蛋、鲜鲜菜、菜、鲜鲜果、液体乳及乳制品果、液体乳及乳制品31.792烟酒及用品烟酒及用品烟草、酒烟草、酒3.493衣着衣着服装、鞋服装、鞋8.524家庭家庭设备设备及及维维修服修服务务 耐用消耐用消费费品、家庭服品、家庭服务务及加工及加工维维修服修服务务5.645医医疗疗保健个人用品保健个人用品中中药药材及中成材及中成药药、西、西药药、医、医疗疗保健服保健服务务9.646交通和通交通和通讯讯交交通通工工具具、车车用用燃燃料料及及零零配配件件、通通讯讯工工具具、通通讯讯服服务务9.957娱娱乐乐教教育育文文化化用用品品及及服服务务教教育育服服务务、文文娱娱用用耐耐用用消消费费品品及及服服务务、文文化化娱乐类娱乐类、旅游、旅游13.758居住居住建房及装修材料、住房租金、水、建房及装修材料、住房租金、水、电电、燃料、燃料17.22我国消我国消费品和服品和服务项目的目的类别及及权重重(2011年年)按照分按照分类结构解构解读CPI大类中类权重1食品粮食、油脂、肉禽及其制品、水产品、蛋、鲜居住次之居住次之上世上世纪80年代食品年代食品权重重约60%,每次每次调整整都下降都下降.随着人随着人们生活水平的提高及消生活水平的提高及消费结构的构的变化，化，权重每重每5年、年、10年会有年会有较大的大的调整整.居住中并不包含居住中并不包含近年近年飞涨的的购房支出，官方的房支出，官方的解解释是是购房属于投房属于投资而非消而非消费.按照分按照分类结构解构解读CPI大大类类食品食品烟酒烟酒 衣着衣着 家庭家庭 医医疗疗 交通交通 教育教育 居住居住权权重重(%)31.79 3.498.525.649.649.9513.75 17.22食品食品权重最大重最大教育教育、娱乐第三第三居住次之上世纪80年代食品权重约60%,每次调整都下降.随vi第第i大大类价格指数价格指数v CPI总水平水平wi 第第i大大类权重重v v的增的增长率率vi vi的增的增长率率wi，vi，vi 按照分按照分类结构解构解读CPI每个月每个月CPI总水平的水平的环比比、同比指数同比指数v及及增增长率率v vi第i大类价格指数vCPI总水平wi第i权重重对CPI总水平的大小有很大影响，引起水平的大小有很大影响，引起对权重数重数值合理性的合理性的研究研究和和讨论.权重随重随时调整的具体情况不能整的具体情况不能为民众民众及及时掌握掌握.利用每个月公布的利用每个月公布的CPI数据数据校核校核权重重是否是否变化化、估算估算调整后的整后的权重重,成成为关注关注者者、研究者的研究者的课题.按照分按照分类结构解构解读CPI对权重重的关注和的关注和讨论：权重对CPI总水平的大小有很大影响，引起对权重数值合理性的研几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法1.利用公布的利用公布的vi,wi计算算v,检查与公布的与公布的v是否相符是否相符月月份份食品食品v1烟酒烟酒v2衣着衣着v3家庭家庭v4医医疗疗v5交通交通v6教育教育v7居住居住v8总总水平水平v总总水平水平计计算算值值12.91.42.51.51.8-0.30.52.92.01.980226.01.12.11.61.80.22.02.83.23.165532.71.02.31.61.7-0.31.72.92.12.046644.00.82.51.61.5-1.11.52.92.42.343553.20.52.51.61.5-1.21.33.02.12.058564.90.32.31.51.4-0.71.43.12.72.640475.00.22.21.41.2-0.11.32.82.72.629584.702.21.41.201.22.62.62.488996.1-0.22.31.41.1-0.21.92.63.13.0022106.5-0.22.41.51.0-0.62.52.63.23.1766115.9-0.22.01.31.0-0.52.82.63.02.9917124.1-0.42.11.40.9-0.12.92.82.52.50502013年年CPI同比分同比分类和和总水平增水平增长率率几种校核与估算权重的方法1.利用公布的vi,wi计算如果如果计算算值与公布的与公布的v相符，不能相符，不能说明所有的明所有的wi没有改没有改变.如果如果稍有稍有不符，无法确不符，无法确认是否数字舍入是否数字舍入误差所致差所致.几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法公布的指数只有公布的指数只有2位有效数字，位有效数字，对计算算结果影响很大果影响很大.1.利用公布的利用公布的vi,wi计算算v,检查与公布的与公布的v是否相符是否相符如果计算值与公布的v相符，不能说明所有的wi没有改变.如果2.利用公布的利用公布的vi及其及其对v的影响的影响计算算权重，重，检查与原与原有有的的wi是否相符是否相符几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法2013年年1月食品同比上月食品同比上涨2.9%，影响，影响总水平水平约0.95%月月123456789101112v12.96.02.74.03.24.95.04.76.16.55.94.1v0.951.980.881.331.051.591.611.541.982.111.921.33w10.328 0.330 0.326 0.336 0.328 0.325 0.322 0.328 0.325 0.325 0.325 0.324由由2013.112公布的公布的v1和和v计算算w1原原有有w1=0.31792.利用公布的vi及其对v的影响计算权重，检查与原有2.利用公布的利用公布的vi及其及其对v的影响的影响计算算权重，重，检查与原来的与原来的wi是否相符是否相符几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法如果数据完整，可以如果数据完整，可以对各个各个权重重wi分分别计算、校核算、校核.由于公布数据的有效数字所限，舍入由于公布数据的有效数字所限，舍入误差差对结果有不小影响果有不小影响.2.利用公布的vi及其对v的影响计算权重，检查与原来3.利用公布的利用公布的n个月的个月的vi和和v作作拟合合，估估计权重重.vik,vk (i=1,8,k=1,n)用用MATLAB命令命令w=Ab可得可得Aw=b 的的最小二乘解最小二乘解.含含8个未知数个未知数w1,w8的的n+1个方程个方程.几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法3.利用公布的n个月的vi和v作拟合，估计权重.vi3.利用公布的利用公布的n个月的个月的vi和和v作作拟合合，估估计权重重.几种校核与估算几种校核与估算权重重的方法的方法原始数据精度太低原始数据精度太低(1或或2位有效数字位有效数字)权权重重n=72（2011-2013）加非加非负负约约束束原始原始w10.31420.31430.3179w2-0.003500.0349w30.09560.09530.0852w40.08340.08170.0564w50.13780.13370.0964w60.06930.06980.0995w70.14750.14870.1375w80.14260.14390.172220112013逐月逐月环比和同比数据比和同比数据计算算结果果有有较大差大差距，甚至出距，甚至出现负值对权重重加加非非负约束束后后结果仍相差果仍相差较大大3.利用公布的n个月的vi和v作拟合，估计权重.几种校按照地区差按照地区差别解解读CPI不同地区的不同地区的经济发展和展和居民居民生活水平的差异生活水平的差异较大，大，全国全国CPI环比、同比比、同比总水平与水平与各各地区地区情况情况不同不同.国家国家统计局局还分分“城市城市”和和“农村村”公布公布CPI数据数据.31个省、市、自治区个省、市、自治区统计局逐月公布局逐月公布当地当地CPI数据数据.可以用可以用类似方法解似方法解读当地的当地的CPI数据数据.按照地区差别解读CPI不同地区的经济发展和居民生活水平的差异从从数据分析和数学建模数据分析和数学建模角度看角度看,资料料较少且不少且不够完整完整,只能根据只能根据查到的到的有限数据有限数据进行行解解读.小小结与与评注注CPI是当今社会的是当今社会的热门词汇,各种媒体特各种媒体特别是是互互联网上有大量网上有大量经济政策方面的政策方面的报道和道和评论.权重的几种校核与估算重的几种校核与估算方法是方法是编者者的初步的初步尝试，尚待尚待进一步研究一步研究.从数据分析和数学建模角度看,资料较少且不够完整,只能根据2.8核核军备竞赛冷冷战时期美期美苏声称声称为了保了保卫自己的安全自己的安全,实行行“核威核威慑战略略”,核核军备竞赛不断升不断升级.随着前随着前苏联的解体和冷的解体和冷战的的结束束,双方通双方通过了了一系列核裁一系列核裁军协议.在什么情况下双方的核在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限不会无限扩张,而存在而存在暂时的的平衡状平衡状态.当一方采取加当一方采取加强防御、提高武器精度、防御、提高武器精度、发展多展多弹头导弹等措施等措施时,平衡状平衡状态会会发生什么生什么变化化.估估计平衡状平衡状态下双方下双方拥有的有的最少的核武器最少的核武器数量数量,这个数量受哪些因素影响个数量受哪些因素影响.背背景景与与问题2.8核军备竞赛冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,以双方以双方(战略略)核核导弹数量描述核数量描述核军备的大小的大小.假定双方采取如下同假定双方采取如下同样的的核威核威慑战略：略：认为对方可能方可能发起所起所谓第一次核打第一次核打击，即，即倾其全部核其全部核导弹攻攻击己方的核己方的核导弹基地；基地；己方在己方在经受第一次核打受第一次核打击后，后，应保存保存足足够的的核核导弹，给对方重要目方重要目标以以毁灭性的打性的打击.在任一方在任一方实施第一次核打施第一次核打击时，假定一枚核，假定一枚核导弹只能攻只能攻击对方的一个核方的一个核导弹基地基地.摧摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的个基地的可能性是常数，它由一方的攻攻击精度和另一方的防御能力决定精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚枚导弹,乙所需的最少乙所需的最少导弹数数(乙安全乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚枚导弹,甲所需的最少甲所需的最少导弹数数(甲安全甲安全线)当当x=0时y=y0，y0乙方的乙方的威威慑值xyy0Oy0甲方甲方实行第一次打行第一次打击后已后已经没有没有导弹，乙方，乙方为毁灭甲方工甲方工业、交通中心等目、交通中心等目标所需所需导弹数数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少双方最少导弹数数)乙安全乙安全线图的模型y=f(x)甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率s 甲方一枚甲方一枚导弹攻攻击乙方一个乙方一个基地，基地未被摧基地，基地未被摧毁的概率的概率.sx个基地未被摧个基地未被摧毁，yx个基地未被攻个基地未被攻击.xy甲方以甲方以x枚枚导弹攻攻击乙方乙方y个基地中的个基地中的x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个基地被攻个基地被攻击2次次,s2(xy)个未被摧个未被摧毁;y(xy)=2y x个被攻个被攻击1次次,s(2y x)个未被摧个未被摧毁.y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2分析模型乙方残存率s甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地x=a y,分析分析模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威威慑值s残存率残存率y=f(x)利用微利用微积分知分知识可知可知y是一条上凸的曲是一条上凸的曲线，且，且 y0变大，曲大，曲线上移、上移、变陡陡.s变大，大，y减小，曲减小，曲线变平平.xyOy0 xy,y=y0+(1s)xx=yx=2yyx2y,x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=甲方增加甲方增加经费保保护及疏散工及疏散工业、交通中心等目、交通中心等目标.乙方威乙方威慑值y0变大大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被甲方的被动防御也会使双方防御也会使双方军备竞赛升升级.（其他因素不（其他因素不变）乙安全乙安全线y=f(x)