用反证法证明命题课件

一、直接证明一、直接证明内容内容综合法综合法分析法分析法定义定义利用已知条件和某些数学利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经定义、公理、定理等，经过一系列的过一系列的 ，最，最后推导出所要证明的结后推导出所要证明的结论论从从要要 出发，逐步出发，逐步寻求使它成立的寻求使它成立的 ，直到最后，把要证明的结论直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的归结为判定一个明显成立的条件条件(已知条件，定理，定义，已知条件，定理，定义，公理等公理等)为止为止实质实质由因导果由因导果(顺推证法顺推证法)执果索因执果索因推理论证推理论证成立成立证明的结论证明的结论充分条件充分条件内容内容综合法综合法分析法分析法框图框图表示表示文字文字语言语言因为因为所以所以或由或由得得要证要证只需证只需证即证即证二、间接证明二、间接证明反证法：假设原命题反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不即在原命题的条件下，结论不成立成立)，经过正确的推理，最后得出，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法不成立不成立矛盾矛盾1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A充分条件充分条件B必要条件必要条件C充要条件充要条件D等价条件等价条件答案：答案：A2用反证法证明命题用反证法证明命题“如果如果ab，那么，那么时，假设的时，假设的内容是内容是()答案：答案：D3P=(m、n、a、b、c、d均为正数均为正数)，则，则p、q的大小为的大小为()ApqBpqCpqD不确定不确定答案：答案：B解析：解析：q=p.4用反证法证明命题：用反证法证明命题：“a，b N，ab可被可被5整除，那么整除，那么a、b 中至少有一个能被中至少有一个能被5整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为_答案：答案：a、b都不能被都不能被5整除整除5若若0a1,0b1，且，且ab，则在，则在ab,2，a2b2和和2ab中最大的是中最大的是_解析：法一：解析：法一：ab2，a2b22ab，ab(a2b2)a(1a)b(1b)0，ab最大最大法二：法二：特值法，取特值法，取a=，计算比较大小，计算比较大小答案：答案：ab1综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证因此，关键是找到与要证性质为依据，进行推理论证因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质2综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性才能保证结论的正确性证明不等式：证明不等式：x2y2z2xyyzxz.所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不等式等式a2+b22ab,然后再求和即可然后再求和即可.【证明证明】x2y22xy，y2z22yz，x2z22xz，2x22y22z22xy2yz2xz，x2y2z2xyyzxz.1若若a、b、c是不全相等的正数，求证：是不全相等的正数，求证：lglgalgblgc.证明：证明：a，b，c(0，)，又上述三个不等式中等号不能同时成立又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立成立上式两边同时取常用对数，得上式两边同时取常用对数，得lglgabclgalgblgc.1分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件2分析法是分析法是“执果索因执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实逐渐地靠近已知事实用分析法证用分析法证“若若P则则Q”这个命题的模式是：这个命题的模式是：为了证明命题为了证明命题Q为真，为真，这只需证明命题这只需证明命题P1为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P2为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P为真为真而已知而已知P为真，故为真，故Q必为真必为真【注意注意】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错容易出错已知非零向量已知非零向量a b，求证：，求证：a bab=0,利用利用a2=|a|2.【证明证明】ab，ab0.要证要证，只需证：，只需证：|a|b|ab|，平方得：平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需证：只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，显然成立，显然成立.故原不等式得证故原不等式得证.2.设设a，b均为正数，且均为正数，且ab，求证：，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：证明：法一：(分析法分析法)要证要证a3b3a2bab2成立，成立，只需证只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立成立.又因为又因为ab0，只需证只需证a2abb2ab成立成立.又需证又需证a22abb20成立，成立，即需证即需证(ab2)0成立成立.而依题设而依题设ab，则，则(ab)20显然成立，由此命题得证显然成立，由此命题得证.法二：法二：(综合法综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.(*)而而a，b均为正数，均为正数，ab0，由由(*)式即得式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，a3b3a2bab2.1.反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命否定命题题)成立；成立；(否定结论否定结论)(2)归谬：将归谬：将“反设反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设反设”的的谬误谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立结论成立)2.用反证法证明问题时要注意以下三点：用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.3.常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”如下：如下：原结论词原结论词反设词反设词原结论词原结论词反设词反设词至少有至少有一个一个一个也一个也没有没有对所有对所有x成立成立存在某个存在某个x不成立不成立至多有至多有一个一个至少有至少有两个两个对任意对任意x不成立不成立存在某个存在某个x成立成立原结论词原结论词反设词反设词原结论词原结论词反设词反设词至少有至少有n个个至多有至多有n1个个p或或qP且且 q至多有至多有n个个至少有至少有n1个个p且且qP或或 q在在 ABC中，中，A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c，若，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：三边的倒数成等差数列，求证：B90.直接证明直接证明B90有一定困难，可考虑利用反有一定困难，可考虑利用反证法证法.【证明证明】假设假设B90不成立，即不成立，即B90，从而，从而B是是ABC的最大角，的最大角，b是是ABC的最大边，即的最大边，即ba，bc.相加得相加得矛盾矛盾.故故B90不成立不成立.3.若若a，b，c均为实数，且均为实数，且ax22yby22z求证：求证：a，b，c中至少有一个大于中至少有一个大于0.证明：证明：假设假设a，b，c都不大于都不大于0，即即a0，b0，c0.(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.又又(x1)2(y1)2(z1)20，30.(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.式与式与式矛盾，所以假设不成立，即式矛盾，所以假设不成立，即a，b，c至少有一至少有一个大于个大于0.数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的大脑的体操，数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的大脑的体操，在高考中占据重要地位，除在立体几何中考查空间位置关系在高考中占据重要地位，除在立体几何中考查空间位置关系的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线相结合进行考查，的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线相结合进行考查，2009年福建高考第年福建高考第21题就是很好的代表题就是很好的代表.(2009福建高考福建高考)已知函数已知函数f(x)ax2bx，且，且f(1)0.(1)试用含试用含a的代数式表示的代数式表示b；(2)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(3)令令a1，设函数，设函数f(x)在在x1、x2(x1x2)处取得极值，记点处取得极值，记点M(x1，f(x1)，N(x2，f(x2).证明：线段证明：线段MN与曲线与曲线f(x)存在异于存在异于M，N的公共点的公共点.解解(1)依题意，得依题意，得f(x)x22axb.由由f(1)12ab0得得b2a1.(2)由由(1)得得f(x)ax2(2a1)x，故故f(x)x22ax2a1(x1)(x2a1).令令f(x)0，则，则x1或或x12a.当当a1时，时，12a1.当当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，12a)(12a，1)(1，)f(x)f(x)单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增由此得，函数由此得，函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，12a)和和(1，)，单调减区间为，单调减区间为(12a，1).当当a1时，时，12a1.此时此时f(x)0恒成立，且仅在恒成立，且仅在x1处处f(x)0，故函数，故函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为R.当当a1时，时，12a1，同理可得函数，同理可得函数f(x)的单调增区间的单调增区间为为(，1)和和(12a，)，单调减区间为，单调减区间为(1,12a).综上：当综上：当a1时，函数时，函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，12a)和和(1，)，单调减区间为，单调减区间为(12a，1)；当当a1时，函数时，函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为R；当当a1时，函数时，函数f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，1)和和(12a，)，单调减区间为，单调减区间为(1,12a).(3)当当a1时，得时，得f(x)x23x.由由f(x)x22x30，得，得x11，x23.由由(2)得得f(x)的单调增区间为的单调增区间为(，1)和和(3，)，单调减，单调减区间为区间为(1,3)，所以函数，所以函数f(x)在在x11，x23处取得极值，处取得极值，故故M(1，)，N(3，9).所以直线所以直线MN的方程为的方程为y1.由由令令F(x)x33x2x3.易得易得F(0)30，F(2)30.而而F(x)的图象在的图象在(0,2)内内是一条连续不断的曲线，故是一条连续不断的曲线，故F(x)在在(0,2)内存在零点内存在零点x0，这，这表明线段表明线段MN与曲线与曲线f(x)有异于有异于M，N的公共点的公共点.此题看似繁琐，但推理、论证的思路清晰、易得此题看似繁琐，但推理、论证的思路清晰、易得.(1)题欲建立关于题欲建立关于a、b的方程，在题目中寻找等量关系是关键，的方程，在题目中寻找等量关系是关键，很明显很明显f(1)0便提供了这一等量关系便提供了这一等量关系.(2)题题f(x)x22axb中含有两个参数，讨论中含有两个参数，讨论f(x)的变化情况的变化情况不易进行，消掉一个参数是首要任务，而不易进行，消掉一个参数是首要任务，而(1)题恰恰提供了这题恰恰提供了这一条件一条件.(3)题中曲线已知，题中曲线已知，M，N点坐标易得，将判断线段与曲线点坐标易得，将判断线段与曲线的交点问题转化成方程解的问题也就水到渠成了的交点问题转化成方程解的问题也就水到渠成了.另外，同学们思考一下，线段另外，同学们思考一下，线段MN与曲线与曲线f(x)的交点是否唯的交点是否唯一呢？交点坐标分别是什么？一呢？交点坐标分别是什么？