第1讲优化建模方法课件

2024/7/8数学建模方法2024/7/8 数学模型是对实际所研究问题的一种抽象，基于数学理论和方法，把客观事物的本质属性与其内在联系刻画出来并用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来表示的一种表达形式。数学模型数学模型如，牛顿第二 定律：2024/7/8数学建模过程数学建模过程现实对象现实对象的信息的信息数学模型的数学模型的解答解答现实对象的现实对象的解答解答数学模型数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系现实对象与数学模型的关系2024/7/8机理分析法：机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。统计分析法：统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。系统分析法：系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。数学建模方法数学建模方法2024/7/8建立数学模型的方法建立数学模型的方法层次分析法层次分析法最小二乘法最小二乘法差分法差分法定性理论法定性理论法优化法优化法变分法变分法回归分析法回归分析法机理分析法机理分析法统计分析法统计分析法聚类分析法聚类分析法主成分分析法主成分分析法马尔科夫预测法马尔科夫预测法系统分析法系统分析法模糊数学法模糊数学法灰色系统法灰色系统法2024/7/8优化方法优化方法数据拟合方法数据拟合方法差分方程方法差分方程方法层次分析方法层次分析方法2024/7/82024/7/8（一）优化模型的数学描述（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中设计变量（决策变量）设计变量（决策变量）目标函数目标函数求函数求函数在约束条件在约束条件和和可行域可行域2024/7/8“受约束于”之意2024/7/8（1）非线性规划）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。2024/7/8（2）线性规划（）线性规划（LP）目标函数和所有的约束条件都是设计目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。变量的线性函数。2024/7/8（3）二次规划问题）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束目标函数为二次函数，约束条件为线性约束2024/7/8（二）建立优化模型的一般步骤（二）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。寻找约束条件。2024/7/8选址问题选址问题聘用雇员问题聘用雇员问题投资问题投资问题产品配比问题产品配比问题指派问题指派问题平板车装箱问题平板车装箱问题（三）优化模型举例（三）优化模型举例2024/7/8实例实例1 选址问题选址问题 一项工程有一项工程有 个施工点，已知每个施工点对某种材个施工点，已知每个施工点对某种材料的需求为料的需求为 （单位：吨），施工点的位置坐标为（单位：吨），施工点的位置坐标为 （以公里记），（以公里记），。现要设立现要设立 个料场，已知每个料场这种材料的最大个料场，已知每个料场这种材料的最大容纳量为容纳量为 (单位：吨单位：吨)，。试确定这试确定这n个料场的位置坐标，及各料场向各施工点个料场的位置坐标，及各料场向各施工点的材料运量，在保证施工需求的条件下，使材料运输的的材料运量，在保证施工需求的条件下，使材料运输的总吨公里最小。总吨公里最小。2024/7/81.确定设计变量和目标变量：确定设计变量和目标变量：2.确定目标函数的表达式：确定目标函数的表达式：设第设第j个料场的位置坐标为个料场的位置坐标为 ，第，第j个料场向第个料场向第i个施工点的材料运量为个施工点的材料运量为 。第第j个料场到第个料场到第i个施工点的吨公里数为个施工点的吨公里数为 总吨公里数为总吨公里数为2024/7/8（1）施工地点的需求：）施工地点的需求：3.寻找约束条件寻找约束条件（2）各料场的最大容量：）各料场的最大容量：（3）对运量的自然要求：）对运量的自然要求：2024/7/8数学模型数学模型2024/7/8问题：问题：如果还要求每个施工点的如果还要求每个施工点的R公里内至少有公里内至少有一个料场，数学模型又如何？一个料场，数学模型又如何？2024/7/8 邮局一周中每天需要不同数目的雇员，设周一至少邮局一周中每天需要不同数目的雇员，设周一至少 人，周二至少人，周二至少 人，人，周日至少，周日至少 人，又规定应人，又规定应聘者需连续工作聘者需连续工作5天，问邮局每天聘用多少雇员才能既满足天，问邮局每天聘用多少雇员才能既满足需求，又使聘用总人数最少。需求，又使聘用总人数最少。实例实例2 聘用雇员问题聘用雇员问题设邮局周一新聘用雇员为设邮局周一新聘用雇员为 ，周二新聘用雇员为周二新聘用雇员为 ，周日新聘用雇员为周日新聘用雇员为 ，则目标函数为，则目标函数为2024/7/8周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日2024/7/8数学模型数学模型2024/7/8问题：问题：上述指全时雇员（每天工作上述指全时雇员（每天工作8小时）。如果邮局也可小时）。如果邮局也可聘用半时雇员（每天工作聘用半时雇员（每天工作4小时，也需连续工作小时，也需连续工作5天）。天）。设全时和半时雇员的工资分别为每小时设全时和半时雇员的工资分别为每小时12元和元和10元，并元，并且限制半时雇员的工作量不应超过总工作量的四分之一，且限制半时雇员的工作量不应超过总工作量的四分之一，问邮局如何安排聘用方案，使所付工资额最少。问邮局如何安排聘用方案，使所付工资额最少。2024/7/8数学模型数学模型项目项目A：若每年初投资一元，则两年后收回本利共：若每年初投资一元，则两年后收回本利共 ；2024/7/8 现有一笔资金现有一笔资金 ，今后，今后5年内有以下项目的投资可供年内有以下项目的投资可供选择，问如何确定每年初这些项目的投资，使选择，问如何确定每年初这些项目的投资，使5年末的本利年末的本利总额最大。总额最大。实例实例3 投资问题投资问题项目项目B：只能在第：只能在第2年初投资，第五年末收回本利的年初投资，第五年末收回本利的 倍，倍，但投资额不能小于但投资额不能小于 ；项目项目D：每年初可购：每年初可购1年期债券，利率为年期债券，利率为 。项目项目C：只能在第：只能在第3年初投资，第五年末收回本利的年初投资，第五年末收回本利的 倍，倍，但投资额不能超过但投资额不能超过 ；设设 分别表示第分别表示第 年初这四个项目的投资额，年初这四个项目的投资额，第第1年初，年初，第第1年末，年末，第第2年初，年初，第第2年末，年末，第第3年初，年初，第第3年末，年末，第第4年初，年初，第第4年末，年末，第第1年初，年初，第第1年末，年末，第第2年初，年初，第第2年末，年末，第第3年初，年初，第第3年末，年末，第第4年初，年初，第第4年末，年末，第第5年初，年初，第第5年末，年末，2024/7/8 某厂生产某厂生产 种饲料种饲料 ，它们均由，它们均由 种种原料原料 配合而成，配合而成，在在 中含量（百分比）中含量（百分比）的上限为的上限为 ，下限为，下限为 。若。若 的售价为的售价为 （元（元/千克），千克），的成本为的成本为 （元（元/千克），千克），的供应量不超过的供应量不超过 ，其中，其中实例实例4 产品配比问题产品配比问题 试确定各种饲料的产量及其原料配比，使工厂的利润试确定各种饲料的产量及其原料配比，使工厂的利润最大。最大。设设 饲料的产量为饲料的产量为 ，在在 中的比例为中的比例为 。2024/7/8建模建模 设设 饲料的产量为饲料的产量为 ，在在 中的比例为中的比例为 。1.确定设计变量和目标变量：确定设计变量和目标变量：2.确定目标函数的表达式：确定目标函数的表达式：利润利润=总收入总收入总成本总成本 中中 的含量：的含量：2024/7/8（1）原料供应的约束：）原料供应的约束：3.寻找约束条件寻找约束条件（2）原料含量的约束：）原料含量的约束：2024/7/8数学模型数学模型2024/7/8练习练习 指派问题指派问题 设有设有n n项任务要分给项任务要分给n n个人完成，每人完个人完成，每人完成一项。由于每个人的专长不同，完成任务所成一项。由于每个人的专长不同，完成任务所需的成本也不同。若第需的成本也不同。若第 i i 个人完成第个人完成第 j j 个问个问题的成本为题的成本为 CijCij，见下表。，见下表。问题是：问题是：如何分配这些工作任务，使总成本为最小。如何分配这些工作任务，使总成本为最小。2024/7/8 工作工作人员人员 12345112797928966637171214941514661054107109表：每个人员的成本表：每个人员的成本 2024/7/8s.t.数学模型数学模型 每辆平板车有每辆平板车有10.2米长的地方装箱（像面包片那样），米长的地方装箱（像面包片那样），载重载重40吨。由于货运限制，对吨。由于货运限制，对 三种包装箱的装载三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘厘米。试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。米。试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。2024/7/8 要把要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、重量与数量。重量与数量。讨论讨论 平板车装箱问题平板车装箱问题厚度厚度t（厘米）（厘米）48.752.061.372.048.752.064.0重量重量w（千克）（千克）200030001000500400020001000数量数量n8796648可见，所有包装箱的厚度为可见，所有包装箱的厚度为27.495米，而两辆包装箱米，而两辆包装箱共有共有20.4米长的地方，显然不能全部装下。这就需要米长的地方，显然不能全部装下。这就需要我们优化。我们优化。设包装箱设包装箱 装到平板车装到平板车1,2的数量分别为的数量分别为 厚度函数：厚度函数：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：厚度约束厚度约束 重量约束重量约束 数量约束数量约束 特殊约束特殊约束 数学模型：数学模型：整数整数 2024/7/8年年 份份 题题 目目2004 年年A题：发现黄球并定位题：发现黄球并定位B题：实用下料问题题：实用下料问题C题：售后服务数据的应用题：售后服务数据的应用D题：研究生录取问题题：研究生录取问题2005年年A题：题：Highway Traveling time Estimate and Optimal RoutingB题：空中加油题：空中加油C题：城市交通管理中的出租车规划题：城市交通管理中的出租车规划 D题：仓库容量有限条件下的随机存贮管理题：仓库容量有限条件下的随机存贮管理 2006年年A题：题：Ad Hoc网络中的区域划分和资源分配问题网络中的区域划分和资源分配问题B题：确定高精度参数问题题：确定高精度参数问题C题：维修线性流量阀时的内筒设计问题题：维修线性流量阀时的内筒设计问题D题：学生面试问题题：学生面试问题2004年-2012年全国研究生数学建模竞赛题目2024/7/8年年 份份 题题 目目2007年年 A题：建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理题：建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题论问题B题：机械臂运动路径设计问题（机器人技术问题）题：机械臂运动路径设计问题（机器人技术问题）C题：探讨提高高速公路路面质量的改进方案题：探讨提高高速公路路面质量的改进方案D题：邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度题：邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度2008年年A题：汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题题：汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题B题：城市道路交通信号实时控制问题题：城市道路交通信号实时控制问题C题：货运列车的编组调度问题题：货运列车的编组调度问题D题：中央空调系统节能设计问题题：中央空调系统节能设计问题2004年-2012年全国研究生数学建模竞赛题目2024/7/8 年年 份份 题题 目目2009年年A题：我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模题：我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模B题：枪弹头痕迹自动比对方法的研究题：枪弹头痕迹自动比对方法的研究C题：多传感器数据融合与航迹预测题：多传感器数据融合与航迹预测D题：题：110警车配置及巡逻方案（论文研读警车配置及巡逻方案（论文研读1）2010年年A题：确定肿瘤的重要基因信息题：确定肿瘤的重要基因信息B题：与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模题：与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模C题：神经元的形态分类和识别题：神经元的形态分类和识别D题：特殊工件磨削加工的数学建模题：特殊工件磨削加工的数学建模2011年年A题：基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真题：基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真B题：吸波材料与微波暗室问题的数学建模题：吸波材料与微波暗室问题的数学建模C题：小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型题：小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型D题：房地产行业的数学建模题：房地产行业的数学建模2024/7/8 年年 份份 题题 目目2011年年A题：基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真题：基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真B题：吸波材料与微波暗室问题的数学建模题：吸波材料与微波暗室问题的数学建模C题：小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型题：小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型D题：房地产行业的数学建模题：房地产行业的数学建模2012年年A题：基因识别问题及其算法实现题：基因识别问题及其算法实现B题：基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误题：基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析差分析C题：有杆抽油系统的数学建模及诊断题：有杆抽油系统的数学建模及诊断D题：基于卫星云图的风氏场（云导风）度量模型预算法探题：基于卫星云图的风氏场（云导风）度量模型预算法探讨讨