第1节-n阶行列式课件

第一章第一章 行列式行列式 （Determinants)1.1 n 阶行列式阶行列式1.2 行列式的性质行列式的性质1.3 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.4 行列式的计算行列式的计算1.5 克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组1.1 n 阶行列式阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式一、二阶行列式山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.山东财经大学数学与数量经济学院即即第一个下标表示元素所在的行第二个下标表示元素所在的列山东财经大学数学与数量经济学院主对角线主对角线次对角线次对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院练习练习1.1.11.1.1解解山东财经大学数学与数量经济学院同理，可用三阶行列式求同理，可用三阶行列式求解三元一次线性方程组解三元一次线性方程组二、三阶行列式山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院对角线法对角线法注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三红线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式山东财经大学数学与数量经济学院(2)(2)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算山东财经大学数学与数量经济学院二阶行列式有两行两列共22个元素构成；其值等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积；展开式共有2！项，每项由取自不同行不同列的两个元素的积构成。二阶行列式的值等于所有取自不同行不同列的两个元素的乘积的代数和二阶行列式的值等于所有取自不同行不同列的两个元素的乘积的代数和三阶行列式有三行三列共32个元素构成；展开式共有3！项，每项由取自不同行不同列的三个元素的积构成。三阶行列式的值等于所有取自不同行不同列的三个元素的乘积的代数和三阶行列式的值等于所有取自不同行不同列的三个元素的乘积的代数和对二、三阶行列式结构的分析：对二、三阶行列式结构的分析：山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院解解解解方程左端方程左端练习练习 1.1.2山东财经大学数学与数量经济学院1.1.2 排列与逆序1.逆序数山东财经大学数学与数量经济学院计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性山东财经大学数学与数量经济学院分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;山东财经大学数学与数量经济学院3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;山东财经大学数学与数量经济学院例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.山东财经大学数学与数量经济学院解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.山东财经大学数学与数量经济学院解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.山东财经大学数学与数量经济学院i=8,k=3 i=3,k=6山东财经大学数学与数量经济学院2.对换的定义与结论例如13245对换1524315243相邻对换15423山东财经大学数学与数量经济学院 设在全部设在全部 阶排列中，有阶排列中，有 个奇排列，个奇排列，个个偶排列，下证偶排列，下证 将将 个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排个奇排列列全变成偶排列，并且它们彼此不同，全变成偶排列，并且它们彼此不同，证明证明 同理，将同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列的前两个数对换，则这 个个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，故故山东财经大学数学与数量经济学院思考题思考题如果排列如果排列 的逆序数为的逆序数为 k，则排列，则排列的逆序数是多少？的逆序数是多少？山东财经大学数学与数量经济学院思考：二阶行列式实际上是元素乘积的代数和，这一代数和具有的特点？n阶行列式山东财经大学数学与数量经济学院思考：三阶行列式实际上也是元素乘积的代数和，这一代数和具有的特点？山东财经大学数学与数量经济学院1.1.3 n阶行列式主对角线次对角线山东财经大学数学与数量经济学院总结：n阶行列式定义的特点1.每一乘积项都是由n个元素组成，代数和共有n!项.2.n个元素中任意两个元素都位于不同行不同列.3.每一项的符号由列标排列的逆序数所决定.山东财经大学数学与数量经济学院例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解山东财经大学数学与数量经济学院即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式上三角行列式上三角行列式山东财经大学数学与数量经济学院分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解山东财经大学数学与数量经济学院下三角行列式下三角行列式山东财经大学数学与数量经济学院对角形行列式山东财经大学数学与数量经济学院山东财经大学数学与数量经济学院思考题思考题已知已知山东财经大学数学与数量经济学院解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于山东财经大学数学与数量经济学院p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日