现代信号处理-同态处理分析课件

PART III 同态信号处理同态信号处理Homomorphic Signal ProsessingPART III 同同态态信号信号处处理理Homomorphic S第五章第五章 同态信号处理同态信号处理n 5.2 乘法同态系统乘法同态系统n 5.4 复倒谱复倒谱n 5.5 复倒谱的计算复倒谱的计算n 5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n 5.3 卷积同态系统卷积同态系统n 5.0 引言引言第五章第五章 同同态态信号信号处处理理 5.2 乘法同乘法同态态系系统统 5.4 复倒复倒谱谱5.0 引言引言n加性加性组合信号合信号1(频域可分离域可分离)r(n)x(n)信号信号1y(n)信号信号25.0 引言加性引言加性组组合信号合信号1(频频域可分离域可分离)r(n)x(n)信号信号5.0 引言引言n加性加性组合信号合信号(MMSE分离分离)r(n)x(n)信号信号y(n)噪声噪声5.0 引言加性引言加性组组合信号合信号(MMSE分离分离)r(n)x(n)信号信号5.0 引言引言n非非线性性组合信号合信号r(n)x(n)信号信号1y(n)信号信号2r(n)x(n)信号信号 y(n)乘法乘法卷积卷积5.0 引言非引言非线线性性组组合信号合信号r(n)x(n)信号信号1y(n)信号信号5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n1.线性系性系统n叠加原理叠加原理 设x1(n)和和x2(n)为系系统的的两两个个输入入序序列列，其其输出分出分别用用y1(n)和和y2(n)表示，即表示，即叠加原理要求：叠加原理要求：n满足叠加原理的系足叠加原理的系统称称为线性系性系统。5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念1.线线性系性系统统5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n2.广广义叠加原理叠加原理n将系将系统中的运算用符号抽象化中的运算用符号抽象化系系统的的输入中：入中：信信号号间的的运运算算用用*表表示示(加加、乘乘、卷卷积等等)常常数数与与信信号号间的的运运算算用用表表示示(乘乘、幂、开方等、开方等)5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念2.广广义义叠加原理叠加原理5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念系系统的的输出中：出中：信信号号间的的运运算算用用表表示示(加加、乘乘、卷卷积等等)常常数数与与信信号号间的的运运算算用用表表示示(乘乘、幂、开方等、开方等)用用H表表示示系系统变换，用用C表表示示系系统中中的的常数。常数。5.1 同同态态系系统统的基本概念系的基本概念系统统的的输输出中：出中：5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n定定义:若在系若在系统中下式成立中下式成立则称称该系系统满足足广广义叠叠加加原原理理，并并称称该系系统为同同态系系统(Homomorphic System)。n说明：明：同同态系系统强调在某运算下同在某运算下同态。*5.1 同同态态系系统统的基本概念定的基本概念定义义:若在系若在系统统中下式成立中下式成立*5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n3.同同态系系统的分的分类n若若*和和均均为加加法法，和和均均为乘乘法法，则称称该系系统为加法同加法同态系系统，或，或线性系性系统。n若若*为乘乘法法，也也为乘乘法法，则称称该系系统为乘法运算同乘法运算同态系系统或或乘法同乘法同态系系统。n若若*为卷卷积，也也为卷卷积，则称称该系系统为卷卷积运算同运算同态系系统或或卷卷积同同态系系统。n若若*为乘乘法法，为卷卷积，则称称该系系统为乘乘法和卷法和卷积运算同运算同态系系统。*5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念3.同同态态系系统统的分的分类类*5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n3.同同态系系统的分的分类信号信号变换x2(n)能否构成乘法同能否构成乘法同态系系统?信号信号变换3x(n)能否构成乘法同能否构成乘法同态系系统?5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念3.同同态态系系统统的分的分类类5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n4.同同态系系统的的规范形式范形式n任任何何同同态系系统都都可可以以表表示示成成由由三三个个子子系系统级联的形式：的形式：+和和同态系统同态系统*和和+同态系统同态系统+同态系统同态系统D*LD-1*+5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念4.同同态态系系统统的的规规范形式范形式+和同和同态态5.1 同态系统的基本概念同态系统的基本概念n5.同同态系系统的特征系的特征系统n将将信信号号之之间的的*运运算算转化化成成+运运算算的的系系统称称为*运算的特征系运算的特征系统。n将信号之将信号之间的的+运算运算转化成运算的系化成运算的系统称称为运算的特征系运算的特征系统的逆系的逆系统。D-1+D*+5.1 同同态态系系统统的基本概念的基本概念5.同同态态系系统统的特征系的特征系统统D-15.2 乘法同态系统乘法同态系统n1.乘法同乘法同态系系统的运算的运算n信号之信号之间的运算：的运算：*乘法运算乘法运算n常数与信号之常数与信号之间的运算：的运算：指数运算指数运算5.2 乘法同乘法同态态系系统统1.乘法同乘法同态态系系统统的运算的运算5.2 乘法同态系统乘法同态系统n2.乘法同乘法同态系系统的的规范形式范形式n设输入入为，其其中中 为常常数，数，则DLD-1幂幂运算运算幂运算幂运算+5.2 乘法同乘法同态态系系统统2.乘法同乘法同态态系系统统的的规规范形式范形式DL5.2 乘法同态系统乘法同态系统n3.特征系特征系统Dn将信号将信号间的乘法运算的乘法运算转换成加法运算；成加法运算；n将常数与信号将常数与信号间的的幂运算运算转换成乘法运算。成乘法运算。n D是是对数运算：数运算：n D-1是指数运算：是指数运算：5.2 乘法同乘法同态态系系统统3.特征系特征系统统D5.2 乘法同态系统乘法同态系统n4.规范形式的范形式的实现框框图n5.应用用n可表示成多个分量乘可表示成多个分量乘积的信号有：的信号有：衰落信道的衰落信道的输出信号出信号 调幅波幅波复对数复对数线性线性系统系统复指数复指数+5.2 乘法同乘法同态态系系统统4.规规范形式的范形式的实现实现框框图图复复对对数数线线性系性系统统复复5.2 乘法同态系统乘法同态系统n同同态滤波的作用：波的作用：若若要要处理理乘乘性性混混合合信信号号，先先对其其进行行分分离离，增增强其其中中某某个个信信号号分分量量，同同时压缩或削弱另一个信号分量。或削弱另一个信号分量。5.2 乘法同乘法同态态系系统统同同态滤态滤波的作用：波的作用：5.3 卷积同态系统卷积同态系统n1.规范形式范形式nD*将将信信号号间的的卷卷积运运算算转换成成加加法法运运算算:nD*-1将加法运算将加法运算转换成卷成卷积运算运算:D*LD*-1*+5.3 卷卷积积同同态态系系统统1.规规范形式范形式D*LD*-15.3 卷积同态系统卷积同态系统n2.特征系特征系统D*的的实现n先用先用Z变换将卷将卷积组合信号合信号变成乘法成乘法组合合信号：信号：n再用复再用复对数将乘法运算数将乘法运算变为加法运算：加法运算：ZlnZ-1+*+5.3 卷卷积积同同态态系系统统2.特征系特征系统统D*的的实现实现Zl5.3 卷积同态系统卷积同态系统n最后用逆最后用逆Z变换将信号由将信号由Z域域变换到到时域：域：n3.D*-1的的实现ni)对信号信号进行行Z变换，将信号由，将信号由时域域变换到到Z域：域：ZexpZ-1*+5.3 卷卷积积同同态态系系统统最后用逆最后用逆Z变换变换将信号由将信号由Z域域变换变换到到时时域：域：Z5.3 卷积同态系统卷积同态系统nii)用复指数运算将加法运算用复指数运算将加法运算变为乘法运算：乘法运算：niii)用用逆逆Z变换将将信信号号由由Z域域变换到到时域域，且乘法且乘法变为卷卷积：5.3 卷卷积积同同态态系系统统ii)用复指数运算将加法运算用复指数运算将加法运算变为变为乘法运乘法运5.4 复倒谱复倒谱n1.定定义n称称 为信信号号x(n)的的复复倒倒谱(Cepstrum)。n卷卷积同同态系系统的的D*将将卷卷积运运算算组合合的的信信号号转换成它成它们的复倒的复倒谱之和。之和。5.4 复倒复倒谱谱1.定定义义5.4 复倒谱复倒谱n 2.序列的复倒序列的复倒谱n设x(n)的的Z变换为n其中：其中：为零点，零点，为极点；极点；的模均小于的模均小于1；为单位位圆内、外零点的数目；内、外零点的数目；为单位位圆内、外极点的数目。内、外极点的数目。5.4 复倒复倒谱谱 2.序列的复倒序列的复倒谱谱5.4 复倒谱复倒谱n n 计算算 5.4 复倒复倒谱谱 5.4 复倒谱复倒谱同理可得：同理可得：计算算同理可得：同理可得：5.4 复倒复倒谱谱同理可得：同理可得：5.4 复倒谱复倒谱项:先不考先不考虑。lnA项:n综上可得：上可得：5.4 复倒复倒谱谱项项:5.4 复倒谱复倒谱n3.序列复倒序列复倒谱的性的性质ni)为无无限限长序序列列，幅幅度度按按 的的速速度度衰减，能量主要集中在低衰减，能量主要集中在低时段。段。nii)若若x(n)为最最小小相相位位序序列列，即即零零极极点点均均在在单位位圆内内，则其其复复倒倒谱为因果序列。因果序列。5.4 复倒复倒谱谱3.序列复倒序列复倒谱谱的性的性质质5.4 复倒谱复倒谱niii)若若x(n)为最最大大相相位位序序列列，即即零零极极点点均均在在单位位圆外外，则其其复复倒倒谱为反反因果序列。因果序列。niv)间隔隔Np的的冲冲激激序序列列的的复复倒倒谱仍仍为一一个个间隔隔为Np的冲激序列。的冲激序列。nv)实序列的复倒序列的复倒谱也是也是实序列。序列。5.4 复倒复倒谱谱iii)若若x(n)为为最大相位序列，即零极点均最大相位序列，即零极点均性质性质iv证明证明:性性质质iv证证明明:性质性质iv证明证明(续续):性性质质iv证证明明(续续):性质性质v证明证明n若若x(n)为实序列，序列，则其中其中 为偶函数，偶函数，为奇函数。奇函数。于于是是在在 中中实部部为偶偶对称称，虚虚部部为奇奇对称称，即即为共共轭偶偶对称称。因因此此 也也为实序列。序列。性性质质v证证明若明若x(n)为实为实序列，序列，则则5.4 复倒谱复倒谱n4.复复对数的定数的定义n复复对数的多数的多值性性 可可见 与与 之之间的的变换不不唯唯一一，因因而而导致致x(n)与之与之间不是一一不是一一对应的。的。5.4 复倒复倒谱谱4.复复对对数的定数的定义义5.4 复倒谱复倒谱n复复对数多数多值性的解决性的解决设定相位的主定相位的主值区区间为，定定义取主取主值运算运算ARG：其中其中为“模模”运算，它使运算，它使显然，然，ARGX(z)与与X(z)是一一是一一对应的。的。5.4 复倒复倒谱谱复复对对数多数多值值性的解决性的解决5.4 复倒谱复倒谱若令若令则可解决复可解决复对数的多数的多值性性问题。5.4 复倒复倒谱谱若令若令5.4 复倒谱复倒谱n复复对数的解析性数的解析性i)如如果果 是是稳定定和和因因果果的的，那那么么要要求求 在在单位位圆上上收收敛。ii)要要求求 在在收收敛域域内内是是解解析析的的，则要要求求 在在单位位圆上上连续、可可微微分分，变换唯一。唯一。5.4 复倒复倒谱谱复复对对数的解析性数的解析性5.4 复倒谱复倒谱iii)ARGX(z)不不能能保保证在在单位位圆上上连续。因此需因此需对复复对数的定数的定义做做进一步修改一步修改:其中其中 即即 通通 过 加加 入入 修修 正正 项 消消 除除ARGX(z)的不的不连续性。性。5.4 复倒复倒谱谱iii)ARGX(z)不能保不能保证证在在单单位位圆圆上上5.5 复倒谱的计算复倒谱的计算n 5.5.1 按定义计算按定义计算n 5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n 5.5.3 复对数求导数法计算复倒谱复对数求导数法计算复倒谱(自学自学)n 5.5.4 递推计算方法递推计算方法(自学自学)5.5 复倒复倒谱谱的的计计算算 5.5.1 按定按定义计义计算算 5.5.2 最最 5.5.1 按定义计算按定义计算n1.引入引入n如如果果输入入序序列列x(n)的的Z变换X(z)的的收收敛域域包包含含单位位圆，则x(n)的付氏的付氏变换 存在。存在。n可可以以在在单位位圆上上计算算复复倒倒谱，即即用用序序列列付付氏氏变换(SFT)代替代替Z变换计算复倒算复倒谱。n在数字在数字实现时，用，用DFT实现序列付氏序列付氏变换。5.5.1 按定按定义计义计算算1.引入引入 5.5.1 按定义计算按定义计算n按定按定义计算流程：算流程：其中其中k为归一化数字一化数字频率。率。DFTlnIDFT 5.5.1 按定按定义计义计算按定算按定义计义计算流程：算流程：DFTlnID 5.5.1 按定义计算按定义计算n2.说明明n设x(n)是是N点点的的时间序序列列，X(k)为其其N点点DFT，则X(k)的复的复对数仍是数仍是N点序列。点序列。n 由由于于 是是在在一一个个周周期期内内的的N个个等等间隔隔频率率点点上上的的样值，不不是是真真正正的的复复倒倒谱，而而是是复复倒倒谱 经过以以N为周期周期进行延拓的行延拓的结果。果。5.5.1 按定按定义计义计算算2.说说明明 5.5.1 按定义计算按定义计算n一一般般是是无无限限长序序列列，因因此此各各周周期期延延拓拓之之间一定存在混叠。一定存在混叠。n由由于于的的主主要要能能量量集集中中在在低低时段段，当当N足足够大大时，混叠的影响可忽略。，混叠的影响可忽略。5.5.1 按定按定义计义计算一般是无限算一般是无限长长序列，因此各周期延拓序列，因此各周期延拓 5.5.1 按定义计算按定义计算n3.复复对数多数多值性性问题的解决的解决n要求：既唯一又要求：既唯一又连续。n解决方法：相位展开解决方法：相位展开在在不不连续的的主主值相相位位上上叠叠加加一一个个校校正正相相位位来得到来得到连续的瞬的瞬时相位，即相位，即 设设 5.5.1 按定按定义计义计算算3.复复对对数多数多值值性性问题问题的解决的解决 设设 5.5.1 按定义计算按定义计算主主值相位的相位的计算算校正相位的确定校正相位的确定当当k=0，当当k=1,2,.5.5.1 按定按定义计义计算主算主值值相位的相位的计计算算 5.5.1 按定义计算按定义计算n示例：示例：连续相位连续相位/相位主值相位主值/相位校正相位校正/5.5.1 按定按定义计义计算示例：算示例：连续连续相位相位/相位主相位主值值/相位校正相位校正/5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n1.几个有用的几个有用的结论设x(n)为最小相位序列，最小相位序列，则ni)可由它的偶序列完全恢复出，可由它的偶序列完全恢复出，在在 处的的值可由它的奇序列恢复出。可由它的奇序列恢复出。说明明：设与与分分别表表示示的的共共轭偶部与共偶部与共轭奇部，奇部，则5.5.2 最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算1.几个有用的几个有用的结论结论5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算由由于于x(n)为最最小小相相位位序序列列，为因因果果序序列。因此列。因此当当n0时，当当n=0时，当当n0时，5.5.2 最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算由于由于x(n)为为最小相位最小相位5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算综上得上得其中其中5.5.2 最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算综综上得上得5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n ii)付付氏氏变换为实数数，等等于于 付付氏氏变换的的实部部。的的付付氏氏变换为虚虚数数，等等于于 付氏付氏变换的虚部。的虚部。niii)与与 是一是一对付氏付氏变换。说明只需明只需 就可以就可以计算出。算出。5.5.2 最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算 ii)5.5.2 最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n2.最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱的的计算流程算流程n3.的确定的确定nn=0时，当当N足足够大大时，将，将忽略，得到。忽略，得到。DFTln|IDFT5.5.2 最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算2.最小相位序列复倒最小相位序列复倒5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算nn=N/2时由由于于，并并忽忽略略其其它它项，得到。得到。n时忽略，得忽略，得5.5.2最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算n=N/2时时5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n时 由于混叠由于混叠严重，故令重，故令5.5.2最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算时时5.5.2最小相位序列复倒谱的计算最小相位序列复倒谱的计算n综上，上，5.5.2最小相位序列复倒最小相位序列复倒谱谱的的计计算算综综上，上，