现代控制理论(第三章)课件

3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4*离散时间系统的能控性与能观性3.5*时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系3.1 能控性的定义能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别3.EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy初步了解可控性和可观测性初步了解可控性和可观测性2020世纪世纪6060年代初，由年代初，由卡尔曼卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。提出，与状态空间描述相对应。可控性：反映了控制可控性：反映了控制输入输入对系统对系统状态状态的制约能力。的制约能力。输入能否控制状态输入能否控制状态（控制问题）（控制问题）可观测性：反映了可观测性：反映了输出输出对系统对系统状态状态的判断能力。的判断能力。状态能否由输出反映状态能否由输出反映（估计问题）（估计问题）初步了解可控性和可观测性初步了解可控性和可观测性20世纪世纪60年代初，由卡尔曼提出，与年代初，由卡尔曼提出，与EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy例：已知系统的动态方程，例：已知系统的动态方程，理解理解-可控性、可观测性可控性、可观测性提出的目的。提出的目的。系统系统完全可控！完全可控！可以控制可以控制 无法反映无法反映 系统系统不完全可观不完全可观！例：已知系统的动态方程，理解例：已知系统的动态方程，理解-可控性、可观测性提出的目的。可控性、可观测性提出的目的。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.1 能控性的定义1线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间 内，使系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态是能控的能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的系统是能控的。几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 ，初始状态为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即 3.1 能控性的定义能控性的定义1线性连续定常系统的能控性定义线性连线性连续定常系统的能控性定义线性连EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 2)也可以假定 =0，而工 为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用 ，在有限时间 内，能将 由零状态驱动到任意 。在这种情况下，称为状态的能达性能达性。3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将 驱动到 ，而不计较 的轨迹如何。2线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：3离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：2)也可以假定也可以假定 =0，而工，而工 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.2 线性定常系统的能控性判别3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别1单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。或式中(2)(1)3.2 线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别3.2.1 具有约旦标准具有约旦标准EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy现代控制理论现代控制理论(第三章第三章)课件课件EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为（图3-3）(6)(7)2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为（图3-4）3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为（图3-5）：(8)(9)(10)(11)(3)(4)(5)不可控不可控不可控不可控可控可控1)对于式对于式(3)的系统，系统矩阵的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程为对角线型，其标量微分方程EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)若进行非奇异线性变换将其变换为约当标准型：令非奇异线性变换不改变系统的能控性！一般系统的能控性判据：一般系统的能控性判据：系统矩阵系统矩阵A A的特征值互异，则的特征值互异，则 无全零行；无全零行；系统矩阵系统矩阵A A有相同特征值时有相同特征值时 中与互异特征值部分对应的行中无中与互异特征值部分对应的行中无全零行；全零行；中与相同特征值部分（即约当块）最后一行对应的行非全中与相同特征值部分（即约当块）最后一行对应的行非全零行。零行。2具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)若若EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 例例3 3-1 1：判别下列：判别下列对角标准型对角标准型线性定常系统的可控性。线性定常系统的可控性。没有全零行没有全零行系统系统可控！可控！1、2、有全零行有全零行系统系统不可控！不可控！状态状态完全能控完全能控状态状态完全能控完全能控3、4、教材教材 例例3 3-2 2；3-33-3：当状态空间表达式不为约当标准型时，先进行线性变当状态空间表达式不为约当标准型时，先进行线性变换！换！例例3-1：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。没有全：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。没有全EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性1单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：满秩，即 。否则，当 时，系统为不能控的。(14)例3-4-三阶能控标准型，能控标准型，无论系数如何取，都可控。注：输入与状态矢量间的传递函数也可以判断能控性：无零极点对消的情况注：输入与状态矢量间的传递函数也可以判断能控性：无零极点对消的情况例3-6；3-73.2.2 直接从直接从A与与B判别系统的能控性判别系统的能控性1单输入系统线性单输入系统线性EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性2多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：式中,B 为 阶矩阵；为 r 维列矢量。的秩为 。(15)注：1.因M可能非方阵，在实际中考虑到rank(M)=rank(MM),通过求rank(MM)判断系统的能控性。2.按能控性定义，找到u(t)将初始状态转移到零点。实际中u(t)并不唯一。3.2.2 直接从直接从A与与B判别系统的能控性判别系统的能控性2多输入系统对多多输入系统对多EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 例例3 3-8-8-教材上是个能控的例子教材上是个能控的例子 判别如下系统的能控性判别如下系统的能控性 解解：系统系统不可控不可控！例例3-8-教材上是个能控的例子教材上是个能控的例子 判别如下系统的能控判别如下系统的能控EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.3 线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义 能观性所表示的是输出 反映状态矢量 的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 如果对任意给定的输入 ，在有限观测时间 ,使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测状态完全能观测的，或简称是能观能观的。(1)3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义能观性定义 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.3 线性连续定常系统的能观性关于能观性定义的几点说明：1）能观性反应 与 的关系，考虑控制作用的输出是可以算出来的，因此不妨设输入恒为零，只需从齐次方程和输出方程出发判定能观性。3）在定义中规定对初始状态的确定，原因是初始状态一旦确定，便可利用状态转移方程求出各个瞬时的状态。2）系统输出的维数一般小于状态变量的个数，为了能唯 一求出这些状态的初始值，则需要多测几组数据，且观测时间要略长才不会破坏观测的独立性。3.3 线性连续定常系统的能观性关于能观性定义的几点说明：线性连续定常系统的能观性关于能观性定义的几点说明：EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.3.2 定常系统能观性的判别 定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。1转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵(2)3.3.2 定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别 定常系统能观定常系统能观EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy这时式(2)用方程组形式表示，可有：(3)(4)结论：在系统矩阵结论：在系统矩阵A A为对角阵时，系统能观的充要条件是输出矩阵为对角阵时，系统能观的充要条件是输出矩阵C C中不中不含全零列。若哪一列为全零列，则与之对应的状态变量不能观。含全零列。若哪一列为全零列，则与之对应的状态变量不能观。这时式这时式(2)用方程组形式表示，可有：用方程组形式表示，可有：(3)(4)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：(2)A 为约旦标准型矩阵以三阶为例：从而可得结构图如图所示。将式从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式带入输出方程式(4)，得：，得：EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy这时，状态方程的解为：从而(5)结论：结论：当且仅当输出矩阵当且仅当输出矩阵C C中第一列元素不全为零时，中第一列元素不全为零时，y y(t t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。这时，状态方程的解为：从而这时，状态方程的解为：从而(5)结论：结论：当且仅当且仅EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：只要串在最后面的那个状态变量被测量到（被任一输出测量到），前面的变量也能测量得到。约旦标准型只要串在最后面的约旦标准型只要串在最后面的EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy根据系统的解及输出方程（凯莱根据系统的解及输出方程（凯莱哈密顿定理）可得到：哈密顿定理）可得到：单单输出：输出：多多输出：输出：阶可观测性矩阵阶可观测性矩阵 阶可观测性矩阵阶可观测性矩阵条件满足即可，条件满足即可，不必写出所有的行！不必写出所有的行！2直接从A、C阵判断系统的能观性根据系统的解及输出方程（凯莱哈密顿定理）可得到：单输出：多输根据系统的解及输出方程（凯莱哈密顿定理）可得到：单输出：多输EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.4*离散时间系统的能控性与能观性3.4.1 能控性矩阵 M离散时间系统的状态方程如下：(1)3.4.2 能观性矩阵N离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。式中,为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。(2)当系统为单输入系统时，式中 为标量控制作用控制阵 为 维列矢量；G为系统矩阵 ；为状态矢量 。3.4*离散时间系统的能控性与能观性离散时间系统的能控性与能观性3.4.1 能控能控EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出 ，就能唯一地确定任意初始状态矢量 ，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。从式(1)，有：若系统能观，那么在知道 时，应能确定出 ，现从式(7)可得：(3)写成矩阵形式：根据根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内节中能观性定义，如果知道有限采样周期内EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即(4)(5)有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.5*时变系统的能控性与能观性3.5.1 能控性判别1.有关线性时变系统能控性的几点说明这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。4)非奇异变换不改变系统的能控性。2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 转移到目标状态(原点)的时刻。1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 区间是绝对平方可积的，即3.5*时变系统的能控性与能观性时变系统的能控性与能观性3.5.1 能控性判能控性判EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy5)如果 是能控状态，则 也是能控状态，是任意非零实数。7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为 。6)如果 和 是能控状态，则 也必定是能控状态。2线性连续时变系统的能控性判别时变系统的状态方程如下：系统在 上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵为非奇异的。(1)(2)5)如果如果 是能控状态，则是能控状态，则 也是能控状态，也是能控状态，EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.5.2 能观性判别1有关线性时变系统能观性的几点讨论2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。1)时间区间 是识别初始状态 所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。4)如果 是不能观测的，为任意非零实数，则 也是不能观测的。6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子(3)3.5.2 能观性判别能观性判别1有关线性时变系统能观性的几点讨有关线性时变系统能观性的几点讨EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2线性连续时变系统能观性判别为非奇异的。在 上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵时变系统(4)(5)态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。空间，称为不能观子空间，记为 。只有当系统的不能观子空问 。在状2线性连续时变系统能观性判别为非奇异的。在线性连续时变系统能观性判别为非奇异的。在 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy众所周知，一个矩阵：因此，有 这个矩阵的列矢量线性无关与 非奇异等价。式中，为列矢量，当且仅当由 构成的格拉姆矩阵 为非奇异时，列矢量是线性无关的。现在 3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系众所周知，一个矩阵：众所周知，一个矩阵：因此，有因此，有 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.6 能控性与能观性的对偶关系 能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1 线性系统的对偶关系有两个系统，一个系统 为：另一个系统 ：为：若满足下述条件，则称 与 是互为对偶的。3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系 能控性与能观性能控性与能观性EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy式中，为 维状态矢量；各为r与m维控制矢量；各为 与 维输出矢量；为 系统矩阵；各为，与 ，维控制矩阵；各为 与 维输出矩阵。式中，式中，为为 维状态矢量；维状态矢量；EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.6.2 对偶原理3.6.3*时变系统的对偶原理 时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。系统 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观性，的能观性等价于 的能控性。或者说，若 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是状态完全能观的(完全能控的)。3.6.2 对偶原理对偶原理3.6.3*时变系统的对偶原理时变系统的对偶原理 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1 单输入系统的能控标准型如果系统是状态完全能控的，即满足：对于一般的 维定常系统：1能控标准 型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成：(4)其中(5)(2)(3)使其状态空间表达式使其状态空间表达式(1)化成：化成：(4)其中其中(5)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准 型。其中 ，为特征多项式：的各项系数。称形如式称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准的状态空间表达式为能控标准 型型EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy若线性定常单输入系统：2.能控标准 型(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)若线性定常单输入系统：若线性定常单输入系统：2.能控标准能控标准 型型(6)相应的状相应的状EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy(10)(11)并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 型。式(9)中的 是系统特征多项式：的各项系数，亦即系统的不变量。式(11)中的是 相乘的结果，即：(12)例例3-123-12；3-133-13(10)(11)并称形如式并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准的状态空间表达式为能控标准 EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1能观标准 型 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标准 型，它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。3.7.2 单输出系统的能观标准型单输出系统的能观标准型 与变换为能控与变换为能控EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。使其状态空间表达式使其状态空间表达式(13)化成：化成：(15)其中其中(16)(17)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy取变换阵 ：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：首先构造 的对偶系统 然后写出对偶系统 的能控标准 型，的状态空间表达式的能观标准 型即是 的能控标准 型，即(19)取变换阵取变换阵 ：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy的能观标准I型对应的系数阵；2能观标准 型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换 式中，为系统 的能控标准II型对应的系数阵；(21)的对偶系统 的能控标准 型对应的系数阵。为系统为系统的能观标准的能观标准I型对应的系数阵；型对应的系数阵；EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy使其状态空间表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。例例3-143-14使其状态空间表达式使其状态空间表达式(20)变换为：变换为：(22)其中其中(23)(2EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.8 线性系统的结构分解3.8.1 按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：(2)不完全能控能观的系统，其状态空间中所有能控、能观状态构成的能控子空间、能控子空间、能观子空间。能观子空间。其余为不能控、不能观子空间。3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解3.8.1 按能控性分解设线按能控性分解设线EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)将状态空间表达式将状态空间表达式(1)变换为：变换为：(3)其中其中(4)(5)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：是能控的，而 维子系统：是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 维子系统，便可得到一个低维的能控系统。(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy至于非奇异变换阵：(7)其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 是能控性矩阵M中的 个线性无关的列，另外的 个列 在确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。例例3-153-15至于非奇异变换阵：至于非奇异变换阵：(7)其中其中 个列矢量可以按个列矢量可以按EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.8.2 按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩(8)则存在非奇异变换：(9)3.8.2 按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy将状态空间表达式(8)变换为：(10)其中(11)(12)(13)将状态空间表达式将状态空间表达式(8)变换为：变换为：(10)其中其中(11)(12)(EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy可见，经上述变换后系统分解为能观的 ，维子系统：结构图如下。显然，若不考虑 维不能观测的子系统，便得到一个 。维的能观系统。和不能观的 ，维子系统：可见，经上述变换后系统分解为能观的可见，经上述变换后系统分解为能观的 ，维子系统：结构图，维子系统：结构图EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy非奇异变换阵 是这样构成的，取(14)例例3-163-16非奇异变换阵非奇异变换阵 是这样构成的，取是这样构成的，取(14)例例3-16EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.8.3 按能控性和能观性进行分解 1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。系统系统状态变量状态变量可控可控不可控不可控可观可观不可观不可观可观可观不可观不可观可控可观可控可观可控不可观可控不可观不可控可观不可控可观不可控不可观不可控不可观3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解 1)如如EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 2)变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。2)变换矩阵变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对确定之后只需经讨一次变换便可对EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy 3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。（系统的标准分解（系统的标准分解步骤）步骤）假设系统假设系统不完全能控也不完全能观不完全能控也不完全能观能控性分解能控性分解能控子系统能观性分解能控子系统能观性分解不能控子系统能观性分解不能控子系统能观性分解例例3-173-17 3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.9 传递函数阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概念对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式：则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。W(s)应满足两个物理可实现条件：各元素系数全为实数，且为严格有理真分式。各元素系数全为实数，且为严格有理真分式。使之成立3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现(1)3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函3.9 传递函数阵的实现问题传递函数阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概实现问题的基本概EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，为 维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。(2)对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：(3)数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy(4)(5)与此类推，其能观标准型实现为：(6)(7)(8)式中，和 。为 阶零矩阵和单位矩阵；为输入矢量的维数。例例3-183-18(4)(5)与此类推，其能观标准型实现为：与此类推，其能观标准型实现为：(6)(7)(8)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不存在其它实现：(9)(10)使 的维数小于 的维数，则称式(9)的实现为最小实现。2.寻求最小实现的步骤传递函数阵W(s)的一个实现：3.9.3最小实现最小实现1.最小实现的定义传递函数最小实现的定义传递函数W(s)的一个实的一个实EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy为最小实现的充分必要条件是(A，B，C)既是能控的又是能观的：这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。2)对上面初选的实现 (A，B，C )，找出其完全能控且完全能观部分 ，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。例例3-193-19；3-203-20为最小实现的充分必要条件是为最小实现的充分必要条件是(A，B，C)既是能控的又是能观既是能控的又是能观EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgyEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输人单输出系统要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输人多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。对于一个单输入单输出系统(A，b，c)欲使其是能控并能观的充分必要条件是传递函数的分子分母问没有零极点对消。(1)(2)本章完本章完3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关