现代控制理论课件第四讲

现代控制理论 Modern Control Theory.1-5 状态向量的线性变换（坐标变换）.补充内容：称为n阶单位矩阵。.一、系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性 前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的 电路），因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。.设线性常定系统的状态空间表达为令则.例：设系统的状态空间表达式为：取变换矩阵 则.取变换矩阵 则.二、系统特征值的不变性及系统的不变量1、系统特征值系统系统的特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程：的根。.2、系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变换后，得其特征方程为：可以证明变换前后系统的 特征值是不变的。即证明：.v称特征多项式的系数为系统的不变量。.3、特征矢量 .三、状态空间表达式变换为约旦标准型 .无重根时：.有重根时：.1、A阵为任意形式的方阵（1）有n个互异的实数特征根 变换矩阵 由A阵的特征矢量 组成。特征矢量 满足：.即把A阵化为对角阵。.例：化为对角阵。解：解：.得：互异必存在非奇异变换阵 ，把A化成对角阵.得：取：.同理可取：则：.则.（2）设A阵具有q 个重实数特征值 ，其余为（n-q）个互异的实数特征值，.设描述系统输入输出关系的微分方程是：1.若选状态变量为 2.若重选一组状态变量使得试列写系统在，试列写该系统的状态方程。坐标系中的状态方程。解：（1）略（2）由于新旧状态变量间的关系是坐标变换阵.，系统在新坐标系内的状态方程为：.