环路定理电位课件

1.3 静电场的环路定理静电场的环路定理.电位电位 一一.静电力作功的特点静电力作功的特点移动移动 实验点电荷实验点电荷qt，(L)(L)电场力作功：电场力作功：就要研究就要研究(L)的特点：的特点：要搞清静电力作功的规律，要搞清静电力作功的规律，（circuital theorem of electrostatic field）dlqtP1P2EL7/7/202411、在点电荷、在点电荷q 的电场中移动的电场中移动 qt，由由 P1 点点P2 点过点过 程中电场力作功：程中电场力作功：2、在点电荷系、在点电荷系q1,q2,的电场中移动的电场中移动 qt，电场力作功：电场力作功：3、对连续带电体有同样结论。、对连续带电体有同样结论。（分三步说明）（分三步说明）7/7/20242 对对点电荷：点电荷：只与只与P1、P2位置有关，位置有关，(L)(L)而与而与L无关。无关。P1P2qtdlErq7/7/20243 对点电荷系：对点电荷系：P1P2q0dlEiriqiq2q1ri1ri 2(L)(L)(L)只与只与P1、P2位置有关，而与位置有关，而与L无关。无关。7/7/20244 对任意有限大的带电体产生的电场对任意有限大的带电体产生的电场可以将带电体无限分割成微元，每一可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷个微元均为一点电荷 点电荷组点电荷组只与只与P1、P2位置有关，而与位置有关，而与L无关。无关。7/7/20245结结论论：在在任任何何电电场场中中移移动动试试体体电电荷荷时时，电电场场力力所所做做的的功功除除了了与与电电场场本本身身有有关关外外，只只与与试试体体电电荷荷的的大大小小及及其其起起点点、终终点点有有关关，与与移移动动电电荷荷所所走走过过的的路路径径无无关关.静电场力做功与路径无关！静电场力做功与路径无关！L1L2P2P1 (L1)(L2)(L2)7/7/20246二二.环路定理环路定理（circuital theorem）L1L2P2P1 静电场的静电场的 环路定理环路定理称为静电场的称为静电场的“环流环流”（circulation）。）。静电场中，电场强度沿任意闭合环路的有静电场中，电场强度沿任意闭合环路的有向曲线积分恒等于向曲线积分恒等于0适用范围：由能量守恒原理得来，无其他任何条件限制，适用范围：由能量守恒原理得来，无其他任何条件限制，环路定理适用于源电荷及电介质作任何分布情况的静电场；环路定理适用于源电荷及电介质作任何分布情况的静电场；7/7/20247 静电场的环路定理说明静电场的环路定理说明静电场为保守场，静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。静电场的电场线不能闭合。至至此此，可可以以从从静静电电场场的的两两个个积积分分形形式式的的定定理理得得出出结结论：静电场是有源场、无旋场。论：静电场是有源场、无旋场。由斯托克斯定理，得由斯托克斯定理，得哪两个？哪两个？7/7/20248三、三、电压电压 电位电位1.电压电压（电势差，电位差）（电势差，电位差）定义定义P1对对P2的的电压电压（P1、P2两点之间的电位差）：两点之间的电位差）：U12为移动单位正电荷由为移动单位正电荷由P1P2电场力作的功。电场力作的功。与路径无关。与路径无关。可引入电压的概念。可引入电压的概念。7/7/2024112.电位电位（electric potential），电势），电势则任一点则任一点P1处电势为：处电势为：设设P0为电势参考点，即为电势参考点，即U0=0，参考点又称为零电位点。参考点又称为零电位点。1)某点的电位等于把单位正电荷从该点移到电位某点的电位等于把单位正电荷从该点移到电位零点电场力作的功；零点电场力作的功；2)电位是空间点的坐标函数，是标量；电位是空间点的坐标函数，是标量；3)电位是描述电场能量性质的物理量，与试验电电位是描述电场能量性质的物理量，与试验电荷无关；荷无关；说明：说明：7/7/2024124 4）参考点一经确定，空间中任意点都有一个确定的电位值；）参考点一经确定，空间中任意点都有一个确定的电位值；电位是单值函数。电位是单值函数。5 5）参考点选取不同，所得的电位相差一个常数；但两点之）参考点选取不同，所得的电位相差一个常数；但两点之间的电位差，其大小不随参考点变化。间的电位差，其大小不随参考点变化。P0选择有任意性，选择有任意性，习惯上习惯上如下选取电势零点。如下选取电势零点。理论中：理论中：对有限电荷分布，选对有限电荷分布，选 =0。实际中：实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。选大地或机壳、公共线为电势零点。参考点的选取参考点的选取：同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。7/7/202413 外力将单位正电荷是由无穷远处移到外力将单位正电荷是由无穷远处移到A A点，则点，则A A点和点和 无穷远处的电位差称为无穷远处的电位差称为A A点的电位。点的电位。为电荷源到A点的距离。以无穷远处为零电位参考点：以无穷远处为零电位参考点：电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。7/7/2024141）点电荷）点电荷利用电位定义可以求得如下结果：利用电位定义可以求得如下结果：Ur0q 0电位的计算电位的计算：多个点电荷的电位计算：多个点电荷的电位计算：其中：其中：为第为第i个电荷源到个电荷源到A A点的距离。点的距离。注意：注意：电势零点电势零点P0必须是共同的。必须是共同的。7/7/2024152 2）.连续分布的电荷源的电连续分布的电荷源的电位计算位计算线电荷分布：线电荷分布：面电荷分布：面电荷分布：体电荷分布：体电荷分布：例例 计算无限长均匀带电直线电场的电位分布。计算无限长均匀带电直线电场的电位分布。7/7/202417 解解 无无限限长长直直线线如如图图放放置置，电电荷荷线线密密度度为为。计计算算在在x轴轴上上距距直直线为线为r的任一点的任一点P处电位。处电位。无限长带电直线的电荷分布延无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远，这种情况下不能用伸到无限远，这种情况下不能用连续分布电荷的电位公式计算电连续分布电荷的电位公式计算电位位，否则必得出无限大的结果，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能显然是没有意义的。同样也不能直接用点电荷电位公式来计算电直接用点电荷电位公式来计算电位，不然也将得出电场任一点的位，不然也将得出电场任一点的电位值为无限大的结果。电位值为无限大的结果。yrOPP1xr1例例 计算无限长均匀带电直线电场的电位分布。计算无限长均匀带电直线电场的电位分布。7/7/202418为了能求得为了能求得P点的电位，可先应用电位差和场强的关系式，点的电位，可先应用电位差和场强的关系式，求出在轴上求出在轴上P点和点和P1点的电位差。无限长均匀带电直线在点的电位差。无限长均匀带电直线在x轴轴上的场强为上的场强为过过P点沿点沿x轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1的电位差的电位差 由由于于ln1=0，所所以以本本题题中中若若选选离离直直线线为为r1=1m处处作作为为电电位位零零点，则很方便地可得点，则很方便地可得P点点的电位为的电位为 7/7/202419由由上上式式可可知知，在在r1m处处,VP为为负负值值；在在r 0r0 7/7/2024203.3.电场强度电场强度 与电位与电位 之间的关之间的关系系电位的梯度电位的梯度 在静电场中可通过求解电位函数在静电场中可通过求解电位函数(PotentialPotential)，再利再利用上式可方便地求得电场强度用上式可方便地求得电场强度 。式中负号表示电场强度。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。的方向从高电位指向低电位。1 1）电位梯度的引出）电位梯度的引出根据矢量恒等式7/7/202421图 把把单位正点位正点电荷从荷从点点A A沿沿l搬至点搬至点P P 电位位为一空一空间点坐点坐标的函数，在直角坐的函数，在直角坐标系中表系中表为 。现若将点若将点A A沿沿x x方向，移方向，移动单位正点位正点电荷，行荷，行经距离距离xx至点至点P P，则有有 2 2）.推导推导即即7/7/202423选选l l方向分布方向分布为为直角坐直角坐标轴标轴x x，y y，z z的方向，的方向，则则场中任意一点中任意一点A A的的电场强强度度 记记 称之称之为函数函数 的梯度。的梯度。梯度的方向是梯度的方向是标量函数量函数增加率最大的方向。增加率最大的方向。电场强强度亦可以用度亦可以用电位梯度表示位梯度表示7/7/202424高高电电势势低低电电势势方向方向 与与 相反，由相反，由高高电势处指向电势处指向低低电势处电势处大小大小7/7/202425 电场中某点的场强沿任一方向的分量等于电场中某点的场强沿任一方向的分量等于该点的电位沿该方向的方向导数的负值。该点的电位沿该方向的方向导数的负值。矢量微分算符矢量微分算符 直角坐标系表示直角坐标系表示 电位梯度电位梯度 方向：方向：沿电势变化最快的方向沿电势变化最快的方向 大小：大小：7/7/202426第二种证明方式（数学）第二种证明方式（数学）:已知电荷分布，求电位：已知电荷分布，求电位：（以点电荷为例）（以点电荷为例）7/7/2024273).3).梯度的物理意义：梯度的物理意义：空空间任意一点的任意一点的电场强强度，等于度，等于该点点电位位(函数函数)梯度的梯度的负值。电场强强度度 的方向的方向总是由高是由高电位指向位指向低低电位，而位，而电位梯度的方向位梯度的方向则是和是和电位函数增加率位函数增加率最快的方向一致，它最快的方向一致，它总的方向是由低的方向是由低电位指向高位指向高电位，亦即指向位，亦即指向电位升高的方向，故两者恰好反向，位升高的方向，故两者恰好反向，因而在表达式上相差一因而在表达式上相差一负号号。在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E E的方向总是沿着电位减少的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。7/7/202428 与与 的微分关系的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E E的方向总是沿着电位的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：与与 的积分关系的积分关系设设 为参考点为参考点图图 与与 的积分关系的积分关系7/7/202429四、等位面四、等位面（电位图示法）（电位图示法）空间空间电位相等的点电位相等的点连接起来所形成的面称为等位面连接起来所形成的面称为等位面.为了描述空间电势的分布，规定任意两为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻相邻等位面间等位面间的的电位差相等电位差相等 在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度E 总是与等势面垂直的，即电场线是总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面正交的曲线簇和等势面正交的曲线簇.dl是等位面上的线元是等位面上的线元在直角坐标系中，等位面的微分方程：在直角坐标系中，等位面的微分方程：7/7/202430 按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小势面的疏密程度同样可以表示场强的大小点点点点电电电电荷荷荷荷的的的的等等等等势势势势面面面面性质性质1：等势面与电力线处处正交：等势面与电力线处处正交7/7/202431性质性质2：等势面密集处场强大，稀疏处场强小：等势面密集处场强大，稀疏处场强小因为相邻等势面电势差为一定值，所以有因为相邻等势面电势差为一定值，所以有半径之差半径之差r2定值定值证明：证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为其电势为7/7/202432+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面 某些等势面：某些等势面：7/7/202433两个等量的正电荷的电场线和等势面两个等量的正电荷的电场线和等势面7/7/202434点电荷的电场线与等势面点电荷的电场线与等势面7/7/202435电力线与等位线（面）的性质：线不能相交;线起始于正电荷，终止于负电荷;线愈密处，场强愈大;线与等位线（面）正交；图1.2.5 点电荷与接地导体的电场图1.2.4 点电荷与不接地导体的电场7/7/202436结论：空间两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路径无关。例：计算原点处一点电荷q 产生的电场中AP之间的电位差。解：选取求坐标系，点电荷q 产生的电场所以：o7/7/202437例例 计算半径为计算半径为R，总电荷量为总电荷量为q的均匀带电球面电场中的的均匀带电球面电场中的电位分布。电位分布。ORq 解解 用两种方法来求解。用两种方法来求解。（1）用用电电位位与与场场强强的的积积分分关关系系式式求求解解，已已知知均均匀匀带带电电球球面面在空间激发的场强沿半径方向，其大小为在空间激发的场强沿半径方向，其大小为并沿半径方向积分，则并沿半径方向积分，则P点的电位为点的电位为当当rR时时7/7/202438当当rR7/7/202440PrlR d 当当P点在球内点在球内r 0UqR7/7/202442讨论：讨论：在真空中在真空中,有一电荷为有一电荷为Q,半径为半径为R的均匀带的均匀带电球电球壳壳,其电荷是面分布的其电荷是面分布的.试求试求 (1)球壳外两点间的电位差球壳外两点间的电位差;(2)球壳内两点间的电位差球壳内两点间的电位差;(3)球壳外任意点的电位球壳外任意点的电位;(4)球壳内任意两点的电位球壳内任意两点的电位.OerRABdrrArrBr(a)ORrBA dr(b)7/7/202443解解 (1)均匀带电球壳外一点的场强为均匀带电球壳外一点的场强为OerRABdrrArrBr(a)上式表明上式表明,均匀带电球壳外两点的电位差均匀带电球壳外两点的电位差,与球上与球上电荷全部集中于球心时电荷全部集中于球心时,两点的电位差是一样的两点的电位差是一样的.7/7/202444(2)均匀带电球壳内部任意两点均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为的电场强度为E=0球壳内部任意两点的电位差为球壳内部任意两点的电位差为表明表明,带电球壳内各点的电位均为一等势体带电球壳内各点的电位均为一等势体.ORrBAdr(b)7/7/202445(3)若取若取rB=+时时,V =0,表明表明,均匀均匀 带电球壳外一点的电位与球上电荷集中于球心一带电球壳外一点的电位与球上电荷集中于球心一点的电位是一样的点的电位是一样的.均匀带电球壳外一点电位为均匀带电球壳外一点电位为7/7/202446(4)由于带电球壳为一等势体由于带电球壳为一等势体,故球壳内各处的电位与球故球壳内各处的电位与球壳表面的电位相等壳表面的电位相等,球壳表面的电位为球壳表面的电位为所以球壳内各处的电位所以球壳内各处的电位Vm为为由由(3)和和(4)可得均匀带电球壳内、可得均匀带电球壳内、外电位分布曲线如图所示外电位分布曲线如图所示.VOR2 2R3 3Rr7/7/202447解解:如图如图(a)所示建立坐标系。在环上取一电荷元所示建立坐标系。在环上取一电荷元dq，其电其电荷线密度为荷线密度为，故有，故有例例 求均匀带电圆环轴线上一点的电位（电量求均匀带电圆环轴线上一点的电位（电量q，半径半径R）dlyzxxRO Pr(a)7/7/202448点电荷的电位点电荷的电位VxO(b)叠加叠加7/7/202449例：求半径为例：求半径为R的均匀带电圆盘的均匀带电圆盘Q轴线上一点的电位轴线上一点的电位 解解 （1）园环）园环叠加法：叠加法：取微元细园环取微元细园环 rr+drxRdqrPx0QP13，例题1-67/7/202450(2)小扇形叠加法：取微元小扇形小扇形叠加法：取微元小扇形QxRdqrPxOd 7/7/202451例：真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1,带电荷q1，外壳的半径为R2，壳厚R2，带电荷q2，求场中各处的电场强度及电位。与课后题1-8，1-9相类似7/7/202452思考：思考：均匀带电球均匀带电球体体。求：。求：1)球体外两点的电位差；球体外两点的电位差；2)球体内两球体内两点的电位差；点的电位差；3)球体外任意点的电位；球体外任意点的电位；4)球体内任意点的电位。球体内任意点的电位。解：解：1)球体外两点的电位差球体外两点的电位差7/7/2024533）球体外任意点的电位球体外任意点的电位 2)球体内两点的电位差；球体内两点的电位差；7/7/2024544)球体内任意点的电位：球体内任意点的电位：球表面球表面令令球心处电位：球心处电位：7/7/202455电场强度和电势电场强度和电势已知场强已知场强 可求电势可求电势已知电势已知电势 可否求场强？可否求场强？7/7/202456例例8-7 用电场强度与电位的关系用电场强度与电位的关系,求半径为求半径为R的的均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度.dlyzxxRO Pr(a)7/7/202457解解:我们已求得在我们已求得在x轴上点轴上点P的电位为的电位为P点点的电场强度为的电场强度为7/7/202458例例8-16 将半径为将半径为R2的圆盘，在盘心处挖的圆盘，在盘心处挖去半径去半径R1的小孔，并使盘均匀带电，电荷的小孔，并使盘均匀带电，电荷面密度为面密度为。试用电位梯度求场强的方法，试用电位梯度求场强的方法，计算这个中空带电圆盘轴线上任一点计算这个中空带电圆盘轴线上任一点P处处的场强。的场强。xPExR2R1rdrx7/7/202459它在它在P点的电位为点的电位为解解:方方法法一一，在在圆圆盘盘上上取取半半径径为为r宽宽度度为为dr的的圆圆环，环上所带电荷量为环，环上所带电荷量为整个中空整个中空带电圆盘带电圆盘在在P点的电点的电位为位为7/7/202460由由于于电电荷荷相相对对x轴轴对对称称分分布布，故故x轴轴上上任任一一点点的的场场强强方方向向必沿必沿x轴，其值为轴，其值为7/7/202461方法二：利用均匀带电园盘在中心轴线上的电位结果，方法二：利用均匀带电园盘在中心轴线上的电位结果，整个系统可看作是一个大园盘（整个系统可看作是一个大园盘（），和一个小），和一个小园盘（园盘（）的组合。）的组合。方法三：利用小扇形点电荷的电位公式和叠加原理求出方法三：利用小扇形点电荷的电位公式和叠加原理求出轴线上的电位？轴线上的电位？7/7/202462小结：小结：求一点电位要已知这点到无穷远的场强求一点电位要已知这点到无穷远的场强分布；分布；电位叠加要先求各带电体单独存在时的电位叠加要先求各带电体单独存在时的电位，然后再叠加；电位，然后再叠加；电位是标量，叠加是标量叠加，比场强电位是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易叠加容易 7/7/2024631-5答答：（：（1）不正确。电位处处相等，但电位的梯度并不一定）不正确。电位处处相等，但电位的梯度并不一定处处相等，电场强度是由电位的负梯度决定的。例如，等量异处处相等，电场强度是由电位的负梯度决定的。例如，等量异号电荷连线的中垂面。号电荷连线的中垂面。（2）不正确。电位的大小受参考点的影响。某一点的电位为）不正确。电位的大小受参考点的影响。某一点的电位为零说明他与参考点间的电位差为零，并不说明该点处电位负梯零说明他与参考点间的电位差为零，并不说明该点处电位负梯度为零。度为零。（3）不正确。电场强度等于电位的负梯度，与电位的变化率）不正确。电场强度等于电位的负梯度，与电位的变化率有关与电位的具体大小没有直接关系。有关与电位的具体大小没有直接关系。7/7/202464