测量学第6章测量误差课件

测量学讲义清华大学土木工程系,地球空间信息研究所第六章第六章 测量误差及数据处理测量误差及数据处理的基本知识的基本知识 第六章第六章 测量误差及数据处理的基本知识测量误差及数据处理的基本知识u测量误差概述u偶然误差特性u衡量精度的标准u误差传播定律u等精度观测值的数据处理u不同精度观测值的数据处理u点位误差的概念u应用举例 1.测量误差定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称真值真值。对该量进行观测得到观测值观测值。观测值与真值之差，称为真误差真误差。一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源 =l -X真误差观测值真值真误差观测值真值 6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述2.误差来源误差来源l仪器原因l观测人员的原因l外界环境影响=观测者、测量仪器和外界条件称为观测条件。3.观测值的分类观测值的分类l同精度观测值和不同精度观测值l直接观测值和间接观测值l独立观测值和非独立观测值4.误差分类误差分类l粗差粗差 由于测量人员不正确的操作仪器，以及在观测、记录或计算中的粗心大意造成的误差 处理方法：遵守测量规范；多余观测、及时检核；认真负责l系统误差系统误差 在一定的观测条件下，数值和正负符号固定不变，或按某一固定规律变化的误差。系统误差的大小说明了测量结果偏离真值的大小，决定了观测值的正确性。处理方法：(1)计算的方法（模型）进行改正 (2)用一定的观测方法加以消除或减弱（如前后视距相等)(3)检校仪器，将系统误差限制在允许范围内二、研究目的二、研究目的(1)解决观测值之间的矛盾(2)求取最可靠值（最或是值）(3)衡量精度（结果的可靠性）三、研究误差的出发点或原则：三、研究误差的出发点或原则：（1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度的测量误差（2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将误差限制在与测量目的相适应的范围内（3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求得未知量的最合理最可靠的结果l偶然误差偶然误差 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 偶然误差决定了观测结果的精密度；研究测量误差主要是针对偶然误差而言一、偶然误差的四个特性一、偶然误差的四个特性举例举例：abci=ai+bi+ci-180（i=1,2,358）将观测得到的将观测得到的358个误差，取区间个误差，取区间d为为 ，按数值大小及符号进行排列，统计结果列表按数值大小及符号进行排列，统计结果列表 6.2 6.2 偶然误差特性偶然误差特性结论结论1.有界性：在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.离散性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相等；4.抵偿性：偶然误差的算术平均值趋近于零，即二、误差概率分布曲线二、误差概率分布曲线+knd(频率频率/组距组距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(频率频率)直方图直方图偶然误差的频率直方图和偶然误差曲线n偶然误差曲线偶然误差曲线+y=f()ydp(i)=f(i)di概率概率l偶然误差分布符合正态分布理偶然误差分布符合正态分布理论，其四个特性一致论，其四个特性一致三、分析标准差三、分析标准差1.与观测误差与观测误差及偶然误差概率密度及偶然误差概率密度f()的关系的关系愈小愈小 ，f()愈大，愈大，=0，愈大愈大 ，f()愈小，愈小，=，f()0即横轴是曲线的渐近线即横轴是曲线的渐近线2.与误差分布曲线拐点的关系与误差分布曲线拐点的关系3.标准差标准差 的概率值的概率值P（）4.标准差标准差 的大小与误差分布曲线的形态关系的大小与误差分布曲线的形态关系f()1 2精度高精度低一、用绝对误差来衡量精度一、用绝对误差来衡量精度1.方差和中误差方差和中误差方差方差观测误差平方总和i=liXi方差和标准差的关系方差和标准差的关系6.3 6.3 衡量精度的标准衡量精度的标准n标准差标准差的计算公式的计算公式n中误差的估算值（用中误差的估算值（用m表示）表示）的计算公式的计算公式n应用中误差公式衡量精度的计算实例应用中误差公式衡量精度的计算实例例：对同一三角形，在同精度条件下两个同学进行例：对同一三角形，在同精度条件下两个同学进行 观测，每次闭合差（观测，每次闭合差（i=ai+bi+ci-180）分别为：分别为：甲同学（甲同学（i）：）：+3-2-4+2 0+4+3+2-3-1乙同学（乙同学（i）：0 -1-7+2+1-3 0+3+1+1同理计算得：同理计算得：m乙乙=3.6 m甲甲m乙乙 甲同学的观测精度高于乙同学的观测精度甲同学的观测精度高于乙同学的观测精度2.平均误差平均误差左式是平均误差与中误差的理论关系式，由此式可以看到，不同大小的，对应着不同的，也就对应着不同的误差分布曲线。因此，也可以用平均误差作为衡量精度的指标。定义：估值：估值：3.极限误差（容许误差）极限误差（容许误差）m容许容许 =3m 2m 中误差中误差nm容许容许 的概率含义的概率含义 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小。按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（-，+），（-2，+3）和（-3，+3）的概率分别为n在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应舍去不用。可以认为它是错误，相应的观测值应舍去不用。nm容许容许 的定义的定义二、用相对误差来衡量精度二、用相对误差来衡量精度举例：举例：量测距离100m和200m，分别都量测6次，算得 量测值中误差均为：m=0.01m，求各段量测 值的中误差。m100m200量测量测200米的精度高于量测米的精度高于量测100的精度的精度一、倍乘一、倍乘二、和或差二、和或差三、一般函数三、一般函数中误差中误差的定义的定义6.4 6.4 误差传播定律误差传播定律 四、误差传播定律公式应用实例四、误差传播定律公式应用实例误差传播律公式应用实例误差传播律公式应用实例2一、求最可靠值（最或是值）一、求最可靠值（最或是值）最可靠值最可靠值观测次数观测次数观测值观测值l证明证明 1=l1X 2=l2X n=lnX 6.5 6.5 等精度直接观测值的最可靠值等精度直接观测值的最可靠值二、评定精度二、评定精度1.求观测值的中误差求观测值的中误差式中：式中：vi=li-x最或是值误差最或是值误差2.求最可靠值中误差求最可靠值中误差最或是值观测值白塞尔公式算术平均值的中误差要比观测值的中误差小 倍。因此进行多次观测取平均值是提高成果精度有效方法之一。在真值已知的情况下，所有n个观测值均为多余观测；在真值未知的情况下，有一个观测值是必要的，其余（n-1）个观测值是多余的一、权（用一、权（用 p 表示）表示）n权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值n权的特性权的特性 权愈大表示观测值愈可靠 权是相对数值，故单独一个值无意义 权始终取正号 权可以用一数乘除其意义不变6.6 6.6 不等精度直接观测值的最可靠值不等精度直接观测值的最可靠值n怎样定权怎样定权l取中误差定权取中误差定权l从实际出发从实际出发任意常数观测值中误差水准测量的线路长度水准测量的线路长度l测角取测回数测角取测回数测回数n单位权中误差：单位权中误差：权为1的观测值中误差二、求最可靠值（求最或是值）二、求最可靠值（求最或是值）n加权算术平均值加权算术平均值一组不同精度的观测值相应观测值的权加权算术平均值三、最可靠值（最或是值）的精度评定三、最可靠值（最或是值）的精度评定 vi=li-x加权平均值的中误差权为1的观测值中误差单位权中误差单位权中误差测回数最可靠值的中误差最可靠值的中误差举例举例在水准测量中，已知从三个已知高程点在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C出发，测得出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线点的三个高程观测值及各水准路线的长度，求的长度，求 E点高程的最可靠值及其中误差。点高程的最可靠值及其中误差。ABCS=4kmS=2kmS=2.5km解：解：HE=H已知高程已知高程+h实测高差实测高差1.E点高程的最可靠值点高程的最可靠值 2.E点高程的最可靠值的中误差点高程的最可靠值的中误差 l单位权中误差单位权中误差 l加权平均值中误差加权平均值中误差点位误差点位误差u点位真误差点位真误差点位误差点位误差u点位真误差的随机性点位真误差的随机性P点的最或然坐标 是由一组带有观测误差的观测值通过计算所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。随着观测值的不同，也将取得不同的数值。所以说点位真误差随观测值不同而变化，由于观测值误差具有随机性，点位真误差也具有随机性。点位误差点位误差u点位方差与点位中误差点位方差与点位中误差点位误差点位误差u点位方差与坐标系统的无关性点位方差与坐标系统的无关性点位误差点位误差u纵向误差纵向误差和和横向误差横向误差u点位方差（中误差）的局限性点位方差（中误差）的局限性点位中误差 可以用来评定待定点的点位精度，但是它只是表示点位的“平均精度”，却不能代表该点在某任意方向上的位差大小。在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小，为了便于求定待定点点位在任意方向上位差的大小，需要建立相应的数学模型（公式）来计算任意方向上的位差。直观形象的表达任意方向上位差的大小和分布情况，一般是通过绘制待定点的点位误差椭圆来实现的，通过误差椭圆也可以图解待定点在任意方向上的位差。相关的知识请参考武汉大学出版的误差理论与测量平差基础一书。解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误差；算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m 1515 。例：例：要求三角形最大闭合差m m 闭闭容容1515，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m闭=15,则 m闭=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：误差传播定律小结误差传播定律小结u第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式u第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)u第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作为自变量。如果观测值之间是相关的，则得到的结果将是不严格的。函数式：函数中误差：误差传播定律的应用一、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者，即仪器频率调制误差 d f、测定相位的误差d 以及气象测定误差影响折射率 d n。斜距测定的函数式对各个自变量求偏导数得到真误差关系式用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长短无关，称为“常误差 a”；第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，称为“比例误差 b”。因此,光电测距的误差估算式：上式常作为测距仪本身的精度指标，a 的单位为mm，b为百万分率，即每公里的毫米数(mm/km)。二、角度测量的精度 DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误差 m=6，水平角为两个方向观测值之差，故一测回水平角观测的中误差为：一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：以2倍中误差作为极限误差为34(一般规定40)多边形水平角观测角度闭合差的规定 多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：每个角度的测角中误差为m,则n个角度之和的中误差:以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差 例：设水平角观测的中误差m=18,则三角形的允许角度闭合差：三、水准测量的精度 水准测量高差测定的计算式 h=a-b,设用S3水准仪在水准尺读数的中误差m=1 mm，则一次测定高差的中误差：两次测定高差之差 h=h1-h2,则高差之差的中误差：以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为4 mm在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差：设水准线路长度为L,各测站前、后视平均长度为d,单位长度的高差测量中误差为m0,则：，L以公里为单位m0为每公里高差测量中误差水准路线高差测定的精度上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo作为精度指标：水准测量等级一等一等二等二等三等三等四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mm据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精度：四、坐标计算的精度 两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角,则可按下式计算其坐标增量：对观测值(自变量)D和求偏导数,得到函数式的全微分：按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式坐标增量的中误差:上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：课外阅读与作业课外阅读与作业u课外阅读课外阅读教材第6章u作业作业P126：1、8、10、13、16、19、22、23