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衍射和傅里叶光学基础衍射和傅里叶光学基础2/38现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。在电信理论电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。电信理论电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。傅里叶光学：傅里叶光学：3/38一门新的理论总是要完成下列几项任务：逻辑上自洽，也就是讲，自身要完整能够解释原有理论的可以解释的那些内容，并且得出相同的结论能够解释原有理论难以解释甚至无法解释的内容能够增添新的内容，得到新的结论，开拓新的领域，提出新的观点傅里叶光学与光学理论傅里叶光学与光学理论4/38傅里叶光学自身理论是完整的它可以解释几何光学的成像原理它可以合理完整的解释光的波动学说：干涉和衍射现象它可以得到传递函数、相衬理论、全息光学等新的现象和新的领域傅里叶光学与光学理论傅里叶光学与光学理论51.1.傅里叶变换的基本概念及运算傅里叶变换的基本概念及运算让我们先看看为什么会有傅立叶变换？让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)。Fourier对热对热传递很感兴趣，于传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家两位是历史上著名的数学家拉格朗日拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)和和拉普拉斯拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果。直到拉格朗于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果。直到拉格朗日死后日死后15年这个论文才被发表出来。年这个论文才被发表出来。Joseph Fourier（1768-1830）FourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedtheFourierseriesandtransformtomodelheat-flowproblems.谁是是对的呢？看从什么角度：的呢？看从什么角度：正弦曲正弦曲线无法无法组合成一个合成一个带有棱角的信号。拉格朗有棱角的信号。拉格朗日是日是对的。的。但是，我但是，我们可以用正弦曲可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，基于此，傅立叶是傅立叶是对的。的。78为什么我什么我们要用正弦曲要用正弦曲线来代替原来的曲来代替原来的曲线呢？呢？如我如我们也也还可以用方波或三角波来代替呀，分解可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是多的，但分解信号的目的是为了更加了更加简单地地处理原来的信号。用正余弦来表示理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加原信号会更加简单，因，因为正余弦正余弦拥有原信号所不有原信号所不具有的性具有的性质：正弦曲正弦曲线保真度保真度。一个正余弦曲。一个正余弦曲线信号信号输入后，入后，输出的仍是正余弦曲出的仍是正余弦曲线，只有幅度，只有幅度和相位可能和相位可能发生生变化，但是化，但是频率和波的形状仍是率和波的形状仍是一一样的。且只有正余弦曲的。且只有正余弦曲线才才拥有有这样的性的性质，正因如此我正因如此我们才不用方波或三角波来表示。才不用方波或三角波来表示。9101傅立叶级数的定义傅立叶级数的定义设设f(x)是周期为是周期为T0的周期函数，满足的周期函数，满足狄里赫利狄里赫利条件，条件，即：即：(1)、在区间在区间(-T0/2,T0/2)分段连续；分段连续；(2)、只存在有限个极值点；只存在有限个极值点；(3)、只存在有限个第一类间断点；只存在有限个第一类间断点；(4)、绝对可积，即：绝对可积，即：则则f(x)可以展开为傅立叶级数：可以展开为傅立叶级数：(1)称为称为傅立叶系数傅立叶系数(2)(3)(4)连续可积连续可积11令：则有：(5)(6)(7)可用cn来统一表示，称cn为复数形式的傅立叶系数复数形式的傅立叶系数。(8)于是 f(x)的傅立叶级数可以用复数形式表示为：亦可简称为傅立叶系数傅立叶系数。12傅立叶系数傅立叶系数cn：(9)函数函数f(x)的周期的周期T0的倒数，称作的倒数，称作f(x)的的基频基频，表示为：，表示为：f0=1/T0；而而fn=n/T0=nf0，称作称作f(x)的的谐频谐频，亦可简称为，亦可简称为频率频率。如果如果f(x)代表时间函数，则代表时间函数，则fn代表时间频率；代表时间频率；如果如果f(x)代表空间函数，则代表空间函数，则fn代表空间频率。代表空间频率。表明：表明：周期函数周期函数f(x)可以可以分解分解为一系列频率为为一系列频率为fn，复振幅为，复振幅为cn的谐波；的谐波；反之，若将各个谐波线性反之，若将各个谐波线性叠加叠加，则可以精确的综合出原函数，则可以精确的综合出原函数f(x)。(8)132频谱的概念频谱的概念一个周期变化的一个周期变化的 物理量物理量在在x域域(时间域或空间域时间域或空间域)内用内用f(x)来表示：来表示：(9)(8)而在而在fn域域(时间频率域或空间频率域时间频率域或空间频率域)内用内用cn来表示：来表示：由由于于cn表表示示频频率率为为fn的的谐谐波波成成分分的的复复振振幅幅，所所以以cn按按fn的分布图形称为的分布图形称为f(x)的的频谱频谱。因因为为一一般般cn是是复复数数，所所以以cn的的模模值值|cn|随随fn的的分分布布图图叫叫做做f(x)的的振振幅幅频频谱谱，而而cn的的幅幅角角随随fn的的分分布布图图叫叫做做f(x)的的位相频谱位相频谱。可见这两种表示是等效的。可见这两种表示是等效的。14150l-ll2lxf(x)锯齿波锯齿波将一个系统的输入函数将一个系统的输入函数f(x)展开为傅立叶级数，在频率域中展开为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为处理方法称为频谱分析方法频谱分析方法。为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。谱分析的方法。fnf5f4f3f2f1Ocn锯齿波的振幅频谱锯齿波的振幅频谱2.2.一维傅立叶变换的定义及其运算举例一维傅立叶变换的定义及其运算举例1617傅立叶变换和傅立叶逆变傅立叶变换和傅立叶逆变换换常常用运算符号表示：常常用运算符号表示：F()=Ff(x)(12)f(x)=F-1F()(13)设设f(x)是定义在实数域是定义在实数域x上的一维函数，若上的一维函数，若f(x)满足狄里赫利条满足狄里赫利条件，即件，即f(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间限个第一类间断点，并且在区间(-，)上绝对可积，则下述积分上绝对可积，则下述积分变换成立：变换成立：(10)(11)称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为的谐波成分。的谐波成分。表明：一个物理量既可以在域表明：一个物理量既可以在域x中用函数中用函数f(x)来表示，也可以通过傅来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域立叶变换，在频率域内用函数内用函数F()来描述。来描述。1一维傅立叶变换的定义：一维傅立叶变换的定义：称作函数称作函数f(x)的的傅立叶变换傅立叶变换称作称作傅立叶逆变换傅立叶逆变换182一维傅立叶变换的举例一维傅立叶变换的举例 例例1)、求矩形函数、求矩形函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。的傅立叶变换。在在物物理理光光学学中中，习习惯惯将将F()的的主主瓣瓣宽宽度度定定义义为为矩矩形形函函数数的的频频带带宽宽度度，由由图图2可可见见，rect(ax)的的频带宽度为频带宽度为2a。解：解：图图2 矩形函数及其频谱图矩形函数及其频谱图-3a-2a-aa2aO3a19例2)、sinc函数的傅立叶变换首先：于是根据定义，函数f(x)的傅立叶变换为：解：有：因为cos(x)/x是奇函数，sin(x)/x是偶函数，所以有：201/20-1/21/211/20-1/21/221例3)、负指数函数的傅立叶变换负指数函数的定义为：则它的傅立叶变换为：易见，F()是复函数。它的振幅为：Ox|F()|f(x)argF()相位为：22例4)、高斯函数的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换 Possion积分：可见，高斯函数具有自傅立叶变换的性质。解：xf(x)233.3.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 及有关定理及有关定理1 1线性线性2 2对称性对称性3 3迭次傅立叶变换迭次傅立叶变换4 4缩放性缩放性5 5平移性平移性6 6相移性相移性7 7面积对应公式面积对应公式8 8复共轭函数的傅立叶变换复共轭函数的傅立叶变换3.1 傅立叶傅立叶变换的性的性质 241线性线性设设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为为任任意意常常数数，则：则：F af(x)+bg(x)=aF()+bG()即即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合的线性组合，这表明傅立叶变换是线性变换，这表明傅立叶变换是线性变换。线性是什么意思？线性是什么意思？数学上是指一次方的函数关系。物理上指数学上是指一次方的函数关系。物理上指不变形不变形。2.4.1 傅立叶傅立叶变换的性的性质 252对称性对称性 若若F f(x)=F()，则，则F F(x)=f(-)3迭次傅立叶变换迭次傅立叶变换若若F f(x)=F()，则，则F F()=f(-x)264缩放性缩放性（相似性定理和尺度变换定理（相似性定理和尺度变换定理）F f(ax)=若若F f(x)=F()，a为不等于零的常数，则有：为不等于零的常数，则有：即即原原函函数数在在空空域域坐坐标标（x,y）的的“伸伸展展”（a，b 1时时），将将导导致致其其频频谱谱函函数数在在频频域域坐坐标标（fx,fy）中中的的“收收缩缩”，以以及及整整个个频频谱谱幅幅度度的的一一个个总总体体变变化化。且且其其收收缩缩和和展展宽宽的的因子相同。因子相同。275平移性平移性若若F f(x)=F()，x0为任意实常数，则有：为任意实常数，则有：F f(xx0)=exp(j2x0)F()即函数即函数f(x)在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，而不改变其振幅频谱。而不改变其振幅频谱。6相移性相移性若若F f(x)=F()，0为任意实常数，则有：为任意实常数，则有：F exp(j20 x)f(x)=F(0)即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。287面积对应公式面积对应公式8复共轭函数的傅立叶变换复共轭函数的傅立叶变换 若若F f(x)=F()，则有：，则有：F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*()若若F f(x)=F()，则有：，则有：F(0)等于等于f(x)曲线下的面积；曲线下的面积；f(0)则等于则等于F()的曲线下的面积。的曲线下的面积。两个面积相等。两个面积相等。对于二维傅立叶变换，对于二维傅立叶变换，面积面积当换成当换成体积体积。294.4.光波的傅里叶分析光波的傅里叶分析4.1 平面波基元函数分析方法平面波基元函数分析方法 按照傅里叶分析的观点按照傅里叶分析的观点:平面平面(x,y)(x,y)上一个任意的光场复上一个任意的光场复振幅分布振幅分布A(x,y)A(x,y)，可以表示为一系列空间频率为，可以表示为一系列空间频率为(fx,fy),(fx,fy),振幅密度为振幅密度为a(fx,fy)a(fx,fy)的简谐平面波的线性叠加，的简谐平面波的线性叠加，上述振幅密度函数上述振幅密度函数a(fx,fy)a(fx,fy)可通过可通过A(x,y)A(x,y)的二维傅里叶的二维傅里叶变换求出：变换求出：返回返回处理理线性系性系统常用方法：常用方法：线性系统的分析与综合：傅立叶分析一个复杂一个复杂输入输入分解分解多个简单多个简单“基元基元”输入输入计计算算每每个个“基基元元”输入的响应输入的响应总响应总响应叠加叠加傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！基元函数基元函数权重因子权重因子基元函数的意义：基元函数的意义：代代表表了了传传播播方方向向为为：cos fx，cos fy的的单单位位振振幅幅的的平面波。平面波。逆傅立叶变换的物理意义：逆傅立叶变换的物理意义：物函数物函数f(x,y)可看作是无数振可看作是无数振幅不同幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)方向不同方向不同（cos fx，cos fy）的平面波线性叠加的结果的平面波线性叠加的结果(傅立叶分解傅立叶分解)。基元函数基元函数权重因子权重因子逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。线性系统的基本特点：线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的它对同时作用的几个激励函数的响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。v系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。v基元函数基元函数:指不能指不能再分解的基本函数单元再分解的基本函数单元,且它们的且它们的响应是比较易于确响应是比较易于确定定的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：函数、复指数函数、函数、复指数函数、余弦函数余弦函数v线性系统对某种线性系统对某种“基元基元”激励的响应。激励的响应。34光波的傅立叶分析 1 1、实际光源光源发出的光波是复出的光波是复杂的，其的，其时间参量里包含各种参量里包含各种时间频率，其空率，其空间分布上很复分布上很复杂，其等相面具有复，其等相面具有复杂的形状。的形状。2、研究复研究复杂光波的有效方法是将它分解光波的有效方法是将它分解为一系列一系列简谐平面波的平面波的线性性组合，分析各个合，分析各个简谐平面波成分平面波成分传播播规律，最后律，最后综合出复合出复杂光波的光波的传播播规律。律。3、凡是符合傅立叶凡是符合傅立叶变换存在条件的一切复存在条件的一切复杂波，都可以用傅立波，都可以用傅立叶叶变换作作为分解的手段。分解的手段。4、对复复杂波分解的方法步波分解的方法步骤是：是：首先首先，将空，将空间各考察点各考察点处的振的振动分解分解为各种各种时间频的的简谐振振动的的线性性组合，即合，即时间域分解；域分解；然后然后，将每个，将每个简谐波分解波分解为一系列不同空一系列不同空间频率的平面波的率的平面波的线性性组合，即空合，即空间域分解。域分解。最后最后，将复，将复杂波表示波表示为一系列一系列简谐平面波的平面波的线性性组合。合。35(一一)、时间域分解、时间域分解 设设A(x,y,z,t)表示一个复杂波在考察点表示一个复杂波在考察点(x,y,z)处的振动函数，通过处的振动函数，通过时间域的傅立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱。时间域的傅立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱。(9)于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：(10)表明，复杂波表明，复杂波A(x,y,z,t)可以分解为一系列频率为可以分解为一系列频率为，振幅密，振幅密度为度为 的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。即：即：36(10)但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。设简谐波复振幅设简谐波复振幅 的空间频谱为的空间频谱为(11)(12)表明，复杂波表明，复杂波 被分解为一系列空间频率为被分解为一系列空间频率为(fx、fy、fz)，振幅密度为，振幅密度为 的简谐平面波的叠加。的简谐平面波的叠加。(二二)、空间域的分解、空间域的分解看作简谐波之一看作简谐波之一37三三个个空空间间频频率率分分量量(fx,fy,fz)并并不不独独立立，它它们们和和时间频率之间满足约束关系。时间频率之间满足约束关系。这样计算这样计算 的空间频谱的空间频谱 时只需进行二维时只需进行二维的傅立叶变换。的傅立叶变换。对复杂波进行空间分解时有两点必须注意：对复杂波进行空间分解时有两点必须注意：首先首先视作时间域简谐波视作时间域简谐波看作常数看作常数时间因子，可暂时不考虑时间因子，可暂时不考虑其次其次(13)如果已知复杂波在如果已知复杂波在(x,y)平面上的振幅分布平面上的振幅分布 时，只需求时，只需求出出 ，分解出各个空间频率为，分解出各个空间频率为(fx,fy)的平面波分量即可。的平面波分量即可。38A(x,y,z,t)综合上述两步时间和空间分解过程，可将复杂波表示为：综合上述两步时间和空间分解过程，可将复杂波表示为：(14)在在空间空间-时间域时间域描述波动描述波动在在空间空间-时间频率域时间频率域内描述波动行为内描述波动行为在在空间频率域空间频率域-时间频率域时间频率域内描述波动行为内描述波动行为被称做波函数被称做波函数A(x,y,z,t)在确定空间考在确定空间考察点察点(x,y,z)的的时间频谱函数时间频谱函数被称做波函数被称做波函数A(x,y,z,t)的的空间空间-时间频谱函数时间频谱函数能够描述同一个波动行为；能够描述同一个波动行为；三个函数，知道其中任何一个，便可以通过傅立叶变换或逆变换求三个函数，知道其中任何一个，便可以通过傅立叶变换或逆变换求出其它两个。出其它两个。39天才模仿天才模仿高效率高效率持久性持久性
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