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第第2节等差数列及其前节等差数列及其前n最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).知知 识识 梳梳 理理同一个常数2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.通项公式的推广：anam_(m，nN*).(2)等差数列的前n项和公式a1(n1)d(nm)d3.等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和.(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列.(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(4)数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).4.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值.md大小常用结论与微点提醒1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)诊诊 断断 自自 测测2.在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A.1 B.0C.1 D.6解析由等差数列的性质，得a62a4a22240.答案B3.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99C.98 D.97答案C4.在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.5.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案180考点一等差数列基本量的运算考点一等差数列基本量的运算(2)设an的公差为d，首项为a1，解得d4.答案(1)C(2)C规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，答案(1)B(2)30法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，(1)证明当n2时，由an2SnSn10，【迁移探究1】本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.解因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2).所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.(1)证明当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即SnSn12(SnSn1)0.当n1时，a12不适合上式，规律方法等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.考点三等差数列的性质及应用考点三等差数列的性质及应用【例3】(1)(2018贵阳质检)等差数列an的前n项和为Sn，且a3a916，则S11()A.88 B.48 C.96 D.176(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27(2)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.答案(1)A(2)B规律方法等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaq2ak.(2)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列.解析(1)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，(2)因为an，bn为等差数列，考点四等差数列前考点四等差数列前n项和及其最值项和及其最值【例4】(1)(一题多解)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8(2)设 数 列 an的 通 项 公 式 为 an 2n 10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案(1)C(2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】(1)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A.5 B.6 C.5或6 D.11(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.解析(1)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大.(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.答案(1)C(2)110p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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