离散数学第八章函数讲义课件

8.1函数的定义与性质定义定义8.18.1 设F为二元关系，若 xdomF都存在唯一的唯一的 yranF使xFy成立，则称F为函数函数。函数也可以称作映射映射。函数是一种特殊的二元关系函数是一种特殊的二元关系函数是一种特殊的二元关系函数是一种特殊的二元关系对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x的值。单值性单值性8.1函数的定义与性质定义8.1设F为二元关系，若x例例8.1设F1=,F2=,判断它们是否为函数。解：解：F1是函数，F2不是函数。因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2，与函数定义矛盾。F是函数（映射）是函数（映射）对于对于x1，x2 A，如果如果x1=x2，一定有，一定有f(x1)f(x2)。即，。即，如果对于如果对于x1，x2 A有有f(x1)f(x2)，则一定有，则一定有x1x2例8.1设F1=,x3函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等函数的相等定义定义8.2设F，G为函数，则由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：1domF=domG2xdomF=domG都有F(x)=G(x)F=GF=GFF GG GG FF函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等定义8.2设F例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为domF=x|xRx-1而domG=R。domFdomG。定定义8.3设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A，ranfB，则称f为从从A到到B的函数的函数，记作f：AB。例如f：NN，f(x)=2x是从N到N的函数，g：NN，g(x)=2也是从N到N的函数。例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-定义定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上上A”。符号化表示为BA=f|f：AB例例8.2设A=1,2,3，B=a,b，求BA。解：解：BA=f0,f1,f7，其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上例由排列组合的知识不难证明：若|A|=m，|B|=n，且m,n0,则|BA|=nm。当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=81.A=且B=，则BA=。3.A且B=，则BA=A=。2.A=且B，则BA=B=。由排列组合的知识不难证明：当A或B中至少有一个集合是空集时，定定义8.5设函数f：AB，A1A，B1B。(1)令f(A1)=f(x)|xA1，称f(A1)为A1在在f下的像下的像。特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像函数的像。(2)令f-1(B1)=x|xAf(x)B1，称f-1(B1)为B1在在f下的完全原像下的完全原像。注意区别注意区别:函数的值和像两个不同的概念。函数值函数值f(x)B，而像，而像f(A1)BA1与f-1(f(A1)的关系？f(A1)B一般说来一般说来f-1(f(A1)A1，但是，但是A1 f-1(f(A1)f-1(B1)A定义8.5设函数f：AB，A1A，B1B。(令A=0,1，B=2，求f(A)和f-1(B)f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2f-1(B)=f-1(2)=1,4例如函数f：1,2,30,1，满足f(1)=f(2)=0,f(3)=1令A1=1，那么有f-1(f(A1)=f-1(f(1)=f-1(0)=1,2这时A1 f-1(f(A1)。例例8.3设f：NN,且若x为偶数若x为奇数令A=0,1，B=2，求f(A)和f-1(B)f函数的性质函数的性质定义定义8.6设f：AB，(1)若ranf=B，则称f：AB是满射满射的。(2)若yranf都存在唯一的xA使得f(x)=y，则称f：AB是单射单射的。(3)若f：AB既是满射又是单射的，则称f：AB是双射双射的(或一一映像)。f：AB是满射的：对于任意的yB，都存在xA，使得f(x)=y。f：AB是单射的：对于x1，x2A，x1x2，一定有f(x1)f(x2)。即，如果对于x1，x2A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2函数的性质定义8.6设f：AB，(1)若ranf=例例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?(1)f：RR，f(x)=-x2+2x-1(2)f：Z+R，f(x)=lnx，Z+为正整数集(3)f：RZ，f(x)=x是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。f：Z+R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf=ln1，ln2，R。是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，(4)f：RR，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R(5)f：R+R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。当x0时，f(x)+；而当x+时，f(x)+。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。(4)f：RR，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因例例8.5对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：AB。如果是，说明f：AB是否为单射，满射，双射的，并根据要求进行计算。(1)A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,9,10,f=,能构成函数f：AB，但f：AB既不是单射也不是满射的。不能构成函数f：AB,因为f且f，与函数定义矛盾。(2)A,B同（1），f=,例8.5对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：(3)A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,9,10,f=,不能构成函数f：AB，因为domf=1,2,3,4A。(4)A=B=R,f(x)=x3(xR)能构成函数f：AB，且是双射的。能构成函数f：AB，但不是单射的，也不是满射的，因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是单调的，且ranf R+.(3)A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,9,(6)A=B=RR,f()=L=y|yRy=x+1,计算f(L).能构成函数f：AB，且f：AB是双射的.f(L)=|xR=R-1(7)A=NN,B=N,f()=|x2-y2|计算f(N0),f-1(0).能构成函数f：AB，但f：AB既不是单射也不是满射的。因为f()=f()=0,且2 ranf.f(N0)=n2|nN,f-1(0)=|nN.(6)A=B=RR,f()=x+y设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双射函数f：AB的条件。单射：单射：mn满射：满射：mn双射：双射：mn设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双例例8.6对于给定的集合A和B构造双射函数f：AB。(1)A=P(1,2,3)，B=0,11,2,3解解(1)A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。B=f0,f1,f7，其中f0=,，f1=,f2=,，f3=,f4=,，f5=,f6=,，f7=,。令f：AB，使得f()=f0，f(1)=f1，f(2)=f2，f(3)=f3，f(1,2)=f4，f(1,3)=f5，f(2,3)=f6，f(1,2,3)=f7例8.6对于给定的集合A和B构造双射函数f：AB。(2)A=0,1，B=1/4,1/2令f：0,11/4,1/2，f(x)=(x+1)/4.(3)A=Z，B=N将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：0-11-22-33N：0123456则这种对应所表示的函数是：f：ZN(2)A=0,1，B=1/4,1/2令f：0,(4)A=/2,3/2，B=-1,1f(x)=sinx(4)A=/2,3/2，B=-1,1f(x)=8.2 函数的复合与反函数 一函数的复合一函数的复合函数是一种特殊的二元关系，函数的复合函数的复合就是关系的右复合。一切和关系右复合有关的定理都是用于一切和关系右复合有关的定理都是用于函数的复合函数的复合。下面着重考虑函数在复合中特有的性质。定理定理8.1设F，G是函数，则FG也是函数，且满足（1）dom(FG)=x|xdomFF(x)domG（2）xdom(FG)有FG(x)=G(F(x)8.2函数的复合与反函数一函数的复合函数是一种证证:因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个xdom(FG)，有xFGy1和xFGy2，则FGFGt1(FG)t2(FG)t1t2(t1=t2GG(F为函数)y1=y2（G为函数）所以FG为函数。证:因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个xd任取x，xdom(FG)ty(FG)t(xdomFt=F(x)tdomG)xx|xdomFF(x)domG任取x，xdomFF(x)domGFGFGxdom(FG)FG(x)G(F(x)所以（1）和（2）得证。任取x，xdom(FG)ty(F推论推论1设F，G，H为函数，则（FG）H和F(GH)都是函数，且(FG)H=F(GH)推论推论2设f：AB，g：BC，则fg：AC，且xA都有fg(x)=g(f(x)。证证:由定理8.1可知fg是函数，且dom(fg)=x|xdomff(x)domg=x|xAf(x)B=Aran(fg)rangC因此由fg：AC，且xA有fg(x)=g(f(x)。推论1设F，G，H为函数，则（FG）H和(F定理定理8.2设f：AB，g：BC.（1）如果设f：AB，g：BC都是满射的，则fg：AC也是满射的。（2）如果设f：AB，g：BC都是单射的，则fg：AC也是单射的。（3）如果设f：AB，g：BC都是双射的，则fg：AC也是双射的。定理8.2设f：AB，g：BC.（1）如果设f：A证证:（1）任取cC，因为g：BC都是满射的,bB使得g(b)=c.对于这个b,由于f：AB也是满射的，所以aA使得f(a)=b.由定理8.1有fg(a)=g(f(a)=g(b)=c从而证明了fg：AC是满射的。证:（1）任取cC，因为g：BC都是满射的,$b(2)假设存在x1,x2A使得fg(x1)=fg(x2)由定理8.1有g(f(x1)=g(f(x2)因为g：BC是单射的，故f(x1)=f(x2)又由于f：AB是单射的，所以x1=x2从而证明了fg：AC是单射的。（3）由（1）和（2）得证。(2)假设存在x1,x2A使得fg(x1)=f说明函数的复合运算能够说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、保持函数的单射、满射、双射的性质双射的性质。该定理的逆命题成立吗？该定理的逆命题成立吗？单射考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,C=c1,c2,c3,令f=,g=,不是单射fg=,单射说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、该定理的逆命题成不是满射考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,C=c1,c2,令f=,g=,满射fg=,满射不是满射考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,定理定理8.3设f：AB,则有f=fIB=IAf证：证：由定理8.1的推论2可知fIB：AB和IAf：AB任取,ffyBfIBfIBfIBt(fIB)ft=yf所以有f=fIB，同理可证IAf=f定理8.3设f：AB,则有f=fIB=IAf二反函数二反函数任给函数F，它的逆F-1不一定是函数，只是一个二元关系。例如F=,则有F-1=,显然，F-1不是函数。因为对于y1domF-1有x1和x2两个值与之对应，破坏了函数的单值性。任给单射函数f：AB，则f-1是函数，且是从ranf到A的双射函数，但不一定是从B到A的双射函数。因为对于某些yBranf，f没有值与之对应。考虑函数的逆运算。domf-1=ranfB二反函数任给函数F，它的逆F-1不一定是函数，只是一个对于什么样的函数f：AB，它的逆f-1是从B到A的函数f-1：BA呢？定理定理8.4设设f：AB是双射的，则是双射的，则f-1：BA也是双射的。也是双射的。证证:先证明f-1是从B到A的函数f-1：BA.因为f是函数，所以f-1是关系，且由定理7.1得domf-1=ranf=Branf-1=domf=A对于任意的xB=domf-1，假设有y1，y2A使得f-1f-1成立，则有逆的定义有ff根据f的单射性可得y1=y2，从而证明了f-1是函数的。综上所述，f-1：BA是满射的函数。对于什么样的函数f：AB，它的逆f-1是从B到A的函数再证明f-1：BA的单射性。若存在x1，x2B使得f-1(x1)=f-1(x2)=y，从而有对于双射函数f：AB，称f-1：BA是它的反函数反函数。f-1f-1ffx1=x2（因为f是函数）再证明f-1：BA的单射性。若存在x1，x2B使得f-1定理定理8.5设f：AB是双射的，则f-1f=IB,ff-1=IA证证:由定理8.4可知f-1:BA也是双射的，再由定理8.1的推论2可知f-1f：BB,ff-1:AA任取,f-1ft(f-1f)x=yx,yBt(ff)f是函数IBf-1fIB定理8.5设f：AB是双射的，则f-1f=IB任取,IBx=yx,yBt(ff)x=yranft(f-1f)f-1f IBf-1f任取,IBx=yx,y 例例8.7设f:RRg:RR求fg,gf,如果f和g存在反函数，求出他们的反函数。解：fg：RR 例8.7设f:RRg:RRg f：RR 因为f:RR不是双射的，不存在反函数。而g:RR是双射的，他的反函数是g-1:RR,g-1(x)=x-2gf：RR因为f:RR不人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，离散数学第八章函数讲义课件