第二章波函数和薛定谔方程（量子力学）课件

第第 二二 章章 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程The wave function and Schrdinger Equation 1 第 二 章 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time independent Schrdinger equation 2.6 一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The transmission of potential barrier学学习内内 容容2 2.1 波函数的统计解释学习内容2 1.1.理解微观粒子运动状态的描述理解微观粒子运动状态的描述 波函数波函数及其统计解释。及其统计解释。2.2.通过对实验的分析通过对实验的分析,理解态叠加原理。理解态叠加原理。3.3.掌握微观粒子运动的动力学方程掌握微观粒子运动的动力学方程 波函波函数随时间演化的规律数随时间演化的规律 SchrSchrdingerdinger方程。方程。4.4.掌握定态及其性质。掌握定态及其性质。5.5.通过对通过对三个实例三个实例的讨论的讨论,掌握定态掌握定态SchrSchrdingerdinger方程的求解。方程的求解。学学 习习 要要 求求3 1.理解微观粒子运动状态的描述 波函数及其统计微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用经典坐标、速度、加速度等物理量来描述，也不用经典坐标、速度、加速度等物理量来描述，也不能用经典波函数来描述。能用经典波函数来描述。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释1 1微观粒子状态的描述微观粒子状态的描述自由粒子的状态可用其对自由粒子的状态可用其对应的应的德布罗意波函数表示：德布罗意波函数表示：一般粒子的状态也可用其对一般粒子的状态也可用其对应的应的德布罗意波函数表示：德布罗意波函数表示：关键问题：关键问题：描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？波波函函数数：微微观观粒粒子子具具有有波波粒粒二二象象性性，每每一一粒粒子子都都有有一一对对应应的的德德布布罗罗意意波波函函数数，可可用用其其来来描描述述微微观观粒粒子子的运动状态的运动状态 称这一函数为称这一函数为波函数波函数。4微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用经典坐标、速度 两种错误的两种错误的看法看法（1 1）波由粒子组成波由粒子组成 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单不能解释长时间单个电子衍射实验个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续3 3）2 2波函数的统计解释波函数的统计解释5 两种错误的看法（1）波由粒子组成 如水波，声波，由（2 2）粒子由波组成）粒子由波组成电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。波包的群速度即电子的运动速度。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续4 4）什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 1 。6（2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结 “电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”既不是经典的既不是经典的粒子也不是经典的波；粒子也不是经典的波；也可以说，也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中粒子意中粒子意味着味着 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续5 5）电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化;2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概经典概念中波念中波意味着意味着 7 “电子既不是粒子也不是波”既不是经典的粒子也不是我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验 玻恩的解释：玻恩的解释：OPP电子源电子源感感光光屏屏QQ2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续6 6）波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 8我们再看一下电子的衍射实验 玻恩的解释：OPP电子源感光屏19261926年年,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续7 7）波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处:电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t)2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 91926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是 按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释,粒子在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例。平方成比例。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续8 8）则微观粒子在则微观粒子在t t 时刻出现在时刻出现在 处体积元处体积元d d内的几率内的几率在在 处的几率密度为处的几率密度为10设粒子状态由波函数 描述，波的强度是 按玻恩对波函数的统计诠释小结p1.实物粒子的物质波（德布罗意波）是几率波；p2.几率波用波函数 来描述，也称为几率波幅；p3.波函数的强度（模的平方 ）反映粒子在该点出现的几率。称为几率密度称为几率密度(概率密度概率密度)出现在出现在 处处d d空间内的几率空间内的几率11玻恩对波函数的统计诠释小结1.实物粒子的物质波（德布罗意波 （1 1）“微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态用用波波函函数数描描述述，描描写写粒粒子子的的波波是是几几率率波波”是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本假假设设(1)(1)（基本原理）基本原理）。知知道道了了描描述述微微观观粒粒子子状状态态的的波波函函数数，就就可可知知道道粒粒子子在在空空间间各各点点处处出出现现的的几几率率，以以后后的的讨讨论论进进一一步步知知道道，波波函函数数给给出出体体系系的的一一切切性性质质，因因此此说说波波函函数数描描写写体体系系的量子状态（简称态）的量子状态（简称态）（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。必必 须须 注注 意意2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续9 9）12（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率令令3 3波函数的归一化波函数的归一化 和和 所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的。同的。时刻，时刻，在在空间任意两点空间任意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对几率是：相对几率是：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1010）非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生不会产生与湮灭。与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因此间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因此 和和 描述同一状态描述同一状态13令3波函数的归一化 和 所描写 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。为消除波函数为消除波函数有任一常数因子有任一常数因子的这种不确定性，利的这种不确定性，利用粒子在用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，全空间出现的几率等于一的特性，提出波函提出波函数的数的归一化条件归一化条件：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1111）和和 描述的是同一几率波，所以波描述的是同一几率波，所以波函数往往有一函数往往有一常数因子不定性常数因子不定性。满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。14 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的又因又因其中其中称为称为归一化常数归一化常数于是于是归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1212）15又因其中称为归一化常数于是归一化条件消除了波函数常数因子的一Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。归一化常数归一化常数Solve:归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313）16Ex.1 已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的（2 2）几率分布）几率分布：（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 由于由于 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414）17（2）几率分布：（3）由几率密度的极值条件 由于 注注 意意（1 1）归一化后的波函数归一化后的波函数 仍有一个模为一的相仍有一个模为一的相因子因子 不定性（不定性（为实函数）。为实函数）。若若 是归一化波函数，那么，是归一化波函数，那么，也是也是归一化波函数，与前者描述同一几率波。归一化波函数，与前者描述同一几率波。若若 对空间非绝对可积时，需用所对空间非绝对可积时，需用所谓谓函数归一化方法进行归一化。函数归一化方法进行归一化。（2 2）只有当几率密度）只有当几率密度 对空间绝对可积时，才对空间绝对可积时，才能按归一化条件能按归一化条件 进行归一化。进行归一化。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1515）18注 意（1）归一化后的波函数 仍有一个模为一的相因Solve：归一化常数归一化常数 例如例如 平面波的归一化问题平面波的归一化问题 ex.2 已知已知平面波平面波 ,求归一化求归一化 常数常数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1616）归一化的平面波归一化的平面波：利用利用19Solve：归一化常数 例如 平面波的归一化问题 ex在前面的推导中，我们利用了在前面的推导中，我们利用了函数的性质函数的性质同理同理这样这样同理可推知三维坐标矢量的同理可推知三维坐标矢量的函数的形式函数的形式20在前面的推导中，我们利用了函数的性质同理这样同理可推知三维同理，三维平面波：同理，三维平面波：归一化条件归一化条件归一化条件归一化条件对于一维平面波：对于一维平面波：2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释21同理，三维平面波：归一化条件归一化条件对于一维平面波：2.2.已知下列两个波函数已知下列两个波函数试判断试判断:(1)(1)波函数波函数 和和 是否描述同一是否描述同一状态状态?(2)(2)对对 取取 两种情况两种情况,得到的两得到的两个波函个波函 数是否等价数是否等价?补补 充充 作作 业业 题题1.1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出每并指出每个状态由哪几个波函数描写个状态由哪几个波函数描写。222.已知下列两个波函数试判断:(1)波函数 多粒子系的波函数多粒子系的波函数 在在t t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为时刻，多粒子系的波函数可以表示为而而2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释23 多粒子系的波函数 在t 时刻，多粒子系的波函数可一般定义内积一般定义内积2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释24一般定义内积2.1 波函数的统计解释24开开1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）开开2 2闭闭1 1，衍射花样（红曲线），衍射花样（红曲线）同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）实实 验验 事事 实实显然显然2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理1.1.电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验 1 12 2 表明表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅,态）态）遵守迭加原则：遵守迭加原则：25开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（红曲线）同时遮住缝1遮住缝2双缝都打开26遮住缝1遮住缝2双缝都打开26272728282929波函数（几率幅波函数（几率幅,态）遵守迭加原则：态）遵守迭加原则：2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续1 1）物物 理理 意意 义义 反之，若反之，若 和和 是电子的可能状态，则是电子的可能状态，则 和和 的线性迭加态的线性迭加态 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。电子经双缝衍射后处于电子经双缝衍射后处于 态，则电子既可态，则电子既可部分地处于部分地处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。30波函数（几率幅,态）遵守迭加原则：2.2 态迭加原理（续 当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 ,其概率为其概率为干干 涉涉 项项2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续2 2）迭加态的概率分布迭加态的概率分布:干干 涉涉 项项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度31 当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态的迭加原理态的迭加原理是量子力学的一个是量子力学的一个基本假设基本假设(2).(2).(1).(1).若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态2 2态迭加原理态迭加原理2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续3 3）(2).(2).当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且32态的迭加原理是量子力学的一个基本假设(2).(1).若 3 3动量分布几率动量分布几率 d 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 、等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，理，在晶体表面反射后，电子的状态在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续4 4）电子沿垂直方向射到电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后的电子单晶表面，出射后的电子为自由电子。出射后将以为自由电子。出射后将以各种不同的动量运动。各种不同的动量运动。动量为动量为 的自由电子波函的自由电子波函数为平面波：数为平面波：电子在晶体表面的衍射电子在晶体表面的衍射333动量分布几率d 电子从晶体表面出射后，既可能处在 考虑到电子的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续5 5）而而 （2 2）（1 1）即即衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果 二式互为二式互为FourierFourier变换式变换式,所以所以 与与 一一对应一一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。是同一量子态的两种不同描述方式。34考虑到电子的动量可以连续变化2.2 态迭加原理（续5）而2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续6 6）若若 归一化，则归一化，则 也是归一化的也是归一化的Prove:Prove:以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数，动量空间（动量表象）波函动量空间（动量表象）波函数数 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的几率处的几率 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动量 为为 的几率的几率 二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态352.2 态迭加原理（续6）若 归一化，则 2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续7 7）此显示出把平面波归一化为此显示出把平面波归一化为 函数的目的函数的目的一维情况下，一维情况下，与与 的的FourierFourier变换变换关系：关系：如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的如果仅考虑在某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取关系，可取t t=0=0362.2 态迭加原理（续7）此显示出把平面波归一化为 2.2 2.2 态迭加原理态迭加原理（续续8 8）372.2 态迭加原理（续8）372.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程微观粒子运动方程应具有的特点微观粒子运动方程应具有的特点（1）方程必为线性的）方程必为线性的（2）不应包含状态的参量）不应包含状态的参量 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 经典波动方程推导过程经典波动方程推导过程令则有382.3 薛定谔方程微观粒子运动方程应具有的特点（1）方程必 1.1.自由粒子的波动方程自由粒子的波动方程 已经知道，一维自由粒子波函数是单色平面波薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分方程是同学们可以将波函数代入，验证该方程可以与经典的波动方程比较形式的不同2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程39 1.自由粒子的波动方程薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分 写薛定谔方程的简单路径写薛定谔方程的简单路径 微分注意到替换关系2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程自由粒子波函数40 写薛定谔方程的简单路径 微分注意到替换关系2.3 薛定 满足满足运动方程应具有的运动方程应具有的三个三个特点，此特点，此即为为自由粒子的基本运动方程自由粒子的Schrdinger方程。2.3 薛定谔方程薛定谔方程非相对论一维自由粒子粒子能量动量关系式为：替换后，得到自由粒子满足的波动方程41 满足运动方程应具有的三个特点，此即为自由粒子的写出非相对论经典粒子能量动量关系式如自由粒子得到自由粒子满足的薛定谔方程令上述关系作用于波函数将替换关系代入写成 写出薛定谔方程的基本过程写出薛定谔方程的基本过程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程42写出非相对论经典粒子能量动量关系式得到自由粒子满足的薛定谔方2.势场势场中粒子的薛定谔方程中粒子的薛定谔方程一维有势场一维有势场U(x,t)中的粒子中的粒子经典关系式替换后关系式 令其作用于波函数得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程432.势场中粒子的薛定谔方程经典关系式替换后关系式 令其作用于 三维有势场中粒子的薛定谔方程三维有势场中粒子的薛定谔方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程对时间进行微分对空间进行微分移项并求和可得：移项并求和可得：44 三维有势场中粒子的薛定谔方程2.3 薛定谔方程对时间求和可得：求和可得：对空间再对空间再进行微分进行微分2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程45求和可得：对空间再进行微分2.3 薛定谔方程45薛定谔方程薛定谔方程是非相对论量子力学是非相对论量子力学的基本方程的基本方程是量子力学的一个是量子力学的一个基本假设基本假设(3)(3)。则则2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程非相对论三维自由粒子能量动量关系式为：引入哈密顿量薛定谔方程为46薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程则2.3 薛定谔方哈密顿函数哈密顿函数3 3多粒子体系的多粒子体系的SchrdingerSchrdinger方程方程2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程SchrdingerSchrdinger方程方程哈密顿算符哈密顿算符47哈密顿函数3多粒子体系的Schrdinger方程2.3（1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。注注 意意（2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给只要给出粒子在出粒子在初始时刻初始时刻的波函数，由方程即可求得粒的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程48（1）Schrdinger作为一个基本假设提出来，它的正2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程492.3 薛定谔方程492.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律1 1几率守恒定律几率守恒定律由由Schrdinger方程方程（1）则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒子状态的归一化波函数 取复共取复共轭轭 讨论粒子在一定空间区域内出现的几率随时间变化讨论粒子在一定空间区域内出现的几率随时间变化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 502.4 粒子流密度和粒子数守恒定律1几率守恒定律由Sch（2）令令J J的物理意义？的物理意义？几率连续性方程几率连续性方程（3）（2 2）几率连续性方程与经典电动力学中的电流连续方几率连续性方程与经典电动力学中的电流连续方程程 （电荷守恒定律微分表示）具有相同（电荷守恒定律微分表示）具有相同的形式的形式。(3)3)式也称为几率守恒定律的微分表示。式也称为几率守恒定律的微分表示。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续1 1）51（2）令J的物理意义？几率连续性方程（3）（2）几率当当 时时(4)(4)式表明式表明:粒子单位时间在内出现的几率的增量等粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率于单位时间内流入内的几率(负号表示流入负号表示流入)。(4)(4)式即即表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变,即几率守恒即几率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）J J 的含义：称为几率流密度，表示粒子单位时间通的含义：称为几率流密度，表示粒子单位时间通过单位垂直面积的几率。过单位垂直面积的几率。（3 3）式对空间）式对空间V V作体积分作体积分(4)(4)52当 时(4)式表明:粒子单位时间在内出现的几率补充知识在闭区域 中积分，根据Gauss公式：（4）矢量散度的体积分等于矢量的面积分，有53补充知识在闭区域 中积分，根据Gauss公式：（4）量子力学的量子力学的电荷密度电荷密度量子力学的量子力学的质量流密度质量流密度量子力学的量子力学的电流密度电流密度量子力学的量子力学的质量密度质量密度2 2电荷守恒定律，质量守恒（粒子数守恒）电荷守恒定律，质量守恒（粒子数守恒）设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为量子力学的量子力学的电荷守恒律电荷守恒律量子力学的量子力学的物质守恒律物质守恒律2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）54量子力学的电荷密度量子力学的质量流密度量子力学3 3波函数的标准条件波函数的标准条件（1 1）根据）根据BornBorn统计解释：统计解释：是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的几率，点的几率，这是一个确定的数，所以要求应是这是一个确定的数，所以要求应是 的单的单值函数且有限。值函数且有限。（2 2）根据几率密度和几率流密度的连续）根据几率密度和几率流密度的连续:在全部变量区域内波函数在全部变量区域内波函数 必须是连续的，且必须是连续的，且其微商一般也应连续。其微商一般也应连续。概括之，波函数在全空间每一点应满足概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、单值、有限、连续连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2.2.粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（续续）553波函数的标准条件（1）根据Born统计解释：例例题题2.2 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点即向原点)传播的球面波。传播的球面波。解：解：在球坐标中在球坐标中 56例题2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：解：56例例题题 可见，同向，表示向外传播的球面波。57例题 可见，同向，表示向外传播的球面波。57例例题题 可见，反向，表示向内(即向原点)传播的球面波。58例题 可见，反向，表示向内(即向原点)传播的球面波。582.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程1 1定态，定态波函数定态，定态波函数（1）（2）若若 与与 无关，则无关，则可以分离变量可以分离变量，令令 (2)代入代入(1)式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到（3）等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数（4）592.5 定态薛定谔方程1定态，定态波函数（1）（2）（5）（6）(5)代入代入(2)式，得到式，得到 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，有确定的值，这种状态称为这种状态称为定态定态；描述定态的描述定态的波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。定态波函数定态波函数2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续1 1）当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3）决定。）决定。定态薛定谔方程定态薛定谔方程60（5）（6）(5)代入(2)式，得到 可见分 1)E 具有能量的量纲 所以E 代表粒子的能量 2)C 可以是复数 3)从推导过程可知 方程(4)的解与具体势函数无关 所以在类似问题中作为已知结果使用 4)物理上主要任务是解方程(3)-振动因子讨论de Broglie能量式61 1)E 具有能量的量纲-振动因子讨论de Br2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续3 3）2 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程均称为均称为能量算符能量算符这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符622.5 定态薛定谔方程（续3）2定态Schrding2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续3 3）哈密顿算符哈密顿算符:可将定态可将定态SchrSchrdingerdinger方程方程(7)写成写成（8）为为哈密顿算符哈密顿算符(能量能量算符算符)的本征值方程的本征值方程 的的本征函数本征函数能量能量本征值本征值哈密顿函数哈密顿函数:为为本征波函数本征波函数结论：结论：当体系处于能量算符本征波函数 （能量本征态）所描写的状态时，粒子的位置分布几率由 确定，能量有确定的数值E本征值。632.5 定态薛定谔方程（续3）哈密顿算符:可将定态Sch 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程（解能量算符本征方程（1212）求）求定态波函数的问题又归结为解定态定态波函数的问题又归结为解定态SchrSchrdingerdinger方程方程+定解条件定解条件构成的本征值问题构成的本征值问题:2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续5 5）定解条件定解条件本征能量值谱：本征能量值谱：本征函数系：本征函数系：本征波函数本征波函数任意状态任意状态 3.3.定态问题定态问题64 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中从数学上讲 给定一个E 就有相应的解的具体形式依赖于方程的解是什么呢?从物理上讲 只有特殊的E才能得到满足 物理要求的解定解条件 只有一些特定的E 值才能使定态薛定谔方程的解满足波函数的物理条件 即能量只能取分立的值-量子化65从数学上讲 给定一个E 就有相应的解的具体形式依赖于方程的5.5.求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤（1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个标准条件求解能标准条件求解能量量 的本征值问的本征值问题，得题，得：本征能量本征能量本征函数本征函数2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续7 7）（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数即得到对应第即得到对应第 个个本征值本征值 的定态的定态波函数波函数665.求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方与与 无关无关6 6定态的性质定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关与与 无关无关判别定态的方法：判别定态的方法：2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续8 8）（1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值（2 2）几率分布与时间无关）几率分布与时间无关（3 3）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关67与 无关6定态的性质（2）几率流密度与时间无关（1）粒子1.1.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）思思 考考 题题 2.2.如果一个粒子只有两个可能位置如果一个粒子只有两个可能位置,在量子力在量子力学中其波函数怎样学中其波函数怎样?意义又如何意义又如何?681.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）量子力学中常用的二量子力学中常用的二阶常系数常系数齐次次线性微分方程的解性微分方程的解方程一般形式：方程一般形式：其特征方程：其特征方程：69量子力学中常用的二阶常系数齐次线性微分方程的解方程一般形式解：因为V=0所以薛定谔方程为例题：求描述自由粒子的波函数70解：因为V=0所以薛定谔方程为例题：求描述自由粒子的 与前面得到的自由粒子的波函数相同 其中 E 是粒子的能量，P 是粒子的动量 通过该例可体会量子力学解题的基本思路则自由粒子的波函数71 与前面得到的自由粒子的波函数相同则自由粒子的波函数71 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题 一维定态问题（一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理；（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理；（3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；题中展现出来；（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。其好处主要有四：其好处主要有四：基础应用：一维定态问题基础应用：一维定态问题72 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrod基础应用：一维定态问题基础应用：一维定态问题 一维定态问题的本征值方程一维定态问题的本征值方程 波函数波函数73基础应用：一维定态问题 一维定态问题的本征值方程 自由粒子方势阱方势阱无限深方势阱几种一几种一维势函数函数电子束缚在箱子内三维方势阱74自由粒子方势阱方势阱无限深方势阱几种一维势函数电子束缚方势阱方势阱是实际情况的极端化和简化金属中的电子例如 金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。75方势阱方势阱是实际情况的极端化和简化金属中的电子例如 氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。方势阱氢原子中的电子76 氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”势垒散射问题势垒(隧道贯穿)其他形式超晶格谐振子77势垒散射问题势垒(隧道贯穿)其他形式超晶格谐振子77束缚态和散射态束缚态和散射态束缚态：束缚态：量子力学的主要研究对象有两类：散射态散射态束缚态束缚态 如在势阱中粒子的能量小于束缚的能量，(EV0)和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在研究范畴：研究范畴：79散射态：是能量连续的态，或能量间隔趋于 0，态函数是1 1定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程哈密顿算符哈密顿算符无无限限深深势势阱阱-aa0U(x)考虑一维粒考虑一维粒子的运动，子的运动，其势能为其势能为:2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱801定态Schrdinger方程哈密顿算符无限深势阱-aa2 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程的解方程的解令令（4）（1）2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续2 2）其通解为其通解为：（5）利用利用 的连续性，由（的连续性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得从物理考虑，粒从物理考虑，粒子不能透过无穷子不能透过无穷高的势壁。高的势壁。812定态Schrdinger方程的解令（4）（1）2.当当 ，有，有（n n为偶数）为偶数）(6)当当 ，有，有（n n为奇数）为奇数）(7)2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续3 3）(6)(6)和和(7)(7)两式统一写成两式统一写成（8）能量本征值：能量本征值：（9）82当 ，有（n为偶数）(6)当 本本征征函函数数2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续4 4）(10)(10)和和(11)(11)两式统一写成两式统一写成由归一化条件求得归一化常数由归一化条件求得归一化常数83本征函数2.6 一维无限深势阱（续4）(10)和(11)两推导推导:（取实数）（取实数）2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续5 5）（12）归一化归一化的本征的本征函数函数84推导:（取实数）2.6 一维无限深势阱（续5）（12）归or 由此可见：粒子的每个定态波函数由此可见：粒子的每个定态波函数 是由两是由两个沿相反方向传播的个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波平面波叠加而成的驻波。3 3粒子的定态波函数粒子的定态波函数2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续6 6）（驻波解）（驻波解）从左向右传从左向右传播的平面波播的平面波从右向左传从右向左传播的平面波播的平面波85or 由此可见：粒子的每个定态波函数 是由4 4几率幅与几率密度曲线图几率幅与几率密度曲线图2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续7 7）864几率幅与几率密度曲线图2.6 一维无限深势阱（续7）8讨讨论论基态基态能量能量（3 3）取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续9 9）(1)(1)能量能量 取分立谱，即能量是量子化的。取分立谱，即能量是量子化的。(2)(2)粒子粒子能量最低的态能量最低的态 称称为基态为基态与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为表现，因为“静止的波静止的波”是没有意义的，亦即是没有意义的，亦即 的的态不存在，无意义。态不存在，无意义。因为波函数的形式一样，只存在正负值的区别，因为波函数的形式一样，只存在正负值的区别，这并不影响这并不影响 I II I2，即几率密度的分布不变。，即几率密度的分布不变。87讨论基态能量（3）取负整数与正整数描写同一状态。2.2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续1010）（4 4）随着）随着n 增加增加,能级间隔越来越大能级间隔越来越大 （5）当）当 m 很大很大（宏观粒子）时，能量趋于连续，（宏观粒子）时，能量趋于连续，量子量子 经典。经典。(6)粒子的动量及波长粒子的动量及波长由由n=1,2,3,4,5,6,可以得到势阱中粒子的动量和波长可以得到势阱中粒子的动量和波长说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。德布罗意波的一个特定波长的驻波。882.6 一维无限深势阱（续10）（4）随着n 增加,能级间(7)束缚态：束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所 描述的状态，。即粒子被限制在一个 有限的范围内运动 89(7)束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所 895.5.宇称宇称空间反射：空间矢量反向的操作。空间反射：空间矢量反向的操作。称波函数具有称波函数具有正宇称正宇称（或偶宇称）（或偶宇称）称波函数具有称波函数具有负宇称负宇称（或奇宇称）（或奇宇称）（3 3）在空间反射下，如果）在空间反射下，如果则则称称波函数没有确定的宇称。波函数没有确定的宇称。（1 1）在空间反射下，如果有：）在空间反射下，如果有：则称波函数有则称波函数有确定的宇称。确定的宇称。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续8 8）905.宇称空间反射：空间矢量反向的操作。称波函数具有正宇称（或本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：而导致的。而导致的。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续1010）当当 为偶数时，为偶数时，即，即 具有具有负宇称负宇称（奇宇称）（奇宇称）。当当 为奇数时，为奇数时，即，即 具有具有正宇称正宇称（偶宇称（偶宇称)。一维无限深势阱一维无限深势阱本征函数的宇称分析本征函数的宇称分析91本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：2.6 一维无限深2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子其解为其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。动的粒子称为（线性）谐振子。经典允许的振动范围经典允许的振动范围谐振子在运动中能量守恒。谐振子在运动中能量守恒。其能量是振幅的连续函数其能量是振幅的连续函数。经经 典典 谐谐 振振 子子 谐振子哈密顿量：谐振子哈密顿量：谐振子能量：谐振子能量：一、定态薛定谔方程一、定态薛定谔方程922.7 线性谐振子其解为 。这种 量子力学中的线性谐振子是指在势场量子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为中运动的质量为 的粒子的粒子 量量 子子 谐谐 振振 子子 例如例如双原子分子，两原子间的势双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离是二者相对距离 的函的函数，如图所示。数，如图所示。自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续1 1）axV(x)0V093 量子力学中的线性谐振子是指在势场 在在 处，有一极小值处，有一极小值 。在。在 附近，势可以附近，势可以展开成泰勒级数：展开成泰勒级数：axV(x)0V0记记2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续2 2）线性谐振线性谐振子的势函数子的势函数含含V(0)V(0)的一次项由于平衡位置的一次项由于平衡位置V(0)=0V(0)=0可消去。可消去。除非振除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势，则势可表示为标准谐振子势的形式：的形式：94在 处，有一极小值 。在 附近，势可以展可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。性谐振动来近似描述。双原子分子双原子分子2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子95可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描Hamilton operator 定态定态SchrSchrdingerdinger方程：方程：（1）改写成改写成令令（2）于是方程（于是方程（1 1）可写成）可写成（3 3）薛薛定定谔谔方方程程及及化化简简2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子96Hamilton operator 定态Schrdinge其通解为：其通解为：由波函数的标准化条件：当由波函数的标准化条件：当时，时，有限有限 因此要求因此要求c c2 2=0=0 因整个波函数尚未归一化，因整个波函数尚未归一化，所以所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1。最。最后后渐近波函数渐近波函数为：为：当当时时 (可略去可略去），方程变为：，方程变为：二、薛定谔方程的求解二、薛定谔方程的求解2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子97其通解为：由波函数的标准化条件：当时，有限 因此其中其中 H()H()必须满足单值、有限、连续的标准条件。即：必须满足单值、有限、连续的标准条件。即：当当有限时，有限时，H()H()有限；有限；当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证()0()0(边界条件）边界条件）将将()()表达式代入方表达式代入方程（程（3 3）得到函数）得到函数 H()H()所满足的方程：所满足的方程：H()H()满足的方程满足的方程2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子98其中 H()必须满足单值、有限、连续的标准条件。即：3.Hermite方程及其求解方程及其求解2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子993.Hermite方程及其求解2.7 线性谐振子99由系数由系数ck的递推关系可以看出，若令的递推关系可以看出，若令 =2n+1 n=0,1,2,3 用级数法求解用级数法求解H()的方程，结果发现：只要的方程，结果发现：只要H()是是“真真”无穷级数，那么在无穷级数，那么在x或或的时候的时候H()就就 e,使得使得()仍然发散，即仍然发散，即()的有限性无法得到满足。的有限性无法得到满足。解决这种情形的唯一出路是级数解决这种情形的唯一出路是级数“中止中止”或或“退化退化”为多项式，而这就要求只能取一些为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值特殊的值。2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子100由系数ck的递推关系可以看出，若令 用级数法求解H()的方为满足中断要求足中断要求=2n+1 n=0,1,2,3 需取分立需取分立值则则H()的方程表示为：的方程表示为：2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子本征函数本征函数:称为称为厄密多项式厄密多项式101为满足中断要求=2n+1 n=0,1,2,3 需取分厄密多项式的微分形式厄密多项式的微分形式积分公式积分公式 几个几个厄密多项式：厄密多项式：2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续6 6）102厄密多项式的微分形式积分公式 几个厄密多项式：2.7 线由归一化条件由归一化条件并运用积分公式：并运用积分公式：求得归一化常数求得归一化常数4.4.线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的能量本征函数归一化的本征函数归一化的本征函数2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续7 7）103由归一化条件并运用积分公式：求得归一化常数4.线性谐振子的本征波函数本征波函数5.5.线性谐振子的本征能量线性谐振子的本征能量即由即由 和和得本征能量得本征能量:2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续8 8）能级分立能级分