第五章傅里叶变换课件

第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.2 傅里叶积分与付里叶变换傅里叶积分与付里叶变换5.3 函数函数5.1 傅里叶级数傅里叶级数第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 第五章 傅里叶变换5.2 傅里叶积分与付里叶变换5.3 1第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.1 傅里叶级数傅里叶级数一、周期函数的傅里叶展开一、周期函数的傅里叶展开设设f(x)为周期为为周期为 2l 的函数的函数将将 f(x)展开展开考虑三角函数族考虑三角函数族 为基本函数族为基本函数族1、周期函数族、周期函数族 2、函数、函数f(x)的的 傅里叶展开傅里叶展开第五章 傅里叶变换5.1 傅里叶级数一、周期函数的傅里23、再谈周期函数族的正交性、再谈周期函数族的正交性 3、再谈周期函数族的正交性 3验算一个！验算一个！验算一个！44、利用三角函数族的正交性展开利用三角函数族的正交性展开 f(x)，并且求，并且求 f(x)的展开系数的展开系数即即由由得得 4、利用三角函数族的正交性展开即由得 5 由由得得结合结合 合写系数：合写系数：函数的傅函数的傅 氏氏级数为级数为 由得6称称 为周期函数的为周期函数的傅里叶系数！傅里叶系数！由由得得称 为周期函数的傅里叶系数！74、狄里希利定理：、狄里希利定理：若若f(x)满足满足：(1)(1)处处连续，或在每个周期有处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；有限个第一类间断点；(2)(2)或在每个周期有有限个极值或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且点，则级数收敛，且(在连续点在连续点x)级数和级数和 =(在间断点在间断点x)狄里希利定理是傅里叶级数的收敛条件狄里希利定理是傅里叶级数的收敛条件!4、狄里希利定理：若f(x)满足：(在连续点x)级数和8二、奇函数与偶函数的傅里叶展开二、奇函数与偶函数的傅里叶展开1、奇函数、奇函数2、奇函数展开式只有正弦项、奇函数展开式只有正弦项其系数为其系数为3、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：二、奇函数与偶函数的傅里叶展开1、奇函数2、奇函数展开式只有93、奇函数展开式（正弦项）、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下的系数求法如下:（1）其其偶次项偶次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：3、奇函数展开式（正弦项）10 11最后得最后得 （2）其其奇次项奇次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：最后得 124、偶函数、偶函数的的傅里叶傅里叶展开展开及其展开系数及其展开系数 其奇次项的系数为零其奇次项的系数为零4、偶函数的傅里叶展开及其展开系数 13最后得最后得 最后得 14例例1，要求在（要求在（-，）上，）上，f(x)=x2,展开为展开为Fourier 级数，在本题级数，在本题 展开所得中置展开所得中置 x=0，由此验证，由此验证:解：解：f(x)=x2，为偶函数；为偶函数；例1，要求在（-，）上，f(x)=x2,解：f(15 x=0 x=0 16三、定义在有限区间上的三、定义在有限区间上的 函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开定义在有限区间上的函数，如在定义在有限区间上的函数，如在(0，l)上的上的 f(x)，可以延拓其成为周期函数可以延拓其成为周期函数 g(x)，使，使在在(0，l)上有上有 g(x)f(x)；然后对然后对g(x)进行进行傅里叶展开；傅里叶展开；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；如果如果 ，奇延拓成奇周期函数；奇延拓成奇周期函数；如果如果 ，偶延拓成偶周期函数；偶延拓成偶周期函数；1、任意函数、任意函数的傅里叶的傅里叶展开方法展开方法2、偶延拓或奇延拓的使用原则、偶延拓或奇延拓的使用原则 三、定义在有限区间上的 函数的傅里叶展开定义在有限区间17例例2，要求，要求f(x)=cosax在它的定义区间的边界在它的定义区间的边界 上为零，而且要求在区间（上为零，而且要求在区间（0，）上进）上进 行行展开。展开。解：解：因为因为在区间（在区间（0，）上）上为零，所以要为零，所以要将函数将函数 进行进行奇延拓成奇周期奇延拓成奇周期函数，其展开式为函数，其展开式为其展开系数为其展开系数为 例2，要求f(x)=cosax在它的定义区间的边界解：因18其结果为其结果为 其结果为 19四、复数形式的傅里叶级数四、复数形式的傅里叶级数1、复数形式的基本正交函数族复数形式的基本正交函数族2、复数形式的傅里叶级数、复数形式的傅里叶级数形式形式求系数求系数 四、复数形式的傅里叶级数1、复数形式的基本正交函数族2、复数205.2 傅里叶积分与傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换设设f(x)为定义在为定义在-x 0,有有 3、函数的挑选性证明：对于任意 0,有 66对于对于-,0，有：，有：所以，得所以，得对于对于-,有有同理，可同理，可 以证明：以证明：证毕！证毕！对于-,0，有：67+d 时间间隔冲量：时间间隔冲量：瞬时力：瞬时力：4、持续力的、持续力的 函数表示函数表示注意注意 函数的函数的量纲！量纲！持续力可以用持续力可以用 函数表示为：函数表示为：持续力的冲量图持续力的冲量图+d 时间间隔冲量：瞬时力：68若若f(x)为为x0 处连续的普通函数，则处连续的普通函数，则例：求例：求证：证：解：解：证毕！证毕！若f(x)为x0 处连续的普通函数，则例：求证：695、如如(x)=0的实根的实根为为xk为单根，则为单根，则 证明：证明：5、如(x)=0的实根为xk为单根，则 70证毕！证毕！证毕！71三、三、函数是一种广义函数函数是一种广义函数1、函数是某些普通函数的极限函数是某些普通函数的极限矩形脉冲表示法：矩形脉冲表示法：辛格函数：辛格函数：抽样函数：抽样函数：三、函数是一种广义函数1、函数是某些普通函数的极限矩722、矩形函数是、矩形函数是 函数的证明函数的证明 符合符合 函数的积分定义！函数的积分定义！证毕！证毕！P85另外两个函数的证明方法类似。另外两个函数的证明方法类似。矩形函数矩形函数2、矩形函数是函数的证明 符合函数的积分定义！证73四、四、函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换1、函数函数的傅立叶变换的傅立叶变换 函数的傅立叶积分变换系数函数的傅立叶积分变换系数 函数的傅立叶积分函数的傅立叶积分 四、函数的傅立叶变换1、函数的傅立叶变换 函数的傅742、广义广义的傅立叶变换的傅立叶变换 2、广义的傅立叶变换 75例例1，求常数，求常数A的傅里叶变换的傅里叶变换解：解：例1，求常数A的傅里叶变换解：76解：解：例例2，计算，计算 三重的傅里叶三重的傅里叶变换变换 解：例2，计算 三重的傅里叶变换 77 78因为因为构建函数构建函数例例3、阶跃函数的傅立叶变换、阶跃函数的傅立叶变换解：解：所以，其傅立叶变换不存在。所以，其傅立叶变换不存在。因为构建函数例3、阶跃函数的傅立叶变换解：所以，其傅立79 80其中，其中，而而 所以，所以，又，又，其中，而 所以，又，81记，记，因此，我们可以得到因此，我们可以得到阶跃函数的傅立叶变换：阶跃函数的傅立叶变换：记，因此，我们可以得到阶跃函数的傅立叶变换：82五、多维五、多维 函数函数END-5本章练习本章练习（P73）4（4）；（）；（P82）（）（4）；（）；（P89）（）（1）；）；1、考虑三维空间的质量密度考虑三维空间的质量密度2、三维空间三维空间函数函数的定义的定义3、三维直角坐标系三维直角坐标系函数函数的表式的表式 五、多维函数END-5本章练习（P73）4（4）；（P8283谢谢！谢谢！84谢谢！848585