清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳

非线性有限元非线性有限元第第9 9章章 梁和壳梁和壳 计算固体力学计算固体力学第第9 9章章 梁和壳梁和壳 1 1引言引言2 2梁理论梁理论3 3基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁4 4CBCB梁的分析梁的分析5 5基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳6 6CBCB壳理论壳理论7 7剪切和膜自锁剪切和膜自锁8 8假设应变单元假设应变单元9 9一点积分单元一点积分单元1 1 引言引言 第第8 8章章介介绍绍了了平平面面单单元元(二二维维)和和实实体体单单元元(三维三维)在在二二维维问问题题中中，最最经经常常应应用用的的低低阶阶单单元元是是3 3节节点点三三角角形形和和4 4节节点点四四边边形形。在在三三维维单单元元中中，是是4 4节节点点四四面面体体和和8 8节点六面体单元。节点六面体单元。结构单元结构单元可以分类为：可以分类为：梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。1 1 引言引言 1 1 引言引言 在在工工程程构构件件和和结结构构的的模模拟拟中中，梁梁和和壳壳及及其其他他结结构构单单元元是是极极为为有有用用的的。应应用用薄薄壳壳，如如汽汽车车中中的的金金属属薄薄板板，飞飞机机的的机机舱舱、机机翼翼和和风风向向舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。用用连连续续体体单单元元模模拟拟这这些些构构件件需需要要大大量量的的单单元元，如如采采用用六六面面体体单单元元模模拟拟一一根根梁梁沿沿厚厚度度方方向向至至少少需需要要5 5个个单单元元，而而既既便便采采用用低低阶阶的的壳壳单单元也能够代替元也能够代替5 5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。应应用用连连续续体体单单元元模模拟拟薄薄壁壁结结构构常常常常导导致致较较高高的的宽宽厚厚比比，从从而而降降低了方程的适应条件和解答的精度。低了方程的适应条件和解答的精度。在在显显式式方方法法中中，根根据据稳稳定定性性的的要要求求，采采用用连连续续体体单单元元的的薄薄壁壁结结构被限制在非常小的时间步。构被限制在非常小的时间步。1 1 引言引言 通过两种途径建立壳体有限元：通过两种途径建立壳体有限元：1 1 应用经典壳方程的动量平衡应用经典壳方程的动量平衡(或平衡或平衡)的弱形式；的弱形式；2 2 结构的假设直接由连续体单元建立基于连续体结构的假设直接由连续体单元建立基于连续体(CB)(CB)方法方法。第第一一种种途途径径是是困困难难的的，尤尤其其是是对对于于非非线线性性壳壳，因因为为对对于于非非线线性性壳壳的的控控制制方方程程是是非非常常复复杂杂的的，处处理理起起来来相相当当不不方方便便；它它们们的的公公式式通通常常由由张张量量的的曲曲线线分分量量来来表表示示，并并且且其其特特征征，诸诸如如厚厚度度、连连接接件件和和加加强强件件的的变变量量一一般般也也是是难难以以组组合合。而而且且对对于于什什么么是是最最佳佳的的非非线线性性壳壳方方程的观点也不一致。程的观点也不一致。第第二二种种CBCB方方法法(基基于于连连续续体体)是是直直观观的的，得得到到非非常常好好的的解解答答，它它适适用用于于任任意意的的大大变变形形问问题题并并被被广广泛泛地地应应用用于于商商业业软软件件和和研研究究中中。因因此，我们将关注此，我们将关注CBCB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。方法。这种方法也称为退化的连续体方法。1 1 引言引言 在在大大多多数数板板壳壳理理论论中中，通通过过强强制制引引入入运运动动假假设设建建立立平平衡衡或或者者动动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。在在CBCB方方法法中中，在在连连续续体体弱弱形形式式的的变变分分和和试试函函数数中中强强制制引引入入运运动动假假设设。因因此此，对对于于获获得得壳壳和和其其它它结结构构的的离离散散方方程程，CBCB壳壳方方法法更更加加直直观。在关于壳的观。在关于壳的CBCB方法中，由两种途径强化运动假设：方法中，由两种途径强化运动假设：1 1）在连续体运动的弱形式中，或者）在连续体运动的弱形式中，或者2 2）在连续体的离散方程。）在连续体的离散方程。由由二二维维梁梁描描述述CBCB方方法法编编程程特特点点，应应用用第第一一种种途途径径的的理理论论，检检验验CBCB梁梁单单元元。建建立立CBCB壳壳单单元元，编编程程，发发展展CBCB壳壳理理论论，结结合合由由于于大大变变形形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。CBCB壳壳单单元元的的两两点点不不足足：剪剪切切和和膜膜自自锁锁。将将描描述述假假设设应应变变场场的的方方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。描描述述应应用用在在显显式式程程序序中中的的4 4节节点点四四边边形形壳壳单单元元一一点点积积分分单单元元。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。当当结结构构一一个个方方向向的的尺尺度度(长长度度)明明显显大大于于其其它它两两个个方方向向的的尺尺度度，并并且且沿沿长长度度方方向向的的应应力力最最重重要要时时，可可以以用用梁梁单单元元模模拟拟。梁梁理理论论的的基基本本假假设设是是：由由一一组组变变量量可可以以完完全全确确定定结结构构的的变变形形，而而这这组组变变量量只只是是沿沿着着结结构构长长度度方方向向位位置置的的函函数数。应应用用梁梁理理论论获获得得可可接接受受的的结结果果，横横截截面面尺尺度度必必须须小小于于结结构构典典型型轴轴向向尺尺度度的的1/101/10。典型的轴向尺度典型的轴向尺度为：为：支承点之间的距离；支承点之间的距离；横截面发生显著变化部分之间的距离；横截面发生显著变化部分之间的距离；所关注的最高阶振型的波长。所关注的最高阶振型的波长。梁梁单单元元假假设设在在变变形形中中垂垂直直于于梁梁轴轴线线的的横横截截面面保保持持平平面面。不不要要误误解解横横截截面面的的尺尺度度必必须须小小于于典典型型单单元元长长度度1/101/10的的提提法法。高高度度精精细细的的网网格格中中可可能能包包含含长长度度小小于于其其横横截截面面尺尺寸寸的的梁梁单单元元(尽尽管管一一般不建议这样做般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。，在这种情况下实体单元可能更适合。2 2 梁理论梁理论2 2 梁理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 运运动动学学假假设设关关注注梁梁的的中中线线(也也称称为为参参考考线线)的的运运动动。由由垂垂直于中线定义的平面称之为法平面。直于中线定义的平面称之为法平面。梁横截面几何形状梁横截面几何形状 广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：Euler-Bernoulli梁梁：假假设设中中线线的的法法平平面面保保持持平平面面和和法法向向；称称为为工工程程梁理论，而相应的壳理论称为梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。壳理论。Timoshenko梁梁：假假设设中中线线的的法法平平面面保保持持平平面面，但但不不一一定定是是法法向向；称为剪切梁理论，相应的壳理论称为称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。壳理论。2 2 梁理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 考考虑虑一一点点P P的的运运动动，它它在在中中线线上上的的正正交交投投影影为为点点C C。如如果果法法平平面面转动视为一个刚体，则转动视为一个刚体，则P P点的速度相对于点的速度相对于C C点的速度给出为点的速度给出为2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论在二维问题中，角速度的非零分量是在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以分量，所以 法线的角速率 相对速度相对速度为为 中线上任何一点的速度是中线上任何一点的速度是 x 和时间和时间 t 的函数，因此有的函数，因此有即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论应用变形率的定义应用变形率的定义 变形率的非零分量只有轴向分量变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为和剪切分量，后者为横行剪切横行剪切。由由于于梁梁内内的的变变形形率率是是有有限限的的，非非独独立立变变量量 和和 只只要要求求C C0 0 连连续续，位位移移（挠挠度度）和和截截面面转转动动各各自自独独立立，使使截截面面发发生生剪剪切变形后保持平面。切变形后保持平面。Euler-BernoulliEuler-Bernoulli理论理论 运运动动学学假假设设是是法法平平面面保保持持平平面面和和法法向向，因因此此，法法线线的的角角速速度是由中线的斜率的变化率给出度是由中线的斜率的变化率给出上上式式等等价价于于要要求求剪剪切切分分量量为为零零，表表示示在在法法线线和和中中线线之之间间的的夹夹角角没没有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为 变形率给出为变形率给出为 2 2 梁理论梁理论注意在上式中的两个特征：注意在上式中的两个特征：1 1）横向剪切为零；）横向剪切为零；2 2）在在变变形形率率的的表表达达式式中中出出现现了了速速度度的的二二阶阶导导数数，梁梁内内的的变变形形率率是有限的，即非独立变量的速度场必须为是有限的，即非独立变量的速度场必须为C C1 1连续。连续。Euler-BernoulliEuler-Bernoulli理论理论 2 2 梁理论梁理论 E-BE-B梁梁理理论论常常称称为为C C1 1 理理论论，因因为为它它要要求求C C1 1 近近似似。转转角角由由位位移移对对坐坐标标的的导导数数给给出出(区区别别于于TimTim梁梁位位移移与与转转角角相相对对独独立立)。梁梁单单元元常常是基于常常是基于E-BE-B理论，在一维情况下，理论，在一维情况下，C C1 1 插值是很容易构造的。插值是很容易构造的。TimoshenkoTimoshenko梁梁有有两两个个非非独独立立变变量量(未未知知)，在在E-BE-B梁梁中中只只有有一一个个非非独独立立变变量量。类类似似的的简简化化发发生生在在相相应应的的壳壳理理论论中中：在在KirchhoffKirchhoff-Love-Love壳壳理理论论中中只只有有3 3个个非非独独立立变变量量，而而在在Mindlin-Mindlin-ReissnerReissner壳理论中有壳理论中有5 5个非独立变量（经常应用个非独立变量（经常应用6 6个）。个）。E-BE-B梁梁理理论论要要求求C C1 1 近近似似是是E-BE-B和和KirchhoffKirchhoff-Love-Love理理论论的的最最大大缺缺陷陷，在在多多维维空空间间中中C C1 1 近近似似是是很很难难构构造造的的。由由于于这这个个原原因因，在在软软件件中除了针对梁之外很少应用中除了针对梁之外很少应用C C1 1 构造理论。构造理论。2 2 梁理论梁理论 横横向向剪剪切切在在厚厚梁梁中中是是明明显显的的，在在TimoshenkoTimoshenko梁梁和和MindlinMindlin壳壳中中常常常常应应用用。当当梁梁趋趋于于薄薄梁梁时时，TimoshenkoTimoshenko梁梁中中的的横横向向剪剪切切在在理理想想性性能能单单元元情情况况将将趋趋于于零零。因因此此，在在数数值值结结果果中中也也观观察察到到了了垂垂直直假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。这这些些假假设设主主要要是是以以实实验验为为依依据据的的：这这一一理理论论预预测测与与实实验验测测量量相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。它它带带来来的的好好处处是是在在有有限限元元程程序序中中，用用中中厚厚壳壳代代替替薄薄壳壳，用用铁铁摩钦柯梁代替伯努利梁。摩钦柯梁代替伯努利梁。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为什么要建立为什么要建立CBCB梁和梁和CBCB壳：壳：1 1 梁与板壳组合的偏置梁与板壳组合的偏置(offset)(offset)2 2 接触问题的处理接触问题的处理3 3 边界条件的处理边界条件的处理 通通过过指指定定一一个个偏偏置置量量，可可以以引引入入偏偏置置。偏偏置置量量定定义义为为从从壳壳的的中中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。梁作为壳单元的加强部件：（梁作为壳单元的加强部件：（a a）梁截面无偏置）梁截面无偏置 （b b）梁截面有偏置）梁截面有偏置 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 建建立立CBCB二二维维梁梁的的公公式式，结结构构的的控控制制方方程程与与连连续续体体的的控制方程是一致的：控制方程是一致的：质量守恒质量守恒线动量和角动量守恒线动量和角动量守恒能量守恒能量守恒本构方程本构方程应变应变-位移方程位移方程右为右为CBCB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，在在 方向的运动一定是线性的。这些节点称为方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点从属节点 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为常数的线称为为常数的线称为纤维纤维，沿着纤维的单位矢量称为，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量方向矢量 为常数的线称为为常数的线称为迭层迭层 主控节点主控节点 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点 主控节点主控节点 在在纤纤维维将将从从属属节节点点与与参参考考线线连连接接的的内内部部截截面面上上，引引入入主主控控节节点点，其其自自由由度度描描述述了了梁梁的的运运动动。以以主主控控节节点点的的广广义义力力和和速速度度建建立立运运动动方方程程。在在一一条条纤纤维维上上，每每一一主主控控节节点点联联系系一一对对从从属属节节点点，三三点共线点共线。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁假设假设：1 1 纤维保持直线；纤维保持直线；2 2 横向正应力忽略不计，即横向正应力忽略不计，即平面应力条件平面应力条件 ；3 3 纤维不伸缩。纤维不伸缩。第第一一个个假假设设与与经经典典的的Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假假设设中中要要求求法法线线保保持持直线是不同的，直线是不同的，纤维可以不垂直于中线纤维可以不垂直于中线，称其为修正的，称其为修正的M-RM-R假设。假设。如如果果CBCB梁梁单单元元近近似似地地为为TimoshenkoTimoshenko梁梁，其其纤纤维维方方向向尽尽可可能能地地接接近近中中线线的的法法线线方方向向是是必必要要的的，通通过过指指定定从从属属节节点点的的初初始始位位置置可可以以 实实 现现 这这 一一 点点。否否 则则，CBCB梁梁 单单 元元 的的 行行 为为 将将 从从 根根 本本 上上 偏偏 离离TimoshenkoTimoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 注注意意到到纤纤维维的的不不可可伸伸缩缩仅仅适适用用于于运运动动学学描描述述，不不适适用用于于动动力力学学描描述述。不不可可伸伸缩缩性性与与平平面面应应力力的的假假设设相相矛矛盾盾：纤纤维维通通常常接接近近于于y y方方向向，如果如果 ，则必须考虑速度应变，则必须考虑速度应变 。通通过过不不使使用用运运动动，而而是是由由本本构构方方程程来来计计算算 ，消消除除了了这这种种矛矛盾盾。令令 ，由由 计计算算沿沿厚厚度度方方向向的的变变化化。这这等等价价于于由由物物质质守守恒恒获获得得厚厚度度，因因为为平平面面应应力力的的本本构构方方程程与与物物质质守守恒恒有有关关。然然后后修修正正节节点点内内力力以以反反映映沿沿厚厚度度方方向向的的变变化化。这这样样，不不可可伸伸缩缩性性的的假设仅仅适用于运动。假设仅仅适用于运动。假设假设：1 1 纤维保持直线；纤维保持直线；2 2 横向正应力忽略不计，即横向正应力忽略不计，即平面应力条件平面应力条件 ；3 3 纤维不伸缩。纤维不伸缩。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动：通过主控节点的平移：通过主控节点的平移x(tx(t),),y(ty(t)和节点方向矢量的旋转描述和节点方向矢量的旋转描述运动运动从从x x 轴逆时针旋转的转角为正轴逆时针旋转的转角为正通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动 连续体的标准形函数（在节点指标中连续体的标准形函数（在节点指标中*代表上节点或下节点）代表上节点或下节点）为为了了使使上上面面的的运运动动与与修修正正的的M-RM-R假假设设相相一一致致，基基本本连连续续体体单单元元的的形形函函数数在在 方方向向必必须须是是线线性性的的。因因此此，母母单单元元在在该该方方向向只只有有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-RM-R假设假设 pI为为主主控控节节点点的的方方向向矢矢量量，h0 是是伪伪厚厚度度(初初始始厚厚度度)，因因为为它它是是沿沿着着纤纤维维方方向向在在单单元元的的顶顶部部与与底底部部之之间间的的距距离离。这这是是连连续续体体单单元元向向CBCB梁梁单元转化的关键一步单元转化的关键一步。当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 总体基矢量总体基矢量 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点的速度是坐标的材料时间导数，服从的速度是坐标的材料时间导数，服从由每个节点的三个自由度描述由每个节点的三个自由度描述主控节点主控节点的运动的运动 运动运动写出矩阵的形式写出矩阵的形式为为上上标标slaveslave和和mastmast强强调调连连续续体体节节点点是是从从属属节节点点，梁梁节节点点为主控节点。为主控节点。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在I 处处 节点力节点力 可以看出可以看出 为为了了将将标标准准连连续续体体单单元元转转化化为为CBCB梁梁单单元元，必必须须强强化化平平面面应应力力假假设设。采采用用应应力力和和速速度度应应变变的的层层间间分分量量是是方方便便的的。构构造造每每层层的的基基矢矢量量为为 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁与迭层正切与迭层正切 垂直于迭层垂直于迭层 本构更新本构更新 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 在在迭迭层层分分量量上上加加“帽帽子子”，它它们们随随着着材材料料转转动动，因因此此考考虑虑是是共共旋的。变形率的迭层分量给出：旋的。变形率的迭层分量给出：在应力计算中，必须观察平面应力约束在应力计算中，必须观察平面应力约束如果本构方程是率的形式，则约束是如果本构方程是率的形式，则约束是例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为求解得到求解得到 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁求解得到求解得到 对对于于更更为为一一般般的的材材料料(包包括括模模型型中中缺缺少少对对称称性性的的定定律律，诸诸如如非关联塑性的材料非关联塑性的材料)，本构率关系可以写成为，本构率关系可以写成为为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解 D Dyyyy 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁节点内力节点内力 除除了了强强制制平平面面应应力力条条件件外外，从从属属节节点点内内力力采采用用与与连连续续体体单单元元节节点点内内力力相相同同的的计计算算。积积分分由由数数值值积积分分求求得得。在在CBCB梁梁中中既既不不应应用用完完全全积积分分公公式式，也也不不应应用用选选择择减减缩缩积积分分公公式式(4-5-33)(4-5-33)。这这两两种种方方法法都都会会导致剪切自锁导致剪切自锁(见第见第7 7节节)。在在2 2节点单元中，在节点单元中，在处处采用单一束积分点采用单一束积分点，可以避免剪切自锁。，可以避免剪切自锁。这这种种积积分分方方法法也也称称为为选选择择减减缩缩积积分分。它它能能精精确确地地积积分分求求得得轴轴向向正正应力，但是不能准确地积分求得横向切应力应力，但是不能准确地积分求得横向切应力 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 沿沿方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求。方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求。1 1 平滑的超弹性材料定律，平滑的超弹性材料定律，3 3个积分点是足够的。个积分点是足够的。2 2 弹弹-塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要5 5个积分点。个积分点。对对于于弹弹-塑塑性性材材料料定定律律，沿沿方方向向的的GaussGauss积积分分并并不不是是最最佳佳选选择择，因因为为这这些些积积分分方方法法是是基基于于高高阶阶多多项项式式的的插插值值，其其默默认认假假设设数数据据是是平平滑滑的的。所所以以，对对于于非非光光滑滑函函数数，常常常常采采用用梯梯形形规规则则，其其运运算效率更高。算效率更高。3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 为为了了说说明明在在剪剪切切自自锁锁情情况况下下，选选择择减减缩缩积积分分的的过过程程，考考虑虑一个基于一个基于4 4节点四边形连续体单元的节点四边形连续体单元的2 2节点梁单元。通过对在节点梁单元。通过对在处一串积分点的积分得到节点力：处一串积分点的积分得到节点力：质量矩阵质量矩阵 CBCB梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：运动方程运动方程 对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为4 CB4 CB梁的分析梁的分析例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 应应用用CBCB梁梁理理论论建建立立基基于于4 4节节点点四四边边形形连连续续体体的的2 2节节点点CBCB梁梁单单元元，将将参参考考线线(中中线线)置置于于上上下下表表面面的的中中间间位位置置，将将主主控控节节点点放放置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点。置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点。主控主控节点点 从属从属节点点 4 4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动上述的运动得到上述的运动得到 令令 也给出也给出4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动 例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 4 CB4 CB梁的分析梁的分析所所有有纤纤维维的的不不可可伸伸长长性性 尽尽管管节节点点的的纤纤维维是是不不可可伸伸长长的的，在在一一个个单单元元中中的的其其它它纤纤维维可可能能发发生生长长度度的的变变化化。通通过过图图示示的的指指定定条条件件，不不用用任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了。任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了。节点力：节点力：主控节点力由从属节点力给出主控节点力由从属节点力给出 4 CB4 CB梁的分析梁的分析计算上式得到计算上式得到这个变换给出了平衡的结果：这个变换给出了平衡的结果：1.主控节点力是从属节点力的合力；主控节点力是从属节点力的合力；2.主控节点力矩是从属节点力绕主控节点的力矩。主控节点力矩是从属节点力绕主控节点的力矩。GreenGreen应变应变 以以PK2PK2应力和应力和GreenGreen应变的形式应用于本构方程。应变的形式应用于本构方程。从属节点的位置从属节点的位置 4 CB4 CB梁的分析梁的分析通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移。通过通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移。通过给给出出的的连连续续体体位位移移场场，则则可可以以得得到到任任何何点点的的位位移移。通通过过本本构构关关系和系和PK2PK2应力则可以计算应力则可以计算GreenGreen应变。应变。初始和当前构形的方向矢量给出为初始和当前构形的方向矢量给出为 矩矩形形单单元元的的速速度度应应变变 当当基基本本连连续续体体单单元元为为矩矩形形，并并且且梁梁的的中中线线沿沿着着x x轴时，由于方向矢量是沿着轴时，由于方向矢量是沿着y y方向方向 4 CB4 CB梁的分析梁的分析用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出其中其中 速度应变分量则给出为速度应变分量则给出为：由平面应力条件计算分量由平面应力条件计算分量 剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 为为了了检检验验剪剪切切自自锁锁的的原原因因，考考虑虑例例9.19.1的的2 2节节点点梁梁单单元元。令令单单元元位于位于x x 轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变代替代替 用位移代替速度。由公式的对应部分给出横向剪切应变：用位移代替速度。由公式的对应部分给出横向剪切应变：考虑在纯弯状态下的单元有考虑在纯弯状态下的单元有 对于这些节点位移，给出对于这些节点位移，给出由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零。由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零。但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零事实上，除了在事实上，除了在 外它们处处不为零。出现外它们处处不为零。出现附加剪切附加剪切(见上图见上图)。剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 这这附附加加的的横横向向剪剪切切对对于于单单元元的的性性能能具具有有很很大大的的影影响响。为为了了解解释释这这种种影影响响的的严严重重性性，对对于于一一个个单单位位宽宽度度矩矩形形横横截截面面的的线线弹弹性性梁梁，检检验与弯曲和剪切应变有关的能量。上面节点位移的弯曲能量给出为验与弯曲和剪切应变有关的能量。上面节点位移的弯曲能量给出为关于梁的剪切能量给出为关于梁的剪切能量给出为这两种能量的比值为这两种能量的比值为当当剪剪切切能能量量是是显显著著地地大大于于弯弯曲曲能能量量。由由于于在在纯纯弯弯曲曲中中剪剪切切能能量量应应该该为为零零，这这附附加加剪剪切切能能量量吸吸收收了了大大部部分分的的能能量量。其其结结果果是是明明显显地地低低估估了了总总体体位位移移。采采用用单单元元细细划划使使得得剪剪切切自自锁锁的的单单元元可可以以收收敛敛于于精精确确解解，只是非常慢。而只是非常慢。而体积自锁根本得不到收敛结果体积自锁根本得不到收敛结果。剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 由由方方程程立立即即提提出出问问题题，在在这这些些单单元元中中为为什什么么不不采采用用不不完完全全积积分分消消除除剪剪切切自自锁锁：注注意意到到在在 处处横横向向剪剪力力为为零零，这这对对应应于于在在一一点点积积分分中中的的积积分分点点。因因此此，通通过过对对剪剪切切相相关关项项的的不不完完全全积积分分消消除除了了伪伪横向剪切。横向剪切。相相对对于于2 2节节点点梁梁，在在采采用用二二次次插插值值的的3 3节节点点梁梁中中，剪剪切切自自锁锁是是很很不明显的。考虑一个长为不明显的。考虑一个长为 l 的的3 3节点梁单元，采用母坐标节点梁单元，采用母坐标 在该单元中的剪切应变给出为在该单元中的剪切应变给出为剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析考虑纯弯曲的状态，考虑纯弯曲的状态，将将这这些些节节点点位位移移代代入入公公式式，证证明明在在单单元元中中横横向向剪剪切切为为零零。基基于于这这个结果，这里没有理由出现自锁。但是，考虑另外一种变形个结果，这里没有理由出现自锁。但是，考虑另外一种变形 由由于于法法线线保保持持法法向向，剪剪力力应应该该为为零零。但但是是，公公式式却却给给出出了了横横向向剪剪切，相应于这种变形的节点位移是切，相应于这种变形的节点位移是所所以以，除除了了 ，有有限限元元数数值值近近似似处处处处给给出出了了非非零零剪剪力力。因因此此，对对于于自自由由剪剪切切(纯纯弯弯)模模式式，横横向向剪剪切切将将发发生生在在这这种种单元中，而在模拟薄梁时，它将是无效的。单元中，而在模拟薄梁时，它将是无效的。当当结结构构一一个个方方向向的的尺尺度度(厚厚度度)远远小小于于其其它它方方向向的的尺尺度度，并并忽忽略略沿沿厚厚度度方方向向的的应应力力时时，可可以以用用壳壳单单元元模模拟拟。例例如如，压压力力容容器器结结构构的的壁壁厚厚小小于于典典型型整整体体结结构构尺尺寸寸的的1/101/10，一一般般用用壳壳单单元元进进行模拟。以下尺寸可以作为行模拟。以下尺寸可以作为典型整体结构的尺寸典型整体结构的尺寸：支撑点之间的距离；支撑点之间的距离；加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离；加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离；曲率半径；曲率半径；所关注的最高阶振动模态的波长。所关注的最高阶振动模态的波长。壳壳单单元元假假设设垂垂直直于于壳壳面面的的横横截截面面保保持持为为平平面面。请请不不要要误误解解为为在在壳壳单单元元中中也也要要求求厚厚度度必必须须小小于于单单元元尺尺寸寸的的1/101/10，高高度度精精细细的的网网格格可可能能包包含含厚厚度度尺尺寸寸大大于于平平面面内内尺尺寸寸的的壳壳单单元元（尽尽管管一一般般不推荐这样做），实体单元可能更适合这种情况。不推荐这样做），实体单元可能更适合这种情况。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳两种壳单元：两种壳单元：1 1 常规壳单元常规壳单元2 2 基于连续体的壳单元基于连续体的壳单元 通通过过定定义义单单元元的的平平面面尺尺寸寸、表表面面法法向向和和初初始始曲曲率率，常常规规的的壳壳单单元元对对参参考考面面进进行行离离散散。但但是是，常常规规壳壳单单元元的的节节点点不不能能定定义义壳壳的的厚厚度度；还需要通过截面性质定义壳的厚度。还需要通过截面性质定义壳的厚度。基基于于连连续续体体的的壳壳单单元元类类似似于于三三维维实实体体单单元元，它它们们对对整整个个三三维维物物体体进进行行离离散散和和建建立立数数学学描描述述，其其动动力力学学和和本本构构行行为为类类似似于于常常规规壳壳单单元元。对对于于模模拟拟接接触触问问题题，基基于于连连续续体体的的壳壳单单元元与与常常规规的的壳壳单单元元相相比比更更加加精精确确，因因为为它它可可以以在在双双面面接接触触中中考考虑虑厚厚度度的的变变化化。然然而而，对对于于薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能。薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能。壳体公式壳体公式-厚壳或薄壳厚壳或薄壳 壳体问题一般归结为两类之一：薄壳和厚壳。厚壳假设横向剪切变形对计算结果有重要的影响；薄壳假设横向剪切变形小到足以忽略。图(a)描述了薄壳的横向剪切行为：初始垂直于壳面的材料线在整个变形过程中保持直线和垂直。因此，横向剪切切应应变变假假设设为为零零。图图(b)(b)描描述述了了厚厚壳壳的的横横向向剪剪切切行行为为：初初始始垂垂直直于于壳壳面面的的材材料料线线在在整整个个变变形形过过程程中中并并不不要要求求保保持持垂垂直直于于壳面，因此，发生了横向剪切变形。壳面，因此，发生了横向剪切变形。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳经典壳理论中的假设经典壳理论中的假设 两种壳理论中，运动学假设为：两种壳理论中，运动学假设为：KirchhoffKirchhoff-Love-Love理论：理论：中面的法线保持直线和法向。中面的法线保持直线和法向。Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论：中面的法线保持直线，但不是法向。理论：中面的法线保持直线，但不是法向。实验结果表明，薄壳满足实验结果表明，薄壳满足KirchhoffKirchhoff-Love-Love假设。假设。较厚的壳或组合壳体，较厚的壳或组合壳体，Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假设是更为合适的，假设是更为合适的，横向剪切的效果特别重要。横向剪切的效果特别重要。Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零。法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零。厚度与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求。厚度与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求。当它不满足时，壳理论将是不适用的。当它不满足时，壳理论将是不适用的。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳1 1 纤维保持直线（修正的纤维保持直线（修正的M-RM-R假设）；假设）；2 2 垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）；垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）；3 3 动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡。动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡。假假设设1 1与与经经典典的的MindlinMindlin理理论论不不同同之之处处在在于于约约束束纤纤维维保保持持直直线线，而不是法向。必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线。而不是法向。必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线。CBCB壳理论中的假设壳理论中的假设 在在CBCB壳壳理理论论中中常常常常认认为为纤纤维维是是不不可可伸伸长长的的，这这是是与与平平面面应应力力条条件件矛矛盾盾的的，当当应应用用不不可可伸伸长长的的条条件件时时，是是为为了了忽忽略略在在p p方方向向的的相相关关运运动动的的动动量量平平衡衡，在在计计算算节节点点内内力力时时，厚厚度度的的改改变变是不能忽略的。是不能忽略的。定义三种坐标系统：定义三种坐标系统：1.总体总体CartesianCartesian坐标系统（坐标系统（x,y,z），），应用基矢量应用基矢量 坐标系统坐标系统5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳2.旋转的层坐标系统旋转的层坐标系统应用基矢量应用基矢量 3.与主控节点相关的节点坐标系统与主控节点相关的节点坐标系统表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表表示示厚厚度度的的改改变变，壳壳的的厚厚度度一一般般定定义义为为在在上上下下两两个表面之间沿着法线的距离。个表面之间沿着法线的距离。壳的材料方向壳的材料方向 应应用用局局部部的的直直角角、圆圆柱柱或或者者球球坐坐标标系系，可可以以代代替替整整体体的的笛笛卡卡尔坐标系尔坐标系例例如如，如如果果在在图图中中的的圆圆柱柱中中心心线线与与整整体体坐坐标标3 3轴轴一一致致，局局部部材材料料方方向向可可以以这这样样定定义义，使使局局部部材材料料1 1方方向向总总是是沿沿着着圆圆环环方方向向，并并使使相相应应的的局局部部材材料料2 2方方向向总是沿着轴方向。总是沿着轴方向。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度和方向矢量角速度 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 厚度的变化率 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度和方向矢量角速度 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 厚度的变化率 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳运动的有限元近似运动的有限元近似 将从属节点速度联系到主控节点速度为将从属节点速度联系到主控节点速度为在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳本构方程本构方程 连连续续介介质质材材料料的的所所有有本本构构都都可可以以应应用用于于CBCB壳壳。但但是是，必必须须引引入入平平面面应应力力条条件件 。可可以以应应用用强强制制引引入入约约束束的的方方法法，如如LagrangeLagrange乘子法和罚方法。以乘子法和罚方法。以VoigtVoigt形式写出的率更新方程为：形式写出的率更新方程为：切线模量矩阵是切线模量矩阵是5 55 5和和5 51 1子矩阵子矩阵 通过消去第通过消去第6 6个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵从第从第6 6个方程得到变形率分量个方程得到变形率分量 ，计算厚度的变化。，计算厚度的变化。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳厚度厚度 可以直接或者由率形式得到厚度。在任意时刻的厚度给出为可以直接或者由率形式得到厚度。在任意时刻的厚度给出为 这这里里给给出出的的更更新新厚厚度度提提供供了了关关于于厚厚度度的的双双参参数数近近似似。在在等等参参CBCB单单元元中中，由由于于变变形形梯梯度度在在厚厚度度方方向向近近似似为为线线性性，这这通通常常是是足足够够的的。单单参参数数形形式式经经常常仅仅用用于于说说明明厚厚度度的的平平均均变变化化。双双参参数数形形式式是是更更精精确确的的，因因为为当当伸伸长长时时叠叠加加弯弯曲曲，在在压压缩缩边边和和拉拉伸伸边边的厚度改变是不同的。的厚度改变是不同的。另另一一种种更更加加精精确确的的方方法法是是计计算算所所有有积积分分点点的的新新的的位位置置，但但通常是不必要的。通常是不必要的。壳体厚度和截面点（壳体厚度和截面点（section pointssection points）描描述述壳壳体体的的横横截截面面必必须须定定义义壳壳体体的的厚厚度度。此此外外，还还要要选选择择是是在在分分析析过过程程中中还还是是在在分分析析开开始始时时计计算算横横截截面面的的刚刚度度。如如果果选选择择在在分分析析过过程程中中计计算算刚刚度度，采采用用数数值值积积分分法法，在在沿沿厚厚度度方方向向的的每每一一个个截截面面点点（section section pointspoints）（积积分分点点）上上独独立立地地计计算算应应力力和和应应变变值值，这这样样就就允允许许了了非非线线性性的的材材料料行行为为。例例如如，弹弹塑塑性性材材料料的的壳壳在在内内部部截截面面点点还还保保持持弹弹性性时时，其其外外部部截截面面点点可可能能已已经经达达到到了了屈屈服服，4 4节节点点减减缩缩积积分分壳壳单单元元中中唯唯一一的的积积分分点点位位置置和和沿沿壳壳厚厚度度方方向向上上截截面面点的分布如图示。点的分布如图示。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳壳体厚度和截面点壳体厚度和截面点 当当在在分分析析过过程程中中积积分分单单元元特特性性时时，可可指指定定壳壳厚厚度度方方向向的的截截面面点点数数目目为为任任意意奇奇数数。对对性性质质均均匀匀的的壳壳单单元元，一一般般在在厚厚度度方方向向上上取取5 5个个截截面面点点，对对于于大大多多数数非非线线性性设设计计问问题题是是足足够够了了。但但是是，对对于于一一些些复复杂杂的的模模拟拟必必须须采采用用更更多多的的截截面面点点，尤尤其其是是当当预预测测会会出出现现反反向向的的塑塑性性弯弯曲曲时时（在在这这种种情情况况下下一一般般采采用用9 9个个截截面面点点）。对对于于线线性性问问题题，3 3个个截截面面点点已已经经提提供供了了沿沿厚厚度度方方向向的的精精确确积积分分。当当然然，对对于于线线弹弹性性材材料料壳壳，选选择择在在分分析析开开始始时时计计算算材材料料刚刚度度更更为有效。为有效。如如果果选选择择仅仅在在分分析析开开始始时时计计算算横横截截面面刚刚度度，材材料料行行为为必必须须是是线线弹弹性性的的。在在这这种种情情况况下下，所所有有的的计计算算都都是是以以整整个个横横截截面面上上的的合合力力和和合合力力矩矩的的形形式式进进行行。如如果果要要求求输输出出应应力力或或应应变变，输输出出在壳底面、中面和顶面的值。在壳底面、中面和顶面的值。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳主控节点力主控节点力 在主控节点的内力和外力可以由从属节点力得到，即在主控节点的内力和外力可以由从属节点力得到，即由连续体单元的程序计算从属节点力由连续体单元的程序计算从属节点力 质量矩阵质量矩阵 利用基本连续体单元的质量矩阵利用基本连续体单元的质量矩阵通过转换公式获得通过转换公式获得CBCB壳单元的质量矩阵。则壳单元的质量矩阵。则6666子矩阵给出为子矩阵给出为转动惯量转动惯量 平移质量平移质量 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳离散动量方程离散动量方程 对于上面给出的对角化质量矩阵，在节点处的对于上面给出的对角化质量矩阵，在节点处的3 3个平动方程个平动方程为为节点力和节点速度为节点力和节点速度为以节点坐标系统表示的以节点坐标系统表示的3 3个转动方程个转动方程为为 上上式式就就是是著著名名的的EulerEuler运运动动方方程程。它它们们对对于于角角速速度度是是非非线线性性的的，但是对于一个各向同性转动质量矩阵，二次项将消失。但是对于一个各向同性转动质量矩阵，二次项将消失。No sum on INo sum on I5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳切线刚度切线刚度 由基本连续体单元刚度矩阵的变换，得到切线刚度和荷载刚度矩阵：由基本连续体单元刚度矩阵的变换，得到切线刚度和荷载刚度矩阵：连续体单元的切线刚度矩阵连续体单元的切线刚度矩阵 5 5个自由度公式个自由度公式 如如果果没没有有扭扭转转，不不考考虑虑 ，或或刚刚体体转转动动对对变变形形没没有有影影响响，每每个节点处的壳的运动用个节点处的壳的运动用5 5个自由度描述。主控节点的节点速度为个自由度描述。主控节点的节点速度为 对对于于CBCB壳壳理理论论，5 5个个比比6 6个个自自由由度度的的描描述述更更加加合合适适。当当壳壳为为平平坦坦时时，对对于于6 6个个自自由由度度的的描描述述其其刚刚度度为为奇奇异异的的。另另一一方方面面，5 5个个自自由由度度的的描描述述必必须须在在角角点点处处进进行行修修正正，使使其其符符合合结结构构特特点点。对对于于在在节节点点处处采采用用可可变变化化自自由由度度数数目目的的软软件件，仅仅在在需需要要增增加加附附加加自自由由度度的的那那些些节节点点处处应用应用6 6个自由度可能是最合适的，如连接处。个自由度可能是最合适的，如连接处。在在Mindlin-Reisssner理论中，横向剪应力理论中，横向剪应力沿沿着着壳壳的的厚厚度度方方向向为为常常数数。由由于于应应力力张张量量的的对对称称性性，在在这这些些表表面面的的横向剪力必须为零横向剪力必须为零，除非一个剪切面力施加在上表面或者下表面。，除非一个剪切面力施加在上表面或者下表面。对对于于平平衡衡状状态态下下弹弹性性梁梁的的分分析析表表明明，沿沿梁梁的的厚厚度度方方向向，横横向向剪剪应应力力应应该该为为二二次次的的，在在上上下下表表面面处处为为零零。因因此此，常常值值剪剪切切应应力力分分布布高估了剪切能量高估了剪切能量。通通常常采采用用一一个个修修正正因因数数，如如矩矩形形截截面面为为5/65/6，已已知知为为剪剪切切修修正正，以以减减少少与与横横向向剪剪切切相相关关的的能能量量，并并且且对对于于弹弹性性梁梁和和壳壳可可以以做做出出关关于于这这个个因因数数的的精精确确估估计计。然然而而，对对于于非非线线性性材材料料，估估计计一一个个剪剪切切修修正正因数是非常困难的。因数是非常困难的。结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论A结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论 在在KirchhoffKirchhoff-Love-Love理理论论中中的的非非协协调调性性甚甚至至更更加加严严重重，由由于于运运动学的假设动学的假设(平截面假设并垂直中面平截面假设并垂直中面)，导致了横向剪力为零。，导致了横向剪力为零。在在结结构构理理论论中中，如如果果力力矩矩不不是是常常数数，在在梁梁中中的的剪剪力力必必须须非非零零。因因此此，KirchhoffKirchhoff-Love-Love的的运运动动学学假假设设与与平平衡衡方方程程是是矛矛盾盾的的。但但是是，与与实实验验结结果果比比较较证证明明它它是是相相当当精精确确的的，并并且且对对于于薄薄的的均均匀匀壳壳，它它恰与恰与Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论同样精确。理论同样精确。在在薄薄壁壁结结构构的的变变形形中中，横横向向剪剪力力并并没没有有起起到到重重要要的的作作用用，是是否否考考虑虑它它的的作作用用几几乎乎没没有有影影响响。M-RM-R单单元元简简单单，甚甚至至当当横横向向剪剪力力的影响可以忽略时，应用的影响可以忽略时，应用M-RM-R单元也满足精度。单元也满足精度。修修正正的的Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner CBCB模模型型提提供供了了产产生生误误差差的的附附加加可可能能性性。如如果果方方向向矢矢量量不不垂垂直直于于中中面面，则则运运动动与与实实验验观观察察到到的的运运动动将将会有明显的偏差。会有明显的偏差。当当一一个个法法向向面面力力施施加加在在壳壳的的任任何何面面上上时时，零零法法向向应应力力的的假假设设是矛盾的，这里是是矛盾的，这里是 (这是学生经常问到的问题这是学生经常问到的问题)。为为了了平平衡衡，法法向向应应力力必必须须等等于于所所施施加加的的法法向向面面力力。然然而而，在在结结构构理理论论中中它它们们被被忽忽略略了了，因因为为与与轴轴向向应应力力相相比比它它们们是是非非常常小小的的；法向应力仅仅吸收了很小部分能量，对变形几乎没有影响。法向应力仅仅吸收了很小部分能量，对变形几乎没有影响。结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB壳理论壳理论l 应用实例pts sms ss sm=?s st =?mm 应用实例pmm 应用实例pttt(2 l)ppDl结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论 在在壳壳体体的的分分析析中中，要要注注意意边边界界效效应应。某某些些边边界界条条件件导导致致了了边边界界效效应应，在在较较窄窄的的边边界