清华大学微积分教学课件3

第十三讲第十三讲 泰勒公式泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式四、五个常用函数的四、五个常用函数的泰勒泰勒公式公式一、函数逼近、泰勒多项式一、函数逼近、泰勒多项式五、五、泰勒泰勒公式的应用公式的应用7/4/20241（二）函数近似（二）函数近似 用用多项式多项式逼近函数逼近函数.逼近有两种看法：逼近有两种看法：（1）在一点附近近似这个函数好；）在一点附近近似这个函数好；泰勒公式泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。）在区间上整体逼近得好。傅立叶级数、正交多项式傅立叶级数、正交多项式（一）（一）比较比较一、函数逼近、泰勒多项式一、函数逼近、泰勒多项式7/4/20242 在讨论函数的微分时，已经得出在讨论函数的微分时，已经得出:7/4/20243如何提高近似公式的精度如何提高近似公式的精度？（1）怎样确定系数？）怎样确定系数？（2）怎样确定误差？）怎样确定误差？7/4/202447/4/20245代入上述条件得到代入上述条件得到7/4/20246即即于是于是7/4/20247二、带皮亚诺余项的泰勒公式二、带皮亚诺余项的泰勒公式定理定理1:1:7/4/202487/4/20249证证 应用应用罗必达法则罗必达法则只须证明只须证明能否再用能否再用罗比达法则？罗比达法则？应用导数定义应用导数定义不能再用不能再用罗必达法则罗必达法则！7/4/202410三、带拉格朗日余项的泰勒公式三、带拉格朗日余项的泰勒公式定理定理2:2:7/4/202411证明思路分析证明思路分析带拉格朗日余项的泰勒公式变形为带拉格朗日余项的泰勒公式变形为应用应用柯西中值定理柯西中值定理7/4/202412证证作辅助函数作辅助函数7/4/202413连续使用（连续使用（n+1）次柯西中值定理）次柯西中值定理证毕证毕7/4/202414注意注意1 拉格朗日余项的其他形式拉格朗日余项的其他形式注意注意2 拉格朗日中值定理可以看成是拉格朗日中值定理可以看成是 0 阶阶 拉格朗日余项泰勒公式。拉格朗日余项泰勒公式。注意注意3 两种形式余项的泰勒公式，各自成立两种形式余项的泰勒公式，各自成立 的条件不同。应用范围不同。的条件不同。应用范围不同。7/4/202415 注意注意4 或者或者麦克劳林公式麦克劳林公式7/4/202416四、五个常用函数的麦克劳林公式四、五个常用函数的麦克劳林公式 7/4/2024177/4/2024187/4/2024197/4/202420277/4/202421 五个常用函数的麦克劳林公式五个常用函数的麦克劳林公式7/4/2024227/4/2024237/4/2024247/4/202425解解7/4/2024267/4/2024277/4/202428三阶呢？三阶呢？不存在不存在！7/4/202429解解 7/4/202430谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生