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二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式一、泰勒公式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 泰勒(Taylor)公式 第三三章 二、几个函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式三、泰勒公式的一、泰勒公式一、泰勒公式当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0)附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f(x)且当机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒公式当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点一、问题的提出一、问题的提出机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出机动 目录 上页 下页 返回（如下图）（如下图）机动 目录 上页 下页 返回 结束（如下图）机动 目录 上页 下页 返回 不足之处不足之处问题问题:1、精确度不高、精确度不高2、误差不能估计。、误差不能估计。机动 目录 上页 下页 返回 结束 不足之处问题:1、精确度不高2、误差不能估计。机动 目录机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒(Taylor)中值定理机动 目录 上页 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项机动 目录 上页 注注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式上述公式称为f(x)的麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.因此可令 在泰勒公式中取从而泰勒公式变为较简单的形式,即 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个函数的麦克劳林公式上述公式称为f(x)的麦克劳林(故例例1:1:求函数解解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例1:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以 机动 其中令n=2m，于是有例例2:2:求函数解解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中令n=2m，于是有例2:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开类似地,可得其中其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地,可得其中其中机动 目录 上页 下页 其中以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 例例3:3:求解解:因为 又 的麦克劳林展开式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用1.求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4:4:求函数 解解:因为 处的泰勒展开式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4:求函数 解:因为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 解机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 例例5:5:利用的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.解解:取n=8，进行计算得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.在近似计算中的应用 例5:利用的8阶麦克劳林展开式计算其误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其误差 机动 目录 上页 下页 返回 五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件泰勒公式课件习题3-3（P91)1(2)、2 习题3-3（P91)1(2)、2
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