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1 7/3/2024 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 7/3/2024 q r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 r.v.间的某种关系的数间的某种关系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性都可用数字数字来描写3 7/3/2024 r.v.函数函数 Y=g(X)的数学期望的数学期望数学期望的计算数学期望的计算4 7/3/2024 r.v.函数函数 Z=g(X，Y)的数学期望的数学期望q E(C)=Cq E(aX)=a E(X)q E(X Y)=E(X)E(Y)q 当当X,Y 独立时，独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).数学期望的性质数学期望的性质常数常数5 7/3/2024 方差的计算方差的计算(1)(1)利用利用公式公式计算计算 (2)(2)利用利用定义定义计算计算 常用于有关常用于有关方差的证明方差的证明6 7/3/2024 方差的性质方差的性质(1)(2)(3)设设 X,Y 相互独立相互独立,证证7 7/3/2024 分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布常见随机变量的期望与方差常见随机变量的期望与方差8 7/3/2024 X 的标准化随机变量的标准化随机变量4.2 方方 差差 9 7/3/2024 几个重要的几个重要的 r.v.函数的数学期望函数的数学期望 X 的的 k 阶原点矩阶原点矩 X 的的 k 阶绝对原点矩阶绝对原点矩 X 的的 k 阶中心矩阶中心矩 X 的方差的方差 X,Y 的的 k+l 阶混合原点矩阶混合原点矩 X,Y 的的 k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩 X,Y 的的 二阶原点矩二阶原点矩 X,Y 的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差的协方差 X,Y 的相关系数的相关系数10 7/3/2024 cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)1.1.定义定义 cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)cov(X,Y)=cov(Y,X)2.2.简单性质简单性质 cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)a,b是常数是常数cov(X,X)=D(X)协方差协方差11 7/3/2024 4.4.随机变量随机变量和和(差差)的方差与协方差的关系的方差与协方差的关系D(X Y)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)3.3.协方差的计算协方差的计算 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)12 7/3/2024 相关系数相关系数q 相关系数的性质相关系数的性质q 存在常数存在常数a,b,使使13 7/3/2024 1010题题 某人有某人有n把钥匙，其中只有一把能打开门，把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开为止，求试开次数的数学期望。打开为止，求试开次数的数学期望。解解表示事件表示事件“第第k次试开是成功的次试开是成功的”。X表示试开次数表示试开次数.14 7/3/2024 15 7/3/2024 解解1111题题16 7/3/2024 17 7/3/2024 因此有因此有18 7/3/2024 19 7/3/2024 1313题题求求设随机变量设随机变量X,Y的密度函数分别为：的密度函数分别为：解解20 7/3/2024 21 7/3/2024 1818题题 将将n只球只球(1n号号)随机的放进随机的放进n只盒子只盒子(1n号号)中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个为配对的个数，求数，求E(X).解解 引入随机变量引入随机变量 ，第第i个球配对成功个球配对成功第第i个球配对失败个球配对失败22 7/3/2024 1919题题 在长为在长为l的线段上任意取两点，求两点间的线段上任意取两点，求两点间距离的数学期望与方差距离的数学期望与方差.解解 设设X,Y分别表示两点坐标，由题知分别表示两点坐标，由题知X与与Y相互相互独立，且均服从区间独立，且均服从区间0到到l的均匀分布的均匀分布.X与与Y的联合密度函数为的联合密度函数为23 7/3/2024 设设Z表示两点间距离，则表示两点间距离，则24 7/3/2024 2323题题 解解 X,Y的分布律分别为：的分布律分别为：XY的分布律为：的分布律为：故故A,B相互独立相互独立25 7/3/2024 故故X,Y相互独立相互独立26 7/3/2024 2828题题相关系数为相关系数为0.4，求，求 解解设随机变量设随机变量X与与Y的方差分别为的方差分别为25和和36，27 7/3/2024 2929题题 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立,且都服从正态且都服从正态分布分布 ，令，令 ，(a,b 均为非零常数）求均为非零常数）求 解解 由题知，由题知，又又X与与Y相互独立，故相互独立，故28 7/3/2024 解法解法129 7/3/2024 解法解法230 7/3/2024 解法解法331 7/3/2024 解法解法4 D(X Y)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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