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第第2323讲讲 与几何相关的应用题与几何相关的应用题1第23讲与几何相关的应用题1.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;2(2)无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.3解析解析(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图甲),图甲依题意,AC=3BC.在ABC中,sinBAC=sinABC=.4因为sin17,所以BAC=17.从而缉私艇应向北偏东47方向追击.在ABC中,cos120=,解得BC=1.68615.又B到边界线l的距离为3.8-4sin30=1.8,1.686151.8,所以能在领海内成功拦截走私船.(2)如图乙,以A为原点,正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.5图乙则B(2,2),设缉私艇在P(x,y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇,则=3,即=3.6整理得+=,所以点P(x,y)的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.因为圆心到领海边界线l:x=3.8的距离为1.55,大于圆的半径,所以缉私艇总能在领海内截住走私船.72.如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AB上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan=.(1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求;(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心8的截面面积最大?(注:计算中取3)9解析解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心为H(9,6),半径r=9,设太阳光线所在10直线的方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b=(舍).故太阳光线所在直线的方程为y=-x+24,令x=30,得EG=1.5米时,f(r)0,函数y=f(r)为增函数;当r时,f(r)0,函数y=f(r)为减函数.又因为r,所以函数y=f(r)在上为增函数,所以当r=时,首饰盒制作费用最低.17【核心归纳】弄清平面图形的结构及相关定理、结论,由此建立目标函数,再根据目标函数的特征选择函数、导数或不等式解决问题.18题型二与立体几何相关的应用题题型二与立体几何相关的应用题例例2(2017江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线AC的长为10cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.1920解析解析(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.21(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.22由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.23过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.设EGG1=,ENG=,则sin=sin=cosKGG1=.因为,所以cos=-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin=.24因为0,所以cos=.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sincos+cossin=+=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)25【核心归纳】与立体几何相关的问题一般有两种类型:一是利用立体图形的特征、截面图等转化为平面图形求解;二是利用立体图形相关的公式建立目标函数,转化为函数模型、三角函数模型等解决.262-1(2018南通第二次调研)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体,现有两种方案:方案:以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;方案:以l1为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1与l2垂直)作为正四棱柱的两个底面.(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面,求底面半径;27(2)设l1的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案制成的正四棱柱的体积最大?28解析解析(1)设所得圆柱的半径为rdm,则(2r+2r)4r=100,解得r=.(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm,则即29所得正四棱柱的体积V=a2x=记函数p(x)=则p(x)在(0,2上单调递增,在2,+)上单调递减,所以当x=2时,p(x)max=20.所以当x=2,a=时,Vmax=20dm3.30题型三与解析几何相关的应用题题型三与解析几何相关的应用题例例3(2018扬州考前调研)某市为改善市民出行,准备规划道路建设.规划中的道路M-N-P如图所示,已知A,B是东西方向主干道边两个景点,且它们距离城市中心O的距离均为8km,C是正北方向主干道边上的一个景点,且距离城市中心O的距离为4km,线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km,线路NP段上的任意一点到O的距离都相等.以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.(1)求道路M-N-P的曲线方程;(2)现要在道路M-N-P上建一站点Q,使得Q到景点C的距离最短,问如何设置站31点Q的位置(即确定点Q的坐标).32解析解析(1)线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km,所以线路MN段所在曲线是以定点A,B为左、右焦点的双曲线的右上支,则其方程为x2-y2=64(8x10,0y6),因为线路NP段上的任意一点到O的距离都相等,所以线路NP段所在曲线是以O为圆心,ON长为半径的圆,由线路MN段所在曲线方程可求得N(8,0),则其方程为x2+y2=64(y0),故线路示意图所在曲线的方程为MN段:x2-y2=64(8x10,0y6),NP段:x2+y2=64(-8x8,y0).(2)当点Q在MN段上:设Q(x0,y0),又C(0,4),则|CQ|=,33由(1)得-=64,即|CQ|=,则|CQ|=,即当y0=2时,|CQ|min=6,当点Q在NP段时,设Q(x1,y1),又C(0,4),则|CQ|=,由(1)得+=64,即|CQ|=,即当y1=0时,|CQ|min=4.因为64,所以当Q的坐标为(2,2)时,点Q到景点C的距离最短.34【核心归纳】解决与解析几何相关的实际应用题的步骤:建立平面直角坐标系(已有的不需要建系);利用定义法、距离公式等将实际问题转化为数学问题;利用解析几何知识解决问题.353-1(2018江苏南通中学高三考前)如图,某人工景观湖外围有两条互相垂直的直线型公路l1,l2,且l1与l2交于点O.为方便游客游览,计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB.景观湖的轮廓可近似看成一个圆心为O,半径为2百米的圆,且公路AB与圆O相切,O与O在AB两侧.圆心O到l1,l2的距离均为5百米.设OAB=,AB长为L百米.(1)求L关于的函数解析式;(2)当为何值时,公路AB的长度最短?36解析解析(1)以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则O(5,5).在RtABO中,OA=Lcos百米,OB=Lsin百米.所以直线AB的方程为+=1,37即xsin+ycos-Lsincos=0.因为直线AB与圆O相切,所以=2,因为点O在直线AB的上方,所以5sin+5cos-2-Lsincos=0,解得L=.因此,L关于的函数解析式为L=,.38 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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