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第一节第一节 参数的点估计参数的点估计第二节第二节 估计量的评价标准估计量的评价标准第三节第三节 参数的区间估计参数的区间估计参数估计第一节 参数的点估计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法三、内容小结三、内容小结第七章一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法注意：注意：二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故故对不同的样本值对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,因此因此如何求得参数如何求得参数 的估计量便是问题的关键所在的估计量便是问题的关键所在.常用构造估计量的方法常用构造估计量的方法:(两种两种)1.矩估计法矩估计法2.最最(极极)大似然估计法大似然估计法.1.矩估计法矩估计法 基本思想基本思想：用：用样本矩样本矩估计估计总体矩总体矩,用用样本矩的连续函数样本矩的连续函数来估计来估计总体矩的连续函数总体矩的连续函数,理论依据理论依据:它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思思想建立起来的一种估计方法想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的.大数定律大数定律记总体记总体k阶原点矩为阶原点矩为样本样本k阶原点矩为阶原点矩为记总体记总体k阶中心矩为阶中心矩为样本样本k阶中心矩为阶中心矩为 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称这种估计法称为为矩估计法矩估计法.设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为m个待估参数个待估参数(未知未知)为来自总体为来自总体X的简单随机样本的简单随机样本.矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤:矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计量的观察值称为矩估计值.注注方程组方程组中方程的个数中方程的个数等于等于待估参数的个数待估参数的个数.解解根据矩估计法，令根据矩估计法，令例例1解解例例2解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为解解解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为例例3注注.上例表明上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异同的总体分布而异.一般地一般地:例例4 设总体设总体X的分布密度为的分布密度为为来自总体为来自总体X的样本的样本.求参数求参数 的矩估计量的矩估计量.分析：分析：一般地，一般地，只需要求：只需要求：的矩估计量的矩估计量.不含有不含有，故不能由此得到故不能由此得到 的矩估计量的矩估计量.解解(方法方法1)要求：要求：的矩估计量的矩估计量(方法方法2)要求：要求：的矩估计量：的矩估计量：注注此例表明：同一参数的矩估计量可不唯一此例表明：同一参数的矩估计量可不唯一.矩估计法的矩估计法的优点：优点：简单易行简单易行,并不需要事先并不需要事先 知道总体是什么分布知道总体是什么分布.缺点：缺点：当总体类型已知时，没有当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息.一般场合下一般场合下,矩估计量不矩估计量不 具有唯一性具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替总体矩用相应样本矩代替,带有一定的随意性带有一定的随意性.小结：小结：最最大大似似然然估估计计法法是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的一种参数估计方法的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯在高斯在1821年提出的年提出的,GaussFisher 然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇.费歇费歇在在1922年重新发现了年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质法的一些性质.2.最大似然估计法最大似然估计法 为自总体为自总体X的样本的样本(X1,X2,Xn)的一的一个观察值个观察值，则称样本的联合分布则称样本的联合分布(1)似然函数似然函数定义定义7.1设总体设总体X的分布密度的分布密度(或分布律或分布律)为为 p(x;),又设又设p(x1,x2,xn;)为为似然函数似然函数.注注1 离散型离散型X此时，此时，2 连续型连续型X此时，此时，(2)最大似然估计量最大似然估计量(值值)定义定义最大似然估计值最大似然估计值 (MLE).maximum likelihood estimate注注1 对于对于给定给定的样本值的样本值求求 的的最大似然估计问题，归结为求最大似然估计问题，归结为求 L()的最的最大值问题大值问题;则称则称 由于由于而而 有有相同的最大相同的最大值点，因此点，因此，为最大似然估最大似然估计的必要条件的必要条件为 称它称它为似然方程似然方程组，其中，其中(3)求最大似然估计求最大似然估计(MLE)的的步骤步骤:注注1 上述求最大似然估计的方法，要求上述求最大似然估计的方法，要求lnL可微，可微，若不满足此条件，则须从定义出发求最大似若不满足此条件，则须从定义出发求最大似然估计然估计.2 似然方程组是最大似然估计的必要条件，似然方程组是最大似然估计的必要条件，而非充分条件而非充分条件.解解似然函数似然函数例例7这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解例例8这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解X 的的似然函数为似然函数为例例9它们与相应的矩它们与相应的矩估计量相同估计量相同.解解例例10分析分析三、内容小结三、内容小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法再用矩估计法.
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