资源描述
第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理教学内容教学内容 1 大数定律大数定律 2 中心极限定理中心极限定理教学重点教学重点 中心极限定理的应用中心极限定理的应用 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率这种这种稳定性稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背静就是本节所要讨论的大数定律的客观背静一一 依概率收敛定义及性质依概率收敛定义及性质 定义定义性质性质请注意请注意:二、大数定律二、大数定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫切比雪夫 则对任意的则对任意的0，有，有做前做前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均证证由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得说明说明问题问题:伯努利伯努利 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，是事件是事件A发生的频率发生的频率.设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生在每次试验中发生的概率，则对于任意正数的概率，则对于任意正数 0，有，有 定理定理2（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）或或 伯努利伯努利证明证明 证毕证毕注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.或或此定理说明了频率的稳定性此定理说明了频率的稳定性下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数则对于任意正数，有，有定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径值提供了一条实际可行的途径.注注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地.计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计产量的一个估计.例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码号码.设设，k=1,2,问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？即即对对任意的任意的0,解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律数定律.小结小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。来刻画。中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机因随机因素的对素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小的的.那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪？如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题的规律性问题.高斯高斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不，故我们不研究研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.一、中心极限定理一、中心极限定理定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）注注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.例题 一册400页的书中每一页的错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书中的错误不多于88个概率利用独立同分布中心极限定理=0.8133定理定理6(棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De LaplaceDe Laplace定理）定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有证证 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1是一个定值时（或是一个定值时（或者说，者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变量变量 的的分布分布近似正态分布近似正态分布 N(np,np(1-p).即即例例1于是于是解解例例2解解例例3.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由于在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停工停工.设开工率为设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率工作的概率0.6 ,共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台台工作所需电力即工作所需电力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里这里 np=120,np(1-p)=48由由3准则，准则，此项为此项为0。查正态分布函数表得查正态分布函数表得即所求即所求N=142.练习：练习：1、根根据据以以往往经经验验，某某种种电电器器元元件件的的寿寿命命服服从从均均值值为为100小小时时的的指指数数分分布布.现现随随机机地地取取16只只，设设它它们们的的寿寿命命是是相相互互独独立立的的.求求这这16只只元元件件的的寿寿命命的的总总和和大大于于1920小小时的概率时的概率.2、有一批建筑房屋用的木柱，其中有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小的长度不小于于3m，现从中随机取出，现从中随机取出100根，问其中至少有这根，问其中至少有这30根短于根短于3m的概率。的概率。四、小结四、小结中中心心极极限限定定理理注注1 1 了解大数定律的意义和内容，了解大数定律的意义和内容，理解伯努利大数定理、辛钦定理，理解伯努利大数定理、辛钦定理，了解切比雪夫大数定理。了解切比雪夫大数定理。2 2 了解中心极限定理的含义及其客观背景，了解中心极限定理的含义及其客观背景，掌握独立同分布的中心极限定理和棣莫掌握独立同分布的中心极限定理和棣莫 弗弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理,会利用中心极限定理会利用中心极限定理 解决一般实际应用问题。解决一般实际应用问题。全章要求全章要求
展开阅读全文