资源描述
一、一、均匀分布均匀分布若若 X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X 服从区间服从区间(a,b)上的上的均匀分布，均匀分布，记作记作1、均匀分布的密度函数与分布函数、均匀分布的密度函数与分布函数即即 X 落在落在(a,b)内任何长度为内任何长度为 d c 的小区间的概的小区间的概率与小区间的位置无关率与小区间的位置无关,只与其长度成正比只与其长度成正比.这这正是几何概型的情形正是几何概型的情形.2.5 常见的连续型常见的连续型r.v.的分布的分布X 的分布函数为的分布函数为xp(x)abxF(x)ba例例1 1 设设XU(0,10),现对现对X作作4次独立观测次独立观测,试求至少有试求至少有3次观测值大于次观测值大于5的概率的概率.(P108)注注:U(0,1)分布称为标准均匀分布分布称为标准均匀分布进行大量数值计算时进行大量数值计算时,若在小数点后第若在小数点后第K+1 位进行四舍五入位进行四舍五入,则产生的误差可以看作则产生的误差可以看作服从服从 的随机变量的随机变量.均匀分布的应用场合均匀分布的应用场合设设 X U(a,b),则则2、均匀分布的期望与方差均匀分布的期望与方差即小数点后即小数点后保留保留k位位二、二、指数分布指数分布 0 为常数为常数,则称则称 X 服从服从 参数为参数为 的的指数分布指数分布,记作记作X 的分布函数为的分布函数为若若 X 的密度函数为的密度函数为1、指数分布的密度函数与分布函数、指数分布的密度函数与分布函数1xF(x)0 xp(x)0注注:对于任意的对于任意的 0 a 0,t 0,有有故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布3、指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上事实上,例例3 3 假定一大型设备在任何长为假定一大型设备在任何长为 t 的时间的时间(0,t内发生故障的次数内发生故障的次数 N(t)P(t),求求(1).相继两次故障的时间间隔相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布的概率分布;(P110）(1).设备已正常运行小时的情况下设备已正常运行小时的情况下,再正常再正常 运行运行 10 小时的概率小时的概率.三、三、伽玛分布伽玛分布性质性质:1、伽玛函数、伽玛函数为为 伽玛函数伽玛函数.其中其中 称称则称则称X 服从服从参数为参数为，(0)的的-分布，分布，记为记为 X Ga(,)若若 X 的密度函数为的密度函数为2、伽玛分布的密度函数、伽玛分布的密度函数3、伽玛分布的期望与方差伽玛分布的期望与方差设设 X Ga(),则则 为形状参数为形状参数为尺度参数为尺度参数伽玛分布的应用场合伽玛分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第 k 次冲击时即告失效，则次冲击时即告失效，则第第k次冲击来到次冲击来到的时间的时间X 服从伽玛分布（第一参数为服从伽玛分布（第一参数为k）。.当当=1=1时时,Ga(1,)是参数为是参数为的的指数分布指数分布.4、伽玛分布的两个特例伽玛分布的两个特例 .当当=n/2,=1/2时时,Ga(,)是自由度为是自由度为n n 的的 分布分布.记为记为此时此时X 的密度函数为的密度函数为期望和方差分别为期望和方差分别为伽玛分布与指数分布的关系：伽玛分布与指数分布的关系：若第一参数若第一参数(形状参数形状参数)为为k，则伽玛变量可，则伽玛变量可以表示成以表示成 k 个独立同分布的指数变量的和，个独立同分布的指数变量的和，即若即若 X Ga(k,)，则，则 X=X1+X2+Xk，其中其中X1,X2,Xk是独立的且都服从指数分布是独立的且都服从指数分布Exp()的随机变量的随机变量.四、四、正态分布正态分布若若X 的的 密度函数为密度函数为则称则称 X 服从参数为服从参数为 ,2 的的正态分布正态分布,记作记作 X N(,2)为常数，为常数，注注:亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布1、正态分布的密度函数与分布函数、正态分布的密度函数与分布函数(Normal)注注1:正态密度曲线正态密度曲线 p(x)的性质的性质：(1)图形关于直线图形关于直线 x=对称对称,即即(2)x=时时,p(x)取得最大值取得最大值(3)x=为曲线为曲线 y=p(x)的拐点的拐点(4)曲线曲线 y=p(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线(5)曲线曲线 y=p(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状p(+h)=p(-h)例如 N(-3,1.2)0 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线.注注2:p(x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定 ,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 p(x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同.尺度参数尺度参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，p(x)的高矮胖瘦不同的高矮胖瘦不同.若若 1 0)的值的值有专门的表供查有专门的表供查 P423.-uu常用计算公式常用计算公式例例4 4 设设 U N(0,1),求求(1)P(U 1.52)(2)P(U -1.52)(3)P(-0.75 U 1.52)(4)P(|U|1.52)定理定理 设设X N(,2),则则证明证明 采用分布函数法采用分布函数法3、一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化计算公式计算公式例例5 5 设设 X N(108,32),求求 (P104)例例6 6 设测量的误差设测量的误差 X N(7.5,100)(单位单位:米米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过次误差的绝对值不超过10米的概率大于米的概率大于0.9?例例7 7 恒温箱内的实际温度恒温箱内的实际温度X为一个随机变量为一个随机变量,若将温度调节器定在若将温度调节器定在d（），且），且 求求:(1)d=90,时时,箱内温度在箱内温度在89至至91的概率的概率.(2)d=90,时时,箱内温度在箱内温度在8989至至9191的概率的概率.(3)(3)当当 时时,要有要有95%95%的把握保证箱内温的把握保证箱内温度不低于度不低于90,90,应将调节器设定在多少度为宜应将调节器设定在多少度为宜?(P105)设设 X N(,2),则则4、正态分布的期望与方差正态分布的期望与方差设设 X N(,2),求求解解:正态分布的正态分布的3 原则原则5、上述结果表明，在一次试验中上述结果表明，在一次试验中,X 落入落入区间区间(-3 ,+3 )的概率为的概率为 0.9973,而而超出此区间的可能性很小超出此区间的可能性很小.称之为称之为3 原则原则由由3 原则知原则知，当当五、五、贝塔分布贝塔分布性质性质:1、贝塔函数、贝塔函数为为 贝塔函数贝塔函数.其中其中 a,b0 称称 则称则称X 服从服从参数为参数为a,b 的的贝塔贝塔分布，分布，记为记为XBe(a,b)若若 X 的密度函数为的密度函数为2、贝塔分布的密度函数、贝塔分布的密度函数3、贝塔分布的期望与方差贝塔分布的期望与方差设设 X Be(a,b),则则a,b都是形状参数都是形状参数注：注：Be(1,1)=U(0,1)贝塔分布的应用场合贝塔分布的应用场合 仅在区间仅在区间(0,1)上取值的上取值的各种比率各种比率通常服从通常服从贝塔分布贝塔分布.如：如：射击的命中率射击的命中率X不合格品率不合格品率Y机器的维修率机器的维修率Z市场的占有率市场的占有率X
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