概率与数理统计-45-特征函数课件

一、概念一、概念Def.1.设X,Y 为(,)概率空间中的两个实随机变量,则称Z=X+iY 复随机变量,i2=-1.性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究性质2二维r.v.(X,Y),有如下性质：独立 Z1,Z2 独立(1)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1)与(X2,Y2)4.5 特征函数特征函数一、概念Def.1.设X,Y 为(,)概率空1(2)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2 Def.2.设X为为(,)概率空间中的实随机变量,其特征函数(c.d.f.)定义为Remark1:Euler公式为Remark2:特征函数是关于实变量t的复值函数,由于 所以特征函数对一切实数t 均有意义.(2)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量2Remark3:特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数若离散型随机变量X的分布律为则其特征函数为若连续型随机变量X的p.d.f.为则其特征函数为即为的Fourier变换.Remark3:特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特3重要分布的特征函数:EX1 退化分布I(x-c)的特征函数EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数EX3 二项分布B（n，p)的特征函数重要分布的特征函数:EX1 退化分布I(x-c)的特征函数4EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数EX5 Gamma分布的特征函数EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数EX5 Gamma分布5EX6 正态分布的特征函数EX6 正态分布的特征函数6二、性质性质性质1 1为某随机变量的特征函数，则(1)(3)是连续函数.(2)非负定，即为复数，则有注：上述三条性质为特征函数的特征性质，满足这三条性质，则其必为特征函数。二、性质性质1为某随机变量的特征函数，则(1)(3)是连续函7(2)非负定，证明证明(1)显然有(2)非负定，证明(1)显然有8(3)(3)9先取定a,使对于,取,当时，有从而从而是连续函数.且一致连续。先取定a,使对于,取,当时，有从而从而是连续函数.且一致连10性质性质2 2为某随机变量的特征函数，则性质性质3 3为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2的特征函数为性质性质4 4为某随机变量X，Y 的特征函数，若X，Y 独立，则性质2为某随机变量的特征函数，则性质3为某随机变量X的特征函11则性质性质5 5为某随机变量X 的特征函数，存在三、逆转公式与唯一性定理三、逆转公式与唯一性定理引理引理1 1 设则性质5为某随机变量X 的特征函数，存在三、逆转公式与唯一性12则证明:根据Dirichlet积分：则证明:根据Dirichlet积分：13定理定理1 1（逆转公式）（逆转公式）设分布函数(x)的特征函数为且为(x)的连续点，则证明：不妨设由于定理1（逆转公式）设分布函数(x)的特征函数为且为(x)14由Fubini定理交换积分次数得到由Fubini定理交换积分次数得到15因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得由引理由引理1 1知知有界，有界，因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得由引理1知有界，16定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿F(x)连续点趋于时，有而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定证明：应用逆转17定理3（Fourier逆变换）若则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有因此证明：由逆转公式，如为F(x)的连续点，则定理3（Fourier逆变换）若则相应的分布函数F(x)的导18由于由于因此由控制收敛定理知：因此由控制收敛定理知：由于因此由控制收敛定理知：19四、分布函数的再生性四、分布函数的再生性许多重要的分布函数具有一个有趣的性质许多重要的分布函数具有一个有趣的性质再生再生性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个例子来说明。例子来说明。所以所以证明：证明：由唯一性定理知由唯一性定理知若若且且独立，则独立，则EX5四、分布函数的再生性许多重要的分布函数具有一个有趣的性质20证明：证明：所以所以且独立，则EX6证明：所以且独立，则EX621证明：证明：所以所以且独立，则且独立，则EX7证明：所以且独立，则EX722五、多元特征函数五、多元特征函数若随机向量若随机向量的分布函数为的分布函数为则它的特征函数定义为则它的特征函数定义为通常记通常记则上式表示为则上式表示为五、多元特征函数若随机向量的分布函数为则它的特征函数定义为通23类似地有下列若干性质类似地有下列若干性质（1 1）在在中一致连续，且中一致连续，且（2 2）若）若为为的特征函数，则的特征函数，则的特征函数为的特征函数为（3 3）若矩）若矩存在，则存在，则类似地有下列若干性质（1）在中一致连续，且（2）若为的特征函24则则k k维随机向量维随机向量的特征函数为的特征函数为（4 4）的特征函数为的特征函数为（5 5）（逆转公式）若）（逆转公式）若为为的特征函数，而的特征函数，而为分布函数，则为分布函数，则则k维随机向量的特征函数为（4）的特征函数为（5）（逆转公式25其中其中为任意实数，但满足唯一的要求：为任意实数，但满足唯一的要求：落在平行线落在平行线的面上的概率等于的面上的概率等于0 0（6 6）（唯一性定理）分布函数）（唯一性定理）分布函数由其由其特征函数唯一确定。特征函数唯一确定。（7 7）特征函数为特征函数为而而的特征函数为的特征函数为其中为任意实数，但满足唯一的要求：落在平行线的面上的概率等于26则则相互独立的充要条件相互独立的充要条件为：为：的特征函数的特征函数（8 8）的特征函数为的特征函数为则则与与独立的充要条件独立的充要条件的特征函数为的特征函数为则相互独立的充要条件为：的特征函数（8）的特征函数为则与独立27满足：满足：这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，我们将常用分布的一些结果列入下表我们将常用分布的一些结果列入下表（9 9）（连续性定理）若特征函数序列）（连续性定理）若特征函数序列收敛于一个连续函数收敛于一个连续函数,则函数则函数是某分布函数所对应的特征函数。是某分布函数所对应的特征函数。满足：这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，我们将常28分布名称分布名称分布或密度函数分布或密度函数期望期望方差方差特征函数特征函数退化分布0-1分布二项分布泊松分布几何分布Cp0pqExpictpExpit+qXCp1X0 1pq p分布名称分布或密度函数期望方差特征函数退化分布C0Expi29正态分布均匀分布指数分布 分布 分布 分布正态分布30多元正态分布多元正态分布一、密度函数与特征函数一、密度函数与特征函数其二阶中心矩定义为其二阶中心矩定义为则则X X 的数学期望定义为的数学期望定义为记记其中其中为随机变量为随机变量多元正态分布一、密度函数与特征函数其二阶中心矩定义为则X 的31的方差，协方差有下列性质：的方差，协方差有下列性质：由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为（1 1）为对称阵即为对称阵即（2 2）为非负定矩阵，记为为非负定矩阵，记为称称为协方差矩阵，也称为随机向量为协方差矩阵，也称为随机向量的方差，的方差，的方差，协方差有下列性质：由上述定义可以看出：协方差阵的对角32Proof:（1 1）显然）显然（2）所以所以非负定非负定Proof:（1）显然（2）所以非负定33（3 3）为为n n维随机向量，维随机向量，A,BA,B为为n n阶方阵，则阶方阵，则对于对于n n维维的的n n元正态分布的定义为元正态分布的定义为Proof（3）为n维随机向量，A,B为n阶方阵，则对于n维的n元正态34则则Th1、若、若则则由于由于为正定阵，则存在可逆阵为正定阵，则存在可逆阵P P，使，使令令Proof:则Th1、若则由于为正定阵，则存在可逆阵P，使令Proof:35令令令36Pf:不相关不相关.Th2Th2、若、若则则独立的充要条件为独立的充要条件为:相互独立，则根据独立性相互独立，则根据独立性与不相关概念知与不相关概念知不相关不相关.若若不相关，则不相关，则Pf:不相关.Th2、若则独立的充要条件为:相互独立，则根据37由特征函数的性质知：由特征函数的性质知：相互独立。相互独立。由特征函数的性质知：相互独立。38Th3Th3、若、若A A为为n n阶矩阵，则阶矩阵，则Proof:即正态分布的线性组合仍服从正态分布即正态分布的线性组合仍服从正态分布Th3、若A为n阶矩阵，则Proof:即正态分布的线性组合仍39（柯赫伦定理）（柯赫伦定理）设设且且型，则型，则相互独立且相互独立且其中其中关于关于的非负定二次的非负定二次是秩为是秩为Pf:显然；（柯赫伦定理）设且型，则相互独立且其中关于的非负定二次是秩为40概率与数理统计-45-特征函数课件41分布函数的其他特征数分布函数的其他特征数分布函数的其他特征数422 2、变异系数、变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但是比较两个但是比较两个R.VR.V波动大小时，仅看方差大小有时会产波动大小时，仅看方差大小有时会产生很不合理的现象，这里有两个原因生很不合理的现象，这里有两个原因:(1)(1)随机变量的取随机变量的取2、变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但43值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）比较波动大小，不太合理。（比较波动大小，不太合理。（2 2）若随机变量量纲相）若随机变量量纲相同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引入变异系数的概念。入变异系数的概念。定义定义值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）比较波动大小，443 3、分位数、分位数3、分位数45概率与数理统计-45-特征函数课件464 4、中位数、中位数5 5、偏度系数与峰度系数、偏度系数与峰度系数4、中位数5、偏度系数与峰度系数47概率与数理统计-45-特征函数课件48概率与数理统计-45-特征函数课件49