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Fri.Mar.8 Review1.多元函数：概念，极限，连续；多元函数：概念，极限，连续；2.多元初等函数的连续性；多元初等函数的连续性；3.有界闭区域上多元函数的性质：有界有界闭区域上多元函数的性质：有界性，最值定理，介值定理。性，最值定理，介值定理。Fri.Mar.8 Review.多元函数：2 2 偏导数偏导数n偏导数的概念偏导数的概念n高阶偏导数高阶偏导数 2 偏导数偏导数的概念一一.偏导数的概念偏导数的概念1.1.偏导数偏导数(partial derivative)(partial derivative)引例引例:研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度 ,中的中的 x 固定于固定于一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.x0 处处,关于关于 t 的的将振幅将振幅一.偏导数的概念1.偏导数(partial der高等数学中的-偏导数课件高等数学中的-偏导数课件高等数学中的-偏导数课件偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；义求；有关偏导数的几点说明：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求xz y0 由一元函数导数的几何意义：由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L：L=tan 2.2.偏导数的几何意义偏导数的几何意义.y=y0同理，同理，.MTx固定固定 y=y0 xz y0 由一元函数导数的几何意义：z=f(x,yM z=f(x,y)Lx=x0固定固定 x=x0Tx.xz y0M z=f(x,y)Lx=x0固定 x=x0TM 由一元函数导数的几何意义：由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=tan.x=x0固定固定 x=x0Tx Ty.xz y0M 由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=高等数学中的-偏导数课件3.3.偏导数的计算偏导数的计算3.偏导数的计算解解:解:解解:解:不存在不存在不存在证证:证:解解:解:按定义可知：按定义可知：按定义可知：解解:解:解解:解:4.4.偏导数和连续性的关系偏导数和连续性的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连连续续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4.偏导数和连续性的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数观察偏导数的定义：观察偏导数的定义：观察偏导数的定义：Mon.Mar.11 Review1.多元函数：概念，极限，连续；多元函数：概念，极限，连续；2.多元初等函数的连续性；多元初等函数的连续性；3.有界闭区域上多元函数的性质：有界有界闭区域上多元函数的性质：有界性，最值定理，介值定理。性，最值定理，介值定理。Mon.Mar.11 Review.多元函数4.4.偏导数的概念：偏导数的概念：4.偏导数的概念：一元函数在其可导点连续，在多元函数未必成立。一元函数在其可导点连续，在多元函数未必成立。Note:一元函数在其可导点连续，在多元函数未必成立。Note:5.5.偏导数的几何意义：偏导数的几何意义：5.偏导数的几何意义：偏导存在但不连续。偏导存在但不连续。偏导存在但不连续。连续连续,但偏导不存在。但偏导不存在。连续,但偏导不存在。偏导数存在偏导数存在连续连续.二者没有因果关系。二者没有因果关系。偏导数存在连续.二者没有因果关系。二二.高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二.高阶偏导数纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数解：解：并非偶然并非偶然解：并非偶然定理：定理：说明：说明：在二阶混合偏导数连续的条件下，它在二阶混合偏导数连续的条件下，它 与求偏导的次序无关。与求偏导的次序无关。定理：说明：在二阶混合偏导数连续的条件下，它证明：证明：证明：高等数学中的-偏导数课件高等数学中的-偏导数课件高等数学中的-偏导数课件例如例如,二者不等二者不等例如,二者不等解：解：解：解：解：解：(Laplace Equation)Laplace operator(Laplace operator(算子算子)(Laplace Equation)Laplace ope证：证：利用对称性利用对称性,有有证：利用对称性,有小结小结偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）hwhw：p70 1(5,7),3,4,6,8.p70 1(5,7),3,4,6,8.小结偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏
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