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.第三章.1.3.1 不定积分.2例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念.例定义：一、原函数与不定积分的概念.3原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？.原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)4关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）.关于原函数的说明：（1）若 5任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：被积表达式被积表达式积分变量积分变量.任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量.6例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求.例1 求解解例2 求.7例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为.例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等8显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论9实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分10基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：.基本积分表是常数);说明：.11.12.13例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）.例4 求积分解根据积分公式（2）.14证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质.证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不15例例5 5 求积分求积分解解.例5 求积分解.16例例6 6 求积分求积分解解.例6 求积分解.17例例7 7 求积分求积分解解.例7 求积分解.18例例8 8 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.例8 求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变19解解所求曲线方程为所求曲线方程为.解所求曲线方程为.20基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结.基本积分表(1)不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念21练习题练习题.练习题.22.23.24练习题答案练习题答案.练习题答案.25.263.23.2不定积分的计算不定积分的计算一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、三、分部积分法分部积分法.3.2不定积分的计算.27问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法.问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换28在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理.在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理.29实际计算时直接写做：实际计算时直接写做：定理定理1 1.实际计算时直接写做：定理1.30例例1 1 求求解（一）解（一）解（二）解（二）解（三）解（三）.例1 求解（一）解（二）解（三）.31例例2 2 求求解解.例2 求解.32例例3 3 求求解解.例3 求解.33例例4 4 求求解解.例4 求解.34例例5 5 求求解解.例5 求解.35例例6 6 求求解解.例6 求解.36例例7 7 求求解解.例7 求解.37例例8 8 求求解解.例8 求解.38例例9 9 求求原式原式.例9 求原式.39例例1010 求求解解.例10 求解.40例例1111 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例11 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑41例例1212 求求解解.例12 求解.42例例1313 求求解（一）解（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）.例13 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）.43解（二）解（二）类似地可推出类似地可推出.解（二）类似地可推出.44解解例例1414 设设 求求 .令令.解例14 设 45例例1515 求求解解.例15 求解.46例例16:求求同理可得同理可得:.例16:求同理可得:.47问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法.问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即48证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2.证设 为 49第二类积分换元公式第二类积分换元公式.第二类积分换元公式.50例例1616 求求解解 令令.例16 求解令.51例例1717 求求解解 令令.例17 求解令.52例例1818 求求解解 令令.例18 求解令.53说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令.说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉54 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解.积分中为了化掉根式是否一定采用三55例例2020 求求解解 令令.例20 求解令.56说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2121 求求令令解解.说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例21 求令解57例例2222 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）.例22 求解令（分母的阶较高）.58.59说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2323 求求解解令令.说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式 60.61基基本本积积分分表表.基本积分表.62.63三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2).三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、64思考题思考题求积分求积分.思考题求积分.65思考题解答思考题解答.思考题解答.66练练 习习 题题.练 习 题.67.68.69.70练习题答案练习题答案.练习题答案.71.72.73.3.2.2分部积分法.74问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容.问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本75例例1 1 求积分求积分解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二）令令.例1 求积分解（一）令显然，选择不当，积76例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数).例2 求积分解（再次使用分部积分法）总结 77例例3 3 求积分求积分解解令令.例3 求积分解令.78例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .例4 求积分解总结 若被积函数是79例例5 5 求积分求积分解解.例5 求积分解.80例例6 6 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式.例6 求积分解注意循环形式.81例例7 7 求积分求积分解解.例7 求积分解.82令令.令.83解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得.解两边同时对 求导,得.84例例9求：求：解：设解：设.例9求：解：设.85练练 习习 题题.练 习 题.86.87练习题答案练习题答案.练习题答案.88.89
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