求转动惯量-课件

第第5 5质心质心两体问题的动力学方程两体问题的动力学方程讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。然而日心系并不是严格的惯性系，只有定律方程。然而日心系并不是严格的惯性系，只有质心系质心系才是严格的惯性系才是严格的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质心。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。加速度为零。1第第5 5章章 刚体力学刚体力学转动惯量转动惯量定轴转动定理定轴转动定理定轴转动动能定理定轴转动动能定理平行轴定理平行轴定理薄板垂直轴定理薄板垂直轴定理2常见的转动惯量公式常见的转动惯量公式3直线运动与直线运动与定轴转动定轴转动对照表对照表质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动4例例 题题5例例1(求质心求质心)估算地球和月球组成的地月系估算地球和月球组成的地月系统的质心统的质心解：解：两质点系统的质心两质点系统的质心C 到两质点的距离分别为到两质点的距离分别为由杠杆关系由杠杆关系则则即地月系统质心在地球内距离地心约即地月系统质心在地球内距离地心约3/4地球半径处地球半径处6例例2（求质心）（求质心）均匀铁丝弯成半径为均匀铁丝弯成半径为R R的半圆形，求此半圆形的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。铁丝的质心。选如图坐标系，取长为选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以以 表示线密度，表示线密度，dm=dl如果是半球壳如果是半球壳?解：解：质心质心应应在在y轴上。轴上。7例例3（求质心）试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的（求质心）试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。质心的位置。解：取如图所示的坐标系。由于质量面解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度密度 为恒量，取微元为恒量，取微元ds=dxdy的质量为的质量为dm=ds=dxdy，所以质心的，所以质心的x 坐标为坐标为积分可得积分可得因而质心的坐标为因而质心的坐标为（也可用几何法）8ab讨论：如果为3根匀质细杆组成三角形而不是面密度均匀的三角形呢？9思考：不对称物体，有什么简单方法找到它的质心？悬挂法10例例4（求瞬心）（求瞬心）如图，仅受大小相等方向相反的一如图，仅受大小相等方向相反的一对力作用于一根静止的、自由的、质量均匀分布的对力作用于一根静止的、自由的、质量均匀分布的细棒的一端，细棒的一端，则此棒将绕则此棒将绕 点转动。点转动。ABOCC点不动点不动而以而以C为参考点，为参考点，M=I 0，因此杆相对，因此杆相对C点有转动点有转动杆绕定点杆绕定点C点转动点转动11例例5（质心系）：已知（质心系）：已知m1,m2,k,拉伸拉伸l0求求:(1)拉伸放手后运动特征拉伸放手后运动特征 (2)m1相对相对m2的最大速率的最大速率m2m1k解：解：(1)无外力，无外力，aC=0,质心静止质心静止相对于质心振动，振动频率两者相同相对于质心振动，振动频率两者相同位移：两者按杠杆关系，相对于质心方向相反位移：两者按杠杆关系，相对于质心方向相反m1相对相对m2的的最大速率是恢复到弹簧原长时最大速率是恢复到弹簧原长时上式是以上式是以m2为参考系计算的，不是惯性系。有偏差为参考系计算的，不是惯性系。有偏差正确的结果是用正确的结果是用 替换替换m(2)选择选择m2作为参考点，考察作为参考点，考察m1的运动的运动更直接的方法是利用行星运动方程求解更直接的方法是利用行星运动方程求解12o解：A离悬点后绳的质心自由下落，B相对质心速度不变 此刻B端速度 此刻质心速度 求质心 此刻质心比B高 伸直后质心比B高例6（质心系）长为l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂在固定点上。今使B端脱离悬挂点自由下落，如图所示，当B端下落高度为l/2时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳子完全伸直？(提示：在质心系中分析)y相对速度伸直用相差13例7（质心系）线性引力假设质点间的万有引力是线性的：其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。质心系是惯性系，以质心为坐标原点。质心第 i 个质点质点系总质量 m动力学方程组14方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。15第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面第 i 个质点只能在此平面内运动动力学方程可分解为：每个方程的解都是简谐运动，角频率都是合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为16附：两体问题的动力学方程附：两体问题的动力学方程讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。然而日心系并不是严格的惯性系，只有然而日心系并不是严格的惯性系，只有质心系才是严格的惯性系质心系才是严格的惯性系。因为不考。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。虑其他天体，无外力，质心加速度为零。在质心系中在质心系中mM：约化质量约化质量行星动力学方程行星动力学方程C相对位矢相对位矢17是上式的近似，偏差在于用是上式的近似，偏差在于用m代替代替 约化质量的出现替代了惯性力的贡献约化质量的出现替代了惯性力的贡献由于日心系是非惯性系，存在惯性力由于日心系是非惯性系，存在惯性力mM将太阳视为不动点时的行星运动方程将太阳视为不动点时的行星运动方程另解：在日心非惯性系中求解另解：在日心非惯性系中求解m/M 比值可表征日心系准惯性系的精度比值可表征日心系准惯性系的精度18其相对偏差为其相对偏差为只要只要，偏差很小，偏差很小m绕质心的运动、绕质心的运动、M绕质心运动、绕质心运动、m绕绕M的运动形式是相同的的运动形式是相同的参考点与运动形式参考点与运动形式19第第5 5章章 刚体力学刚体力学20例例1（求转动惯量）（求转动惯量）质量质量 m、长、长 l的匀质细杆，转轴垂直细的匀质细杆，转轴垂直细杆杆 (a)位于质心位于质心 (b)位于一端。位于一端。求：细杆的转动惯量求：细杆的转动惯量。(a)转轴位于质心(b)转轴位于一端x dxxOl或21例2（求转动惯量）：用一根长为1米的轻质刚杆将两个质量各为5.0千克的铅球连接成哑铃。(忽略铅球大小，当质点看待)求：哑铃(a)通过中心C且垂直于杆的轴的转动惯量；(b)绕通过一球且垂直于杆的轴的转动惯量。ABC22解：(a)转轴通过中心C且垂直于杆(b)转轴通过A或B且垂直于杆哑铃绕通过一端的轴的转动惯量等于绕过中心的轴的转动惯量的2倍。23例例3（求转动惯量）（求转动惯量）圆环与匀质圆盘，转轴过圆心圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，且于圆平面垂直，求求:它们的转动惯量它们的转动惯量圆环圆环匀质圆盘匀质圆盘24例例4（求转动惯量）（求转动惯量）质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量心轴的转动惯量在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径 r25方法二：26例例5（求转动惯量）（求转动惯量）求质量为求质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球的匀质球体绕过球心轴的转动惯量心轴的转动惯量把球体看作无数个厚度为把球体看作无数个厚度为dr 的同心薄球壳的组合的同心薄球壳的组合质量为质量为dm的半径为的半径为r的薄球壳转动惯量的薄球壳转动惯量dI27例例6（求转动惯量）（求转动惯量）质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量。量纲分析其中的系数待定边长a和b互换，转动惯量不变28应用平行轴定理比较系数29例例7(求转动惯量求转动惯量)匀质正方形薄板质量为m，各边长为a，在板平面设置过中心O的转轴MN，试求板相对该轴的转动惯量。OMN解：过O点作MNMN，则有I=IMN坐标系Oxy，相对xy轴转动有xy垂直轴定理有Iz是绕O且垂直与板平面，则30例例8(求转动惯量求转动惯量)如图如图,圆环质量圆环质量m1，半径，半径R，短棒质，短棒质量量m2,长度长度d。求：对求：对z轴的转动惯量轴的转动惯量根据平行轴定理，圆环对转轴根据平行轴定理，圆环对转轴z的转动惯量为的转动惯量为 圆环转动惯量转轴：过圆心，与纸面垂直圆环转动惯量转轴：过圆心，与纸面垂直解：解：因此，整个元件对因此，整个元件对z轴的转动惯量为轴的转动惯量为根据正交轴定理有根据正交轴定理有dzROy x z 31例例9(刚体定轴转动刚体定轴转动)长长l质量质量m的均匀细杆，一端固定在水平轴的均匀细杆，一端固定在水平轴O上，从水平位置，自静止释放后下摆。求上，从水平位置，自静止释放后下摆。求(1)和和d/dt (2)aC 和和aCn (3)fn和和f 解解 (1)外力外力fn和和f 不做功，不做功，mg为保守力，故为保守力，故m和地球系统机械能和地球系统机械能守恒。守恒。以杆处于水平位置为重力势能零点以杆处于水平位置为重力势能零点杆在任一位置与水平方向夹角杆在任一位置与水平方向夹角 时时机械能守恒方程为机械能守恒方程为对对 2求导求导 32 (2)dv/dt=r d /dtv2/=r 2 (3)合力合力33极值讨论极值讨论呼应两人抬杆，一人失手。可看作前面例题是本题呼应两人抬杆，一人失手。可看作前面例题是本题当当 =0时的瞬间情况时的瞬间情况34例例10(刚体定轴转动刚体定轴转动)如图所示，将单摆和一等长的匀质如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自，令它自静止状态下静止状态下垂，垂，于铅垂位置和直杆作于铅垂位置和直杆作弹性碰撞弹性碰撞。求碰。求碰撞后直杆下端达到的高度撞后直杆下端达到的高度h。chchh=3h0/2bamlh0l35令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:二式联立解得：二式联立解得：按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到的高度满足由此得由此得解解:碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为36例例11(11(刚体定轴转动刚体定轴转动)均匀直杆均匀直杆(l，M),),一端挂在光滑水平轴一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹上，开始时静止在竖直位置，有一子弹(m，vo)水平射入而不射水平射入而不射出。求杆与子弹一起运动时的出。求杆与子弹一起运动时的角速度角速度。解：解：子弹进入到一起运动子弹进入到一起运动瞬间完成瞬间完成系统系统(子弹子弹+棒棒)外力：外力：重力、轴的作用力重力、轴的作用力在在碰撞瞬间碰撞瞬间对轴的力矩为零对轴的力矩为零碰撞瞬间碰撞瞬间对轴角动量守恒对轴角动量守恒动量守恒？动量守恒？v0 00机械能守恒？机械能守恒？37例例12(刚体定轴转动刚体定轴转动)如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的子弹以的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l，质量为，质量为M。解解:以以f代表棒对子弹的阻力，对子弹有代表棒对子弹的阻力，对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为：因因 ，由两式得由两式得v0vmMl38例例13(刚体定轴转动刚体定轴转动)棒球运动员击球的效果如何，取决于击棒球运动员击球的效果如何，取决于击球点的位置是否合适。理论分析表明，存在这样一个击球点球点的位置是否合适。理论分析表明，存在这样一个击球点(如如图图)，使手握的约束力为零。这个最佳位置被称为打击中心。，使手握的约束力为零。这个最佳位置被称为打击中心。求：求：打击中心的位置。打击中心的位置。解：解：如图，设手握处为参考点如图，设手握处为参考点O，棒，棒的质心位置为的质心位置为rC，击球点的位置为，击球点的位置为r。击球瞬间反弹的球给棒一冲击力击球瞬间反弹的球给棒一冲击力f,手给棒一约束力手给棒一约束力f0 0，列出运动方程，列出运动方程转动定理转动定理质心运动定理质心运动定理运动学关系运动学关系39令令 f0 0=0=0，得到打击中心位置为得到打击中心位置为讨论：讨论：比例系数比例系数k 被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值 取决于棒的形状。取决于棒的形状。k约在约在1.11.3范围范围均匀棒均匀棒细长三角形平板细长三角形平板40手握的约束力，还有维持质心运动的向心力和对重力的支手握的约束力，还有维持质心运动的向心力和对重力的支持力，它们是持续力，在击球前就已存在。击球瞬间使手突持力，它们是持续力，在击球前就已存在。击球瞬间使手突感震动的是约束力感震动的是约束力f0 0 的反作用力。的反作用力。用棒击球时，若击球点在打击中心附近，则手受到棒的作用用棒击球时，若击球点在打击中心附近，则手受到棒的作用力最小。若击球点到手握处力最小。若击球点到手握处(转轴转轴)的距离的距离rrO，则手对棒的作，则手对棒的作用力用力f0 0与球对棒的作用力与球对棒的作用力f 方向相同，握棒的手指受力。若，方向相同，握棒的手指受力。若，r m1，滑轮质量M，半径为R,绳子质量忽略，滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求重物的加速度及摩擦因数的取值范围？解：解：m1gT1T2m2gaT2T1Mfa43建立坐标系，分析临界状态的一段线元沿滑轮切向沿滑轮法向44例2在水平的光滑细杆上，套着两个半径相同的匀质圆柱体。开始时1以角速度0绕细杆转动，同时以速度v0朝2运动，2静止。两者发生弹性碰撞，碰撞力在接触面上均匀分布，接触面之间的摩擦因数处处相同。求碰后两者的速度和角速度。两个圆柱体的碰撞是正碰，碰撞力不影响各自相对质心的转动动能两个圆柱体平动动能守恒45平均碰撞力平均摩擦力矩1、2的平均角加速度碰撞后，二者的角速度46上述结果适合满足条件若不满足上述条件，则必在二者角速度相等时摩擦力消失。碰撞力和摩擦力都是内力，系统的角动量守恒。47例例3 圆桶和圆柱同时自静止开始从高为圆桶和圆柱同时自静止开始从高为h的斜面顶部纯的斜面顶部纯滚至斜面底部，试求它们的质心速度和角速度。滚至斜面底部，试求它们的质心速度和角速度。hfCOmgN解：物体受力如图，物体与地球构成的系统机械能守恒。取物体在斜面底部时质心高度处为重力势能零点，则柯尼西定理纯滚圆桶圆柱 C(桶桶)与质量分布有关与质量分布有关到底部(h=0)时平动能转动能圆桶圆柱49关于摩擦力的讨论，设斜面倾角为关于摩擦力的讨论，设斜面倾角为 质心定理转动定理纯滚条件即即圆桶：圆柱：最大静摩擦力纯滚下应有：圆桶：圆柱：小于此值将出现又滑又滚，当小于此值将出现又滑又滚，当 =0的极限情况下，仅滑动。的极限情况下，仅滑动。50例例4 光滑地面，细杆长为光滑地面，细杆长为l，质量为，质量为m。竖直放置状态下。竖直放置状态下受一微扰后倒下。求质心速度受一微扰后倒下。求质心速度 C和角速度和角速度 (表达成杆表达成杆与竖直方向夹角与竖直方向夹角 的函数的函数)A CmgCNO OxyA 解：坐标解：坐标O-xy 受力：受力：定性：定性：沿沿y，沿沿x系统系统E=Ek+Ep=C。地面。地面Ep=0，则有，则有一个方程，两个位置量一个方程，两个位置量 C和和，故建立，故建立 C与与 的关系式构成第二个独立方程的关系式构成第二个独立方程 故故即即51解方程，得解方程，得讨论：讨论：不是纯滚，故不是纯滚，故I：关于：关于方法方法1.确定瞬心确定瞬心O 后，由后，由得到得到方法方法2.得得 角速度的唯一性角速度的唯一性52II：实际背景：实际背景例如滑冰时不慎后仰滑倒头部受力分析例如滑冰时不慎后仰滑倒头部受力分析此时此时AO 脚脚膝膝腰腰背背头头设设l 1.8m，m 70kg，g 9.8m/s2与百米与百米14秒的平均速度相对，且又弹回，受力秒的平均速度相对，且又弹回，受力 大人：大人：l 大大m大，刚性好，且有自我保护意识大，刚性好，且有自我保护意识摇动双臂，摇动双臂，又增加了危险又增加了危险小孩：小孩：l 小小m小，柔性好，且取自然状态小，柔性好，且取自然状态53例5匀质细杆的匀质细杆的A端、端、B端和中央位置端和中央位置O处各有一光滑小孔。处各有一光滑小孔。先让杆在光滑的水平桌面上绕先让杆在光滑的水平桌面上绕O孔以角速度孔以角速度0顺时针旋转。顺时针旋转。操作：当杆运动到同一位置时，依次以操作：当杆运动到同一位置时，依次以A、B、O为转轴。为转轴。求：最后绕求：最后绕O转动时角速度的方向和大小。转动时角速度的方向和大小。设细杆质量设细杆质量m长长l，则相对，则相对O、A、B的转动惯量的转动惯量正正方方向向54杆相对杆相对桌面上固定点桌面上固定点(A)的角动量的角动量A点操作不影响杆点操作不影响杆相对桌面上相对桌面上A点点的角动量，故杆的角动量的角动量，故杆的角动量守恒。守恒。在在A点插入转轴，杆绕点插入转轴，杆绕A点转动点转动插入转轴之前插入转轴之前A孔插入细棍之后，稳定后角速度为孔插入细棍之后，稳定后角速度为A质心质心O点速度点速度杆转动到图示位置杆转动到图示位置55O点的速度点的速度在在B点插入转轴，杆绕点插入转轴，杆绕B点转动点转动插入转轴之前插入转轴之前O点相对点相对桌面上固定点桌面上固定点(B)的角动量的角动量插入转轴之后插入转轴之后杆转动到图示位置杆转动到图示位置B点操作不影响杆点操作不影响杆相对桌面上相对桌面上B点点的角动量，故杆的角动的角动量，故杆的角动量守恒。量守恒。负号表示细杆绕负号表示细杆绕B轴逆时针方向旋转轴逆时针方向旋转56