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动能定理动能定理主要内容主要内容力的功力的功动能能动能定理能定理功率、功率方程功率、功率方程势力力场、势能、机械能守恒定理能、机械能守恒定理动力学普遍定理的力学普遍定理的综合合应用用力的功力的功力的功力的功力的功是力在一段路程中是力在一段路程中对物体作用所累物体作用所累积的效果，其的效果，其结果引起能量的果引起能量的转变和和转化。化。常力在直线路程中的功常力在直线路程中的功 设设物物体体沿沿直直线线轨轨迹迹运运动动,物物体体上上一一点点由由 A A1 1 运运动动到到 A A2 2 ,路路程程是是 。求求作作用用在在该该点点上上的的一一个个力力 F F 在此路程中的功在此路程中的功 WW。WW=F Fcoscos 其中其中 F Fcoscos 为力为力 F F 在运动方向上的投影在运动方向上的投影,可正可可正可负。可见力的功是代数量。负。可见力的功是代数量。功的基本单位在国际单位制中采用功的基本单位在国际单位制中采用 J J :1 J=1 N1 J=1 N mm假定力假定力 F F 是常力是常力,大小方向都不变。大小方向都不变。于是于是 F FA AA A1 1A A2 2元功、变力在曲线路程中的功元功、变力在曲线路程中的功 设设在在质质点点 A A 上上作作用用着着大大小小和和方方向向均均可可变变化化的的变变力力 F F ,现现在在把把其其轨轨迹迹曲曲线线 A A1 1A A2 2 分分成成许许多多微微小小弧弧段段,使使得得每每个个元元弧弧段段 d d (即即元元路路程程)可可视视为为直直线线段段,而而力力 F F 则则视视为为常常力力,应应用用上上式式来来计计算算力力 F F 在每个元路程在每个元路程 d d 中的功中的功,称它为称它为元功。元功。元功。元功。d d W=FW=Fcoscos d d 式式中中 是是力力 F F 与与速速度度 v v 间间的的可可变变夹夹角角.由由于于元元路路程程对对应应于于位位移移的的大大小小|d|dr r|=|v v|d|dt t,故式故式(17-2)(17-2)可以改写成可以改写成d d W=W=F F d dr r =F F v vd dt t 力力 F 在有限路程在有限路程 A1A2 中的总功中的总功W,是该力在这段是该力在这段路程中全部元功的代数和路程中全部元功的代数和,可表示成曲线积分可表示成曲线积分如在质点上同时作用着几个力如在质点上同时作用着几个力,则由合力投影定理则由合力投影定理可以推知可以推知,合力在某一路程上的功合力在某一路程上的功合力在某一路程上的功合力在某一路程上的功,等于各分力分别等于各分力分别等于各分力分别等于各分力分别在该路程中的功的代数和在该路程中的功的代数和在该路程中的功的代数和在该路程中的功的代数和。这个结论称为这个结论称为合力功定合力功定合力功定合力功定理理理理.d W=Fxdx+Fydy+Fzdz这就是这就是元功的解析表达式元功的解析表达式。因为因为 F=Fxi+Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk,上式上式改为改为d d W=W=F F d dr r =F F v vd dt t合力之功定理合力之功定理几种常见力的功几种常见力的功1.1.1.1.重力的功重力的功重力的功重力的功 设物体的重心设物体的重心 A 沿某一曲现由沿某一曲现由 A1 运动到运动到 A2 。物体的重力。物体的重力 G在坐在坐标轴系上的投影为标轴系上的投影为F Fx x =F Fy y =0,0,F Fz z =G G得重力的元功得重力的元功d d WW =G Gd dz z故重力在曲线路程故重力在曲线路程 A A1 1A A2 2 上的功为上的功为由式由式 d W=Fxdx+Fydy+FzdzO OA1(x1,y1,z1)AG GxyzA2(x2,y2,z2)可见，可见，重力的功等于重力与重心高度降的乘积重力的功等于重力与重心高度降的乘积重力的功等于重力与重心高度降的乘积重力的功等于重力与重心高度降的乘积。如果重力如果重力升高，升高，h h 是负值，则重力做负功。是负值，则重力做负功。式式中中 z z1 1 和和 z z2 2 分分别别是是重重心心的的路路程程起起点点和和终终点点的的纵纵坐坐标标；h h =z z1 1 -z z2 2 是是物物体体重重心心降降落落的的高高度度，称称为为高高高高度度度度降降降降。O OA1(x1,y1,z1)AG GxyzA2(x2,y2,z2)几种常见力的功几种常见力的功2.2.2.2.弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功 设设弹弹簧簧未未变变形形时时长长度度是是 l l0 0 ,刚刚度度系系数数是是 c c 。弹弹簧簧的的一一端端 O O 固固定定，而而另另一一端端 A A 作作任任意意曲曲线线运运动动，且且弹弹簧簧始始终终处处于于直直线线状状态态。现现求求在在点点 A A 由由位位置置 A A1 1 沿沿某某一一路路线线运运动动到到位位置置 A A2 2 的路程中弹性力的功。的路程中弹性力的功。在任意位置，弹簧作用于末端质在任意位置，弹簧作用于末端质点点 A A 的弹性力的弹性力 F F 可表示成可表示成F F=c c(r r l l0 0)r r/r r式中式中 r r/r r 是矢径方向的单位矢量。是矢径方向的单位矢量。OA1drA2r1rr2FA几种常见力的功几种常见力的功得得 弹性力弹性力 F F 的元功的元功考虑到考虑到 r r d dr r=r rd dr r=r rd(d(r r l l0 0),),即得即得 从而得弹性力从而得弹性力 F F 在曲线路程在曲线路程 A A1 1A A2 2 中的功中的功d d WW=F F d dr r=c c(r r l l0 0)()(r r d dr r/r r)d d WW=c c(r r l l0 0)d()d(r r l l0 0)由式由式 d d W=W=F F d dr r =F F v vd dt tOA1drA2r1rr2FA几种常见力的功几种常见力的功 可见，可见，弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。以以 1 1=r r1 1 l l0 0 和和 2 2=r r2 2 l l0 0分别表示路程始末端分别表示路程始末端 A A1 1 和和 A A2 2 处弹簧的变形量，则上式写成处弹簧的变形量，则上式写成几种常见力的功几种常见力的功3.3.3.3.定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功 设设刚刚体体绕绕定定轴轴z z 转转动动,角角速速度度 =k k,刚刚体体上上点点 A A 的的矢矢径径是是 r r ,速速度度是是 v v=r r，作作用用着着力力 F F ,当当刚刚体体有有一一微微小小转转角角 d d 时时,力力 F F 的元功的元功d dWW =F F d dr r =F F v vd dt t =F F (r r)d)dt t由静力学知由静力学知,力力 F F 对点对点 O O 的矩矢的矩矢mmO O(F F)=)=r r F F，而力而力 F F 对轴对轴 z z的矩的矩 m mz z(F F)等于等于mmO O(F F)在轴在轴 z z 上的投影上的投影,即即m mz z(F F)=)=mmO O(F F)k k所以所以,混合积混合积 F F (r r)=)=(r r F F)=)=k k mmo o(F F)=)=m mz z(F F)。OkdrxrFAvdyz几种常见力的功几种常见力的功因此有因此有 d dWW =m mz z(F F)d dt t=m mz z(F F)d d 则刚体由角则刚体由角 1 1 转到角转到角 2 2 的过程中的过程中,力力 F F 的总功为的总功为即，即，作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分与刚体微小转角的乘积的积分与刚体微小转角的乘积的积分与刚体微小转角的乘积的积分。特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为WW=m mz z(F F)()(2 2 1 1)如果刚体上作用着一个力系，则其元功为如果刚体上作用着一个力系，则其元功为 d dW W=mmz z(F F)d dt t=MMz zd d 几种常见力的功几种常见力的功思考思考半径为半径为2 2r r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为有软绳，轮轴半径为r r，绳上作用常值水平拉力，绳上作用常值水平拉力F F，求轮心，求轮心C C运动运动x x距离时，力距离时，力F F所作的功。所作的功。2 2r rO Or rC Cx xF F解解：将力：将力F F向轮心简化，产生力偶向轮心简化，产生力偶 MMC C=Fr=Fr ，轮，轮的转动角度为的转动角度为 ，根据式力F所作的功为2 2r rO Or rC Cx xF F思考思考4.4.4.4.质点系和刚体内力的功质点系和刚体内力的功质点系和刚体内力的功质点系和刚体内力的功 设设质质点点系系内内有有两两质质点点 A A1 1 和和 A A2 2 ,相相 互互间间作作用用着着内内力力 F F1 1 和和 F F2 2=F F1 1 。两两质质点点的的元元位位移移分分别别是是 d dr r1 1 和和 d dr r2 2 ,故故得得内内力力 F F1 1 和和 F F2 2 的元功之和的元功之和通过分析得通过分析得 dW=F1d(A1A2)(2-13)几种常见力的功几种常见力的功这这里里 d(d(A A1 1A A2 2)代代表表两两质质点点间间距距离离 A A2 2A A1 1 的的变变化化量量,它它和和参参考考系系的的选选择择无无关关,在在一一般般质质点点系系中中,两两质质点点间间距距离离是是可可变变的的,因因而而,可可可可变变变变质质质质点点点点系系系系内内内内力力力力所所所所做做做做功功功功的的的的总总总总和和和和不不不不一一一一定定定定等等等等于零于零于零于零。但是但是但是但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变刚体内任意两点间的距离始终保持不变刚体内任意两点间的距离始终保持不变刚体内任意两点间的距离始终保持不变,所以所以所以所以刚刚刚刚体内力所做功的总和恒等于零体内力所做功的总和恒等于零体内力所做功的总和恒等于零体内力所做功的总和恒等于零.dW=F1d(A1A2)(2-13)几种常见力的功几种常见力的功工程上几种内力作功的情形工程上几种内力作功的情形 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功作为整体考察，所有发动机的内力都是有功作为整体考察，所有发动机的内力都是有功作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。都要作功。都要作功。都要作功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。5.5.约束力的功之和等于零的情形约束力的功之和等于零的情形约束力的功之和等于零的情形约束力的功之和等于零的情形 光滑的固定支撑面光滑的固定支撑面光滑的固定支撑面光滑的固定支撑面 (图图 a a),),轴承轴承轴承轴承,销钉销钉销钉销钉 (图图 b b)和和活动支座活动支座活动支座活动支座 (图图 c c)的约的约束力总是和它作用点的元位移束力总是和它作用点的元位移 d dr r 垂直垂直,所以这些约所以这些约束力的功恒等于零。束力的功恒等于零。NAdrNAdrNAdr(a)(b)(c)几种常见力的功几种常见力的功 不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长柔柔柔柔绳绳绳绳的的的的拉拉拉拉力力力力。由由由由于于于于柔柔柔柔绳绳绳绳仅仅仅仅在在在在拉拉拉拉紧紧紧紧时时时时才才才才受受受受力力力力,而而而而任任任任何何何何一一一一段段段段拉拉拉拉直直直直的的的的绳绳绳绳子子子子就就就就承承承承受受受受拉拉拉拉力力力力来来来来说说说说,都都都都和和和和刚刚刚刚杆杆杆杆一一一一样样样样,其其其其内内内内力力力力的的的的元元元元功功功功之之之之和和和和等等等等于于于于零零零零。绳绳绳绳子子子子绕着光滑物体绕着光滑物体绕着光滑物体绕着光滑物体,情形相同。情形相同。情形相同。情形相同。光光光光滑滑滑滑活活活活动动动动铰铰铰铰链链链链内内内内的的的的压压压压力力力力。当当当当由由由由铰铰铰铰链链链链相相相相联联联联的的的的两两两两个个个个物物物物体体体体一一一一起起起起运运运运动动动动而而而而不不不不发发发发生生生生相相相相对对对对转转转转动动动动时时时时,铰铰铰铰链链链链间间间间相相相相互互互互作作作作用用用用的的的的压压压压力力力力与与与与刚刚刚刚体体体体的的的的内内内内力力力力性性性性质质质质相相相相同同同同。当当当当发发发发生生生生相相相相对对对对转转转转动动动动时时时时,由由由由于于于于接接接接触触触触点点点点的的的的约约约约束束束束力力力力总总总总是是是是和和和和它它它它作作作作用用用用点点点点的的的的元元元元位移相垂直位移相垂直位移相垂直位移相垂直,这些力也不做功。这些力也不做功。这些力也不做功。这些力也不做功。几种常见力的功几种常见力的功凡约束力做功之和等于零的约束称为理想约束凡约束力做功之和等于零的约束称为理想约束凡约束力做功之和等于零的约束称为理想约束凡约束力做功之和等于零的约束称为理想约束。最最后后指指出出,静静静静摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力的的的的功功功功也也也也等等等等于于于于零零零零。但但与与此此不不同同的的是是,每每对动摩擦力的总功恒为负值。对动摩擦力的总功恒为负值。纯滚动时，滑动摩擦力纯滚动时，滑动摩擦力纯滚动时，滑动摩擦力纯滚动时，滑动摩擦力(约束力约束力约束力约束力)不作功不作功不作功不作功O Ov vO OC Cv vF FF FN N C Cv v 为瞬时速度中心，在为瞬时速度中心，在为瞬时速度中心，在为瞬时速度中心，在这一瞬时这一瞬时这一瞬时这一瞬时C Cv v点的位移为零。点的位移为零。点的位移为零。点的位移为零。作用在作用在作用在作用在C Cv v点的摩擦力点的摩擦力点的摩擦力点的摩擦力F F所作所作所作所作元功为元功为元功为元功为几种常见力的功几种常见力的功动能动能动能动能质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。它是机械运它是机械运动的一种度量的一种度量,恒恒为正正值。质点系的点系的动能等于系能等于系统内所有内所有质点点动能的能的总和和,用符号用符号 T 表示表示,则有有国国国国际单际单位制中位制中位制中位制中,动动能的常用能的常用能的常用能的常用单单位是位是位是位是 kgkg mm2 2/s/s2 2,和和和和 J J 相等。相等。相等。相等。动能动能平平动刚体的体的动能能平动刚体各点的速度和质心速度平动刚体各点的速度和质心速度 v vc c 相同相同.MM 表刚体质量表刚体质量即即即即,平动刚体的动能平动刚体的动能平动刚体的动能平动刚体的动能,等于刚体的质量与速度平方乘积的一半等于刚体的质量与速度平方乘积的一半等于刚体的质量与速度平方乘积的一半等于刚体的质量与速度平方乘积的一半.动能动能定定轴转动刚体的体的动能能 设设刚刚体体以以角角速速度度 绕绕定定轴轴 z z 转转动动,以以 m m 表表示示刚刚体体内内任任一一点点 A A 的的质质量量,以以 r r 表表示示 A A 的的转转动动半径半径,则刚体的动能是则刚体的动能是其其中中 mrmr2 2=J Jz z 是是刚刚体体对对转转轴轴 z z 的的转转动动惯惯量量,故上式可写成故上式可写成17-9(b)AvzrO动能动能可可见见,定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动刚刚刚刚体体体体的的的的动动动动能能能能,等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对转转转转轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量与与与与其角速度平方的乘积的一半其角速度平方的乘积的一半其角速度平方的乘积的一半其角速度平方的乘积的一半.转动惯量转动惯量 J Jz z 就是刚体绕就是刚体绕 z z 轴转动时的惯性度量。轴转动时的惯性度量。将刚体体内各质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平将刚体体内各质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量。转动惯量。式中 分别为第 个质点的质量和到该轴的距离J=动能动能平面运平面运动刚体的体的动能能 刚刚体体做做平平面面运运动动时时,其其内内各各点点速速度度分分布布与与刚刚体体绕绕瞬瞬轴轴(通通过过速速度度瞬瞬心心并并与与运运动动平平面面相相垂垂直直的的轴轴)转转动动一一样样.设设平平面面运运动动刚刚体体的的角角速速度度是是 ,速速度度瞬瞬心心在在点点 P P,刚刚体体对对瞬瞬轴轴的的转转动动惯惯量量是是 J Jp p,则则平平面面运运动动刚刚体体的的动动能可用下式计算能可用下式计算,转动惯量转动惯量 设设刚刚体体的的质质心心 C C 到到速速度度瞬瞬心心 P P 的的距距离离是是r rc c,则则质质心心 C C 的的速速度度大大小小 v vc c=r rc c。根根据据转转动动惯惯量量的的平平行轴定理的刚体对于瞬轴的转动惯量行轴定理的刚体对于瞬轴的转动惯量式式中中 J Jc c 式式刚刚体体对对于于平平行行于于瞬瞬轴轴的的质质心心轴轴的的转转动动惯惯量量,M M 是刚体的质量。是刚体的质量。即,平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的等于它以质心速度作平动时的等于它以质心速度作平动时的等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。动能与相对于质心轴转动时的动能之和。动能与相对于质心轴转动时的动能之和。动能与相对于质心轴转动时的动能之和。于是，式于是，式 可以改写成可以改写成 动能动能已已已已知知知知滑滑滑滑块块块块A A的的的的质质质质量量量量为为为为 m m1 1，质质质质点点点点B B的的的的质质质质量量量量为为为为m m2 2,ABAB杆杆杆杆的的的的长长长长度度度度为为为为 l l、不不不不计计计计质质质质量量量量，可可可可以以以以绕绕绕绕 A A点点点点转转转转动动动动，滑滑滑滑块块块块的的的的速速速速度度度度为为为为v vA A。求求求求系系系系统统统统的的的的动动动动能能能能，并并并并用用用用广广广广义坐标表示。义坐标表示。义坐标表示。义坐标表示。A Am m1 1O Ox xx x y y m m2 2B Bl lv vA Ay y例题例题A Am m1 1O Ox xx x y y m m2 2B Bl lv vA Ay y解：解：解：解：1 1 1 1、广义坐标、广义坐标、广义坐标、广义坐标 滑块作水平直线运滑块作水平直线运滑块作水平直线运滑块作水平直线运动；质点动；质点动；质点动；质点B B作平面运作平面运作平面运作平面运动。系统具有动。系统具有动。系统具有动。系统具有2 2个自个自个自个自由度。广义坐标选择由度。广义坐标选择由度。广义坐标选择由度。广义坐标选择为为为为x x和和和和 。x x例题例题A Am m1 1O Ox xx x y y m m2 2B Bl lv vA Ay yx xv ve ev vr r2 2、运动分析与速度分析、运动分析与速度分析、运动分析与速度分析、运动分析与速度分析 滑块作直线运动，速度滑块作直线运动，速度滑块作直线运动，速度滑块作直线运动，速度为为为为v vA A；质点质点质点质点B B作平面运动。以作平面运动。以作平面运动。以作平面运动。以A A为基点，其牵连速度与相为基点，其牵连速度与相为基点，其牵连速度与相为基点，其牵连速度与相对速度分别为对速度分别为对速度分别为对速度分别为动能动能3 3、计算系统动能、计算系统动能、计算系统动能、计算系统动能滑块的动能滑块的动能滑块的动能滑块的动能质点质点质点质点B B的动能的动能的动能的动能A Am m1 1O Ox xx x y y m m2 2B Bl lv vA Ay yx xv ve ev vr r系统系统系统系统的总动能的总动能的总动能的总动能动能动能动能定理动能定理动能定理动能定理表达了质点或质点系的动能变化量和作用力的功之间的数量关系。设质量为设质量为 m m 的质点的质点 A A 在力作用下在力作用下 F F 沿曲线由沿曲线由 A A1 1 运动到运动到 A A2 2 ，它的速度由，它的速度由 v v1 1 变为变为 v v2 2 。两边点乘元位移两边点乘元位移 d dr r =v vd dt t ,得得mv dv=F dr质点动能定理质点动能定理质点动能定理质点动能定理即即,质质质质点点点点动动动动能能能能的的的的微微微微分分分分等等等等于于于于作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点上上上上的的的的力力力力的的的的元元元元功功功功.这就是质点动能定理的微分形式这就是质点动能定理的微分形式这就是质点动能定理的微分形式这就是质点动能定理的微分形式。上式右端就是作用力的元功上式右端就是作用力的元功,左端可左端可改写成改写成 m mv v d dv v=m md(d(v v v v)/2=d()/2=d(mvmv2 2/2)/2)从而得从而得mv dv=F dr将上式沿路程 A1A2 积分,得式中 W 表示力 F 在路程 A1A2 中的功.可见,质点动能在某一路程中的改变量质点动能在某一路程中的改变量,等于作等于作用于质点的各力在该路程中所做的功用于质点的各力在该路程中所做的功。这就是质点动能定理的积分形式。质点动能定理质点动能定理即,质点系动能的微分等于作用于质点系各力质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和的元功的代数和。这就是质点系动能定理的质点系动能定理的微分形式微分形式。dT=dW对于质点系中的每个质点，上式都成立，相加得因故上式可写成质点系动能定理质点系动能定理式式中中 T T1 1 、T T2 2 分分别别代代表表某某一一运运动动过过程程中中开开始始和和终终了了时时质质点点系系的的动动能能。表表明明质质质质点点点点系系系系的的的的动动动动能能能能在在在在某某某某一一一一路路路路程程程程中中中中的的的的改改改改变变变变量量量量,等等等等于于于于作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点系系系系的的的的各各各各力力力力在在在在该该该该路路路路程程程程中中中中的的的的功的代数和功的代数和功的代数和功的代数和。这就是。这就是质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式.T T1 1 T T2 2 =WW主主T T1 1 T T2 2 =WW理想情况理想情况,作用于质点系的约束力所做功总和恒为零作用于质点系的约束力所做功总和恒为零式中式中 WW主主表示全部主动力的功的代数和表示全部主动力的功的代数和。将上式积分将上式积分,得得 dT=dW质点系动能定理质点系动能定理平平平平台台台台的的的的质质质质量量量量 mm =30 30 kgkg,固固固固连连连连在在在在刚刚刚刚度度度度系系系系数数数数 c c =18 18 kN/mkN/m的的的的弹弹弹弹性性性性支支支支承承承承上上上上。现现现现在在在在从从从从平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置给给给给平平平平台台台台以以以以向向向向下下下下的的的的初初初初速速速速度度度度v v0 0 =5m/s5m/s,求求求求平平平平台台台台由由由由这这这这位位位位置置置置下下下下沉沉沉沉的的的的最最最最大大大大距距距距离离离离 ,以以以以及及及及弹弹弹弹性性性性支支支支承承承承中中中中承承承承受受受受的的的的最最最最大力，假设平台作平动。大力，假设平台作平动。大力，假设平台作平动。大力，假设平台作平动。例题例题 取平台为研究对象。研究从平衡位置取平台为研究对象。研究从平衡位置A A1 1(图图a a)运动到运动到最大下沉位置最大下沉位置A A2 2(图图b b)。平台的初动能平台的初动能 T T1 1=mvmv0 02 2/2/2 ，而末动能，而末动能 T T2 2=0=0。弹簧的初变形弹簧的初变形 1 1=s s=mg/cmg/c，末变形末变形 2 2=s s+。作用在平台上的力有重力作用在平台上的力有重力G G 和弹性力和弹性力 F F(图图c c)。它们的总功它们的总功解:例题例题根据动能定理的积分形式根据动能定理的积分形式由此求得平台的最大下沉距离由此求得平台的最大下沉距离弹性支承有最大压缩量弹性支承有最大压缩量 2 2=s s+,故承受的最大压力故承受的最大压力F Fmaxmax =c c(s s+)=)=mgmg +c c =4 kN4 kN =204 mm=204 mmT T1 1 T T2 2 =WW例题例题运送重物用的卷扬机如图运送重物用的卷扬机如图 (a a)所示。所示。已知鼓轮重已知鼓轮重 G G1 1,半径是半径是 r r,对转轴对转轴 O O 的回的回转半径是转半径是 。在鼓轮上作用着常值转。在鼓轮上作用着常值转矩矩 MM0 0,使重使重 G G2 2 的物体的物体 A A 沿倾角为沿倾角为 的的直线轨道向上运动。已知物体直线轨道向上运动。已知物体 A A 与斜与斜面间的动摩擦系数是面间的动摩擦系数是 f f。假设系统从。假设系统从静止开始运动静止开始运动,绳的倾斜段与斜面平行绳的倾斜段与斜面平行,绳的质量和轴承绳的质量和轴承 O O 的摩擦都忽略不计。的摩擦都忽略不计。试求物体试求物体 A A 沿斜面上升距离沿斜面上升距离 s s 时物体时物体 A A的速度和加速度。的速度和加速度。例题例题 用用v v 表表示示这这时时物物体体的的速速度度大大小小,则则鼓鼓轮轮的角速度大小的角速度大小=v/r=v/r,从而有从而有在物体在物体 A A 上升上升 s s 路程中路程中,作用在系统上的力的总功为作用在系统上的力的总功为 系系统统从从静静止止开开始始运运动动的的,初初动动能能 T T1 1 =0 0。在在重重物物上上升升的的单单向向路路程程 =s s时时,系系统统的的动动能能 T T2 2 可计算如下。可计算如下。取取鼓鼓轮轮,绳绳索索和和物物体体 A A 组组成成的的系系统统为为研究对象。研究对象。解：例题例题 由此求出物体由此求出物体由此求出物体由此求出物体 A A 的速度的速度的速度的速度根据动能定理的积分形式根据动能定理的积分形式,即即 T T2 2 T T1 1=WW,有有根号内必须为正值根号内必须为正值根号内必须为正值根号内必须为正值,故当满足条件故当满足条件故当满足条件故当满足条件MMO O G G2 2r r(sin(sin+f f cos cos )时时时时,卷卷卷卷扬机才能开始工作扬机才能开始工作扬机才能开始工作扬机才能开始工作.例题例题 物体物体物体物体 A A 的加速度的加速度的加速度的加速度把式(1)中的看作变值,并求两端对时间 t 的导数,有考虑到在单向的直线运动中 dv/dt=a,ds/dt=v,故例题例题物物体体 A 装装在在下下部部有有轮轮子子 B 的的铅铅直直轴轴 z 上上,轮轮 B 的的半半径径是是 r,其其上上缠缠着着不不可可伸伸长长的的细细绳绳。此此绳绳跨跨过过小小滑滑轮轮 C,在在下下端端系系有有质质量量是是 m的的物物块块 D。当当物物块块下降时下降时,带动带动 A 绕轴绕轴 z 旋转。旋转。(1)已已知知轴轴 z上上物物体体系系对对此此轴轴的的转转动动惯惯量量为为 Jz,试试求求物物块块D由由静静止止开开始始下下降降距离距离 s 时的速度和加速度时的速度和加速度;(2)若若由由试试验验测测得得当当物物块块下下降降距距离离 s 所所需需的的时时间间是是,试试求求重重物物 A 对对转转轴轴 z 的的转转动动惯惯量量。轴轴承承摩摩擦擦,空空气气阻阻力力以以及及小滑轮小滑轮C和绳索的质量都不计。和绳索的质量都不计。17-9(b)AvzBEFrsGaCD例题例题根据方程根据方程(17-24)(17-24)T T2 2 T T1 1=WW主主,得得由此求得物块由此求得物块D D的速度的速度 取整个系统为研究对象。作用在系统取整个系统为研究对象。作用在系统上的全部约束力的功总和为零，物块下降上的全部约束力的功总和为零，物块下降过程中过程中,只有物块只有物块D D做功。做功。WW主主 =mgsmgs系统的初动能系统的初动能 T T1 1=0=0,而末动能而末动能解：17-9(b)AvzBEFrsGaCD例题例题因初速度为因初速度为v v0 0=0,=0,故由直线匀变速运动公式故由直线匀变速运动公式,得物块得物块 D D 的运动规律的运动规律从而得关系式从而得关系式故由上式求得物块故由上式求得物块D D的加速度的加速度把式把式(1)(1)中中 s s 看作时间的函数看作时间的函数,求此式两端对时间的导数。求此式两端对时间的导数。例题例题系系统统在在铅铅直直平平面面内内由由两两根根相相同同的的匀匀质质细细直直杆杆构构成成.A、B为为铰铰链链,D为为小小滚滚轮轮.且且AD水水平平.每每根根杆杆的的质质量量M=6 kg,长长度度l=0.75 m.当当仰仰角角 1=60系系统统由由静静止止释释放放.求求当当仰仰角角减减到到 2=20 时杆时杆AB的角速度的角速度.摩擦和小滚轮的质量都不计摩擦和小滚轮的质量都不计.例题例题 由于由于BP BP=BD BD=ABAB.代入上式代入上式,求得求得 AB AB=BDBD但但两者的转向相反两者的转向相反.另外另外,当当 2 2=20=20 时时,有有PDPD=2=2l lsinsin20 =0.513 m20 =0.513 m由余弦定理求得由余弦定理求得PE PE=0.522 m=0.522 m,从而得杆从而得杆BDBD质心质心C C的速度的速度v vE E=PEPE BDBDABAB AB AB=BP=BP BDBD 取取整整个个系系统统为为研研究究对对象象,其其中中杆杆ABAB坐定轴转动坐定轴转动,而杆而杆BDBD做平面运动做平面运动.由由图图(b b)知知,杆杆BDBD的的速速度度瞬瞬心心是是P P.分析点分析点B B的速度有的速度有解:例题例题W W=2=2G G l l(sin60(sin60 sin20 sin20 )/2=23.1 J)/2=23.1 J1.521.52 ABAB2 2 0=23.1 0=23.1从而得杆从而得杆ABAB的角速度大小的角速度大小 AB AB=3.9 rad/s(=3.9 rad/s(顺钟向顺钟向)在运动过程中在运动过程中,只有杆的重力只有杆的重力G G做功做功.所以所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为作用在系统中的力在运动过程中的总功为代入已知数据代入已知数据,得得 T T2 2=1.52=1.52 ABAB2 2。把上述各值代入把上述各值代入T T2 2 T T1 1=W W 得得 系统开始是处于静止系统开始是处于静止,初动能初动能 T T1 1=0=0,而末动能等于而末动能等于例题例题例题例题匀匀质滚子子的的质量量为m，半半径径为R，放放在在粗粗糙糙的的水水平平地地板板上上，如如图所所示示。在在滚子子的的鼓鼓轮上上绕以以绳，在在绳子子上上作作用用有有常常力力T，作作用用线与与水水平平方方向向夹角角为。已已知知鼓鼓轮的的半半径径为r，滚子子对轴O的的回回转半半径径为 O，滚子子由由静静止止开开始始运运动。试求求滚子子轴O的运的运动方程。方程。T TNFmg例题例题系系统具有一个自由度，具有一个自由度，约束力不作束力不作功。功。vAvBe 解解:T TB功率、功率方程功率、功率方程功率功率功率：功率：力在力在单位位时间内所作的功（它是衡量机器工内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬）。功率是代数量，并有瞬时性。性。瞬时功率作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。功率方程功率方程功率方程功率方程：由 的两边同除以dt 得机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下。势力场、势能、机械能势力场、势能、机械能守恒定理守恒定理势力场与势能势力场与势能 具有力的功只决定于作用点的始末位置而与运动路径无具有力的功只决定于作用点的始末位置而与运动路径无关共同特性的力统称为关共同特性的力统称为有势力有势力(或保守力或保守力)。有有势势力力是是一一种种场场力力,它它出出现现在在特特定定的的空空间间,这这种种空空间间称称为为势力场势力场(或保守力场或保守力场)。V=W(AA0)在在势势力力场场中中,质质点点的的势势能能只只有有相相对对值值.通通常常预预先先任任意意地地选选定场中某个点定场中某个点 A0 处的势能为零处的势能为零,称称A0为为势能零点势能零点。质质点点在在场场中中其其他他点点A处处的的势势能能用用V表表示示,定定义义为为该该质质点点由由点点A运动到零点运动到零点A0的过程中的过程中,有势力所做的功有势力所做的功W(A A0).即有即有 势能势能几种常见势力场的势能几种常见势力场的势能 重力场重力场V V=G G(z z z z0 0)并并取取 A0(x0,y0,z0)为为零零点点,则则质质点点在在重重力场力场 A 处的势能为处的势能为利用重力的功的表达式利用重力的功的表达式几种常见势力场的势能几种常见势力场的势能 弹性力场弹性力场V V=c c 2 2/2/2 通常取弹簧无变形的位置作为通常取弹簧无变形的位置作为零点零点 A0,利用弹性力的功的表达式利用弹性力的功的表达式得质点在弹性力场变形为得质点在弹性力场变形为 的的 A处的处的势能为势能为势能函数势能函数 在一般情况下在一般情况下,质点的势能可以表示成质点位置坐标质点的势能可以表示成质点位置坐标x、y、z的单值连续函数的单值连续函数,即即V=V(x,y,z)它称为它称为势能函数势能函数势能函数势能函数.势能函数势能函数的各点确定的每个曲面的各点确定的每个曲面,称为称为等势面等势面等势面等势面.由全部零点构成的等势由全部零点构成的等势面称为面称为零势面零势面零势面零势面.V V (x x ,y y ,z z)=)=常量常量势力场中势力场中,满足条件满足条件势能函数势能函数 推推广广到到质质点点系系.只只需需把把系系内内所所有有各各质质点点的的势势能能加加在在一一起起就就得得到到质质点点系系在在势势力力场场中中的的势势能能。这这样样,质质点点系系的的势势能能一一般般可可以以表表示示成成质质点点系系内内所所有有各各质质点点的的坐坐标标 x1,y1,z1;xn,yn,zn 的单指连续函数，即的单指连续函数，即 V V=V V(x x1 1,y y1 1,z z1 1;x xn n,y yn n,z zn n )例如例如,可以证明质点系在重力场中的势能为可以证明质点系在重力场中的势能为V V=mgmg(z z z z0 0)=)=MgMg(z zc c z zc0c0)势力场的某些性质势力场的某些性质因为因为 F=Fxi+Fyj+Fzk,dr=dxi+dyj+dzk,d W=Fxdx+Fydy+Fzdzd W=V(x,y,z)-V(x+dx,y+dy,z+dz)=-dV全微分多元函数全微分多元函数V的全微分的全微分势力场的某些性质势力场的某些性质作用于质点的有势力在各固定直角坐标轴上的投影，作用于质点的有势力在各固定直角坐标轴上的投影，等于势能函数对相应坐标偏导数冠以负号。等于势能函数对相应坐标偏导数冠以负号。由上式可以得到势力场存在的条件由上式可以得到势力场存在的条件势力场的某些性质势力场的某些性质以上结论可以直接推广到质点系，势能函数表示为以上结论可以直接推广到质点系，势能函数表示为机械能守恒定理机械能守恒定理 即即,在在在在势势势势力力力力场场场场中中中中质质质质点点点点系系系系由由由由位位位位置置置置 A A1 1运运运运动动动动到到到到 A A2 2的的的的过过过过程程程程中中中中,有有有有势势势势力力力力的功等于质点系在位置的功等于质点系在位置的功等于质点系在位置的功等于质点系在位置 A A1 1与与与与 A A2 2处的势能之差处的势能之差处的势能之差处的势能之差。设设质质点点只只在在有有势势力力作作用用下下运运动动 ,把把式式（2-382-38）代代入入质质点点系动能定理的积分形式系动能定理的积分形式 T T1 1 T T2 2 =W W,得得T T2 2+V V2 2=T T1 1+V V1 1=常量常量设质点系在设质点系在A A1 1和和A A2 2处的势能分别是处的势能分别是V V1 1和和V V2 2，有，有WW(A A1 1 A A2)2)=V V1 1 V V2 2机械能守恒定理机械能守恒定理上上式式表表明明,如如质质点点系系只只在在有有势势力力作作用用下下运运动动,则则其其动动能能与与势势能能之之和和保保持持不不变变。动动能能与与势势能能之之和和称称为为机机械械(总总)能能。所所以以上上式式又又可可叙叙述述为为:当当当当作作作作功功功功的的的的力力力力都都都都是是是是有有有有势势势势力力力力时时时时,质质质质点点点点系系系系的的的的机机机机械械械械(总总总总)能能能能保持不变保持不变保持不变保持不变。这一结论称为。这一结论称为机械能守恒定理机械能守恒定理机械能守恒定理机械能守恒定理。如如果果除除有有势势力力外外,质质点点系系还还受受到到非非有有势势力力的的作作用用,这这时时在在机机械械能能与与其其它它形形态态的的能能量量之之间间发发生生相相互互转转化化,但但机机械械能能与与其其它它形形态态的的能能量量的的总总和和保保持持不不变变。这这就就是是普普遍遍的的能能量量守守恒恒定定律律，它它表表明明:能能能能量量量量不不不不会会会会消消消消灭灭灭灭,也也也也不不不不会会会会自自自自生生生生,只只只只能能能能从从从从一一一一种种种种形形形形态态态态转转转转化化化化成成成成另另另另一种形态一种形态一种形态一种形态。T T2 2+V V2 2=T T1 1+V V1 1=常量常量例题例题如图所示质量为如图所示质量为 m m 的物块的物块 A A 悬挂悬挂于不可升长的绳子上于不可升长的绳子上,绳子跨过滑绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连轮与铅直弹簧相连,弹簧刚度系数弹簧刚度系数为为 c c.设滑轮的质量为设滑轮的质量为 M M,并可看成并可看成半径是半径是 r r 的匀质圆盘。现在从平衡的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块位置给物块 A A 以向下的初速度以向下的初速度 v v0 0,试求物块试求物块 A A由这位置下降的最大距由这位置下降的最大距离离。弹簧和绳子的质量不计。弹簧和绳子的质量不计。解:取取整整个个系系统统作作为为研研究究对对象象.系系统统运运动动过过程程中中做做功功的的力力为为有有势势力力(重重力力和和弹弹性性力力),),故可用机械能守恒定理求解。故可用机械能守恒定理求解。取取物物块块 A A的的平平衡衡位位置置作作为为初初位位置置.弹弹簧簧的的初初变变形形 1 1=2 2=mgmg/c c,物物块块 A A有有初初速速度度 v v1 1=v v0 0,故系统初动能故系统初动能例题例题例题例题 取取弹弹簧簧未未变变形形时时的的位位置置作作为为弹弹性性力力场场的的零零点点,又又取取物物块块 A A的的平平衡衡位位置置作为重力场的零点作为重力场的零点.于是于是,系统的初势能系统的初势能V V1 1=cc1 12 2/2/2,而末势能而末势能应用机械能守恒定理的式应用机械能守恒定理的式 T T2 2+V V2 2=T T1 1+V V1 1=常量常量 ,有有 以以物物块块 A A 的的最最大大下下降降点点作作为为末末位位置置,则则弹弹簧簧的的末末变变形形 2 2=s s+;系系统统的的末动能末动能 T T2 2=0=0。例题例题考虑到考虑到 1 1=s s ,2 2=s s+,mgmg =c c s s ,把上式整理后得把上式整理后得从而求得物块从而求得物块 A A的最大下降距离的最大下降距离动力学定理的综合应用动力学定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动量定理动量定理、质心运动定理、动量守恒定理动量矩定理对固定点的动量矩定理、对轴的动量矩定理、动量矩守恒定理。动能定理动能定理（微分形式和积分形式）例题例题1BO2AO130oDWWWM 匀匀质质圆圆轮轮A和和B的的半半径径均均为为r，圆圆轮轮A和和B以以及及物物块块D的的重重量量均均为为W，圆圆轮轮B上上作作用用有有力力偶偶矩矩为为M的的力力偶偶，且且3Wr/2 MWr/2。圆圆轮轮A在在斜斜面面上上向向下下作作纯纯滚滚动动。初初始始整整个系统处于静止状态，不计圆轮个系统处于静止状态，不计圆轮B的轴承的摩擦力。的轴承的摩擦力。求：求：1、物块、物块D的加速度；的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮、圆轮B处的轴承约束力。处的轴承约束力。解：解：1 1、确定物块的加速度、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理对系统整体应用动能定理BO2AO130oDWWWMsDO例题例题1将所有运动量都表示成坐标将所有运动量都表示成坐标 sD 的形式的形式BO2AO130oDWWWMsDO例题例题1 为求物块的加速度，将等式两为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到边对时间求一阶导数，得到当当MWr/2，aD0，物块物块D向上运动向上运动BO2AO130oDWWWMsDO例题例题1WDBO2WFTFByFBxM2、确定圆轮、确定圆轮A和和B之间绳索的拉力之间绳索的拉力解除圆轮解除圆轮B轴承处的约束，将轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理组成的局部系统应用动量矩定理BO2AO130oDWWWM例题例题1根据运动学关系根据运动学关系例题例题1WDBO2WFTFByFBxM得得解得解得3、确定圆轮、确定圆轮B轴承处的动约束力轴承处的动约束力 对圆轮对圆轮B、绳索和物块、绳索和物块D组成的局组成的局部系统应用质心运动定理部系统应用质心运动定理例题例题1WDBO2WFTFByFBxM例题例题2均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。例题例题2解：解：选系系统为研究研究对象象运动学关系：由动能定理 行行星星齿齿轮轮机机构构在在水水平平面面内内运运动动。质质量量为为m的的均均质质曲曲柄柄AB带带动动行行星星齿齿轮轮II在在固固定定齿齿轮轮I上上纯纯滚滚动动。齿齿轮轮II的的质质量量为为m2，半半径径为为r2。定定齿齿轮轮I的的半半径径为为r1。杆杆与与轮轮铰铰接接处处的的摩摩擦擦力力忽忽略略不不计计。当当曲曲柄柄受受力力偶偶矩矩为为M的的常常力力偶偶作作用用时时，求求杆杆的的角角加加速度速度 及轮及轮II边缘所受切向力边缘所受切向力F。A AB BMMr r1 1r r2 2 例题例题3系统具有系统具有1 1个自由度，取个自由度，取 为广义坐标。为广义坐标。1.求杆的角加速度求杆的角加速度 运动学条件：主动力系的元功为由动能定理得解解:A AB BMMr r1 1r r2 2 例题例题32.2.求轮求轮求轮求轮IIII边缘所受切向力边缘所受切向力边缘所受切向力边缘所受切向力F F取轮取轮II II为研究对象，画受力图。为研究对象，画受力图。由对质心的动量矩定理得由对质心的动量矩定理得因为轮因为轮II II作纯滚动，故有作纯滚动，故有 2 2 B Br r2 2N NByByN NBxBxF FN N例题例题3长长为为l、质质量量为为m的的均均质质细细杆杆静静止止直直立立于于光光滑滑水水平平面面上上。当当杆杆受受微微小小干干扰扰而而倒倒下下时时，求求杆杆刚刚刚刚到到达达地地面面时时的的角角速速度度和和地面约束力。地面约束力。ACvCvA例题例题4由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落。1.求杆刚刚到达地面时的角速度求杆刚刚到达地面时的角速度由动能定理得：ACvCvA杆刚刚到达地面时，A点为瞬心解解解解:例题例题42.求杆刚刚到达地面时的地面约束力由刚体的平面运动微分方程得将上式沿铅垂方向投影，得联立求解得ACaCmgNaA例题例题4ABCl0质量为质量为质量为质量为mm长为长为长为长为l l的均质杆的均质杆的均质杆的均质杆ACAC的的的的C C端与质量为端与质量为端与质量为端与质量为MM半径为半径为半径为半径为r r的均质的均质的均质的均质圆盘圆盘圆盘圆盘B B的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕杆的的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕杆的的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕杆的的质心用光滑铰链连接，在铅垂平面内绕杆的A A端转端转端转端转动。初始时动。初始时动。初始时动。初始时 =0 0，杆的角速度为零，圆盘的角速度为，杆的角速度为零，圆盘的角速度为，杆的角速度为零，圆盘的角速度为，杆的角速度为零，圆盘的角速度为 0 0。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。求杆运动到铅垂位置时圆盘和杆的角速度。例题例题5ABCMMg gm mg gl0N NAxAxN NAyAy解解:运动学分析：二自由度系统。运动学分析：二自由度系统。受力分析，画受力图受力分析，画受力图 分析约束力的特点：分析约束力的特点：约束力不做功约束力不做功约束力对约束力对A点的力矩为零点的力矩为零 选择解法选择解法动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理例题例题5C CMMg g 0 0N NCxCxN NCyCy取系统为研究对象。圆盘对取系统为研究对象。圆盘对取系统为研究对象。圆盘对取系统为研究对象。圆盘对A A A A点的动量矩为：点的动量矩为：点的动量矩为：点的动量矩为：取圆盘为研究对象，它对取圆盘为研究对象，它对取圆盘为研究对象，它对取圆盘为研究对象，它对CzCz轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒例题例题5ABCMMg gm mg gl0N NAxAxN NAyAy系统能量守恒：由圆盘对Cz轴的动量矩守恒已得：B=0例题例题5总结总结对于只用一个定理就能求解的题目，在选择定理时可参考以下几点：与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理已知主动力求质点系的运动用动能定理，已知质点系的运动求约束反力用动量定理或质心运动定理货动量矩定理，已知外力求质点系质心的运动用质心运动定理总结总结如果问题是要求速度或角速度，视条件而定。如质点系所受外力的主矢为零或在某轴上的投影为零，可用动量守恒定理求解。如质点系所受外力对某固定轴力矩的代数和为零，用对该轴的动量矩守恒定理。如质点系仅受有势力的作用或非有势力不做功，用机械能守恒定律。如作用在
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