概率论第七章参数估计课件

第七章第七章 参数估计参数估计 7.1 7.1 点估计点估计一一.问题的提法问题的提法:二、矩估计法二、矩估计法:由辛钦大数定理可知：样本的原点矩依概由辛钦大数定理可知：样本的原点矩依概率收敛到总体的原点矩，即率收敛到总体的原点矩，即据此，得到参数的矩估计法。据此，得到参数的矩估计法。定义：定义：三、极大似然估计方法三、极大似然估计方法:说明说明理理理理论论论论依依依依据据据据极大似然估计的求解方法极大似然估计的求解方法:2.2.直接根据定义计算。直接根据定义计算。1.1.求解对数似然方程：求解对数似然方程：若驻点唯一，即为极大似然估计。若驻点唯一，即为极大似然估计。例例8.8.设总体设总体X服从服从 0,区间上的均匀分布区间上的均匀分布,求求 的极大似然估计的极大似然估计。例例9.9.设总体设总体X服从服从,+1 区间上的均匀分布区间上的均匀分布,求求 的极大似然估计的极大似然估计。极大似然估计的性质极大似然估计的性质:例如，例例如，例8 8中参数中参数的方差的方差DX的极大似然估计的极大似然估计为：为：7.2.7.2.估计量的评选标准估计量的评选标准 1 1、无偏性、无偏性:例例2.2.X1,X2,Xn是来自是来自XU(0 0,)的样本，的样本，证明：证明：都是都是的无偏估计。的无偏估计。2 2、有效性、有效性:所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为最小方差无偏估计，或称为有效估计。最小方差无偏估计，或称为有效估计。例例3.3.对任何总体对任何总体X，EX=，DX=2 2 ,X1,X2,Xn 是来自是来自X 的样本，的样本，证明：证明：比比 有效。有效。3 3、相合性（一致估计）、相合性（一致估计）:根据辛钦大数定理，样本原点矩根据辛钦大数定理，样本原点矩依概率收敛于相应的总体依概率收敛于相应的总体原点原点矩矩,从从而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，所以所有的矩估计都是相合估计量。所以所有的矩估计都是相合估计量。说明说明7 7.3 3 区区间间估估计计 定义定义:说明说明2.2.置信区间长度越短，估计越精确，一般置信区间长度越短，估计越精确，一般 我们是我们是对称地取对称地取；可以证明此时的置信；可以证明此时的置信 区间长度最短。区间长度最短。求置信区间的一般思路求置信区间的一般思路（枢轴量法）（枢轴量法）1.1.构造一个随机变量构造一个随机变量Z=Z(X1,X2,Xn;),除参数除参数 外外,Z不包不包含其他任何未知参数含其他任何未知参数,Z的分布已知的分布已知(或可求出或可求出),),并且不依赖于参并且不依赖于参数数 ,也不依赖于其他任何未知参数。（也不依赖于其他任何未知参数。（Z称为枢轴量称为枢轴量）7.4.7.4.正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计:7.4 正态母体参数的置信区间正态母体参数的置信区间被估 条件 选用 分布 1 的置信区间参数 枢轴量 说明说明1.1.通常我们讲的都是双侧的置信区间，实际通常我们讲的都是双侧的置信区间，实际中还有单侧的置信区间，如书上的定义。中还有单侧的置信区间，如书上的定义。2.2.若函数若函数g(x)单调增，则：单调增，则：若函数若函数g(x)单调减，则：单调减，则：例例1：设某异常区磁场强度服从正态分布：设某异常区磁场强度服从正态分布 ，现对该区进行磁测，按仪器规定其方差不得超过现对该区进行磁测，按仪器规定其方差不得超过0.01，今抽测今抽测16个点，算得个点，算得 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定？例例2：设样本：设样本 为正态分布为正态分布 的样本，的样本，其中其中 和和 为未知参数。设随机变量为未知参数。设随机变量 L 是关于是关于 的置信度为的置信度为 1-的置信区间的长度，求的置信区间的长度，求 。例例3：设某种清漆的：设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别个样品，其干燥时间（以小时计）分别 为为6.0、5.7、5.8、6.5、7.0、6.3、5.6、6.1、5.0.设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布 ，求：，求：（1）为为0.6时，时，的置信度为的置信度为0.95 的单侧置信上限。的单侧置信上限。（2）为未知，为未知，的置信度为的置信度为0.95 的单侧置信上限。的单侧置信上限。例例4：随机地取某种炮弹：随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本发做试验，得炮口速度的样本 标准差为标准差为 S11（m/s），设炮口速度服从正态分布。），设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信度为的置信度为0.95的的 置信区间。置信区间。二、两个正态总体的区间估计二、两个正态总体的区间估计:三、两个正三、两个正态总体中体中统计量的分布量的分布用表格表示如下：用表格表示如下：参数参数 条件条件 1 的置信区间的置信区间例例5：设两位化验员：设两位化验员 A、B独立地对某种聚合物含氯量用同样独立地对某种聚合物含氯量用同样 的方法各作的方法各作10次测定，其测定值得样本方差依次为次测定，其测定值得样本方差依次为 设设 分别为分别为 A、B 所测定的测定值总体的方差，所测定的测定值总体的方差，设总体为正态的。求：设总体为正态的。求：（1）方差比）方差比 的置信度为的置信度为0.95 的置信区间。的置信区间。（2）方差比）方差比 的置信度为的置信度为0.95的单边置信上限。的单边置信上限。