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第一节第一节 点估计点估计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法三、小结三、小结一、点估计问题的提法 设总体 X 的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.例例1 1解解解解由于用样本均值依概率收敛于总体的均值，所以点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故故对不同的样本值对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,如何如何求估计量是关键问题求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法常用构造估计量的方法:(两种两种)矩估计法矩估计法矩估计法矩估计法和和最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法.1.1.矩估计法矩估计法矩估计法矩估计法(X X为连续型为连续型为连续型为连续型)(X X为离散型为离散型为离散型为离散型)矩估计法的定义矩估计法的定义矩估计法的定义矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为这种估计法称为矩矩矩矩估计法估计法估计法估计法.矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法:矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计量的观察值称为矩估计值.解解解解根据矩估计法根据矩估计法,例例例例3 3解解解解例例例例4 4解方程组得到解方程组得到 a,b 的矩估计量分别为的矩估计量分别为解解解解例例例例5 5解解解解解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为例例例例6 6上例表明上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异同的总体分布而异同的总体分布而异同的总体分布而异.一般地一般地,2.2.最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法似然函数的定义似然函数的定义似然函数的定义似然函数的定义最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法最大似然估计法似然函数的定义似然函数的定义似然函数的定义似然函数的定义求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:最大似然估计法是由费舍尔引进的最大似然估计法是由费舍尔引进的.最大似然估计法也适用于分布中含有多个最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况未知参数的情况.此时只需令此时只需令对数似然方程组对数似然方程组对数似然方程组对数似然方程组对数对数对数对数似然似然似然似然方程方程方程方程解解解解似然函数似然函数例例例例7 7这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解解解例例例例8 8这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.解解解解X 的的似然函数为似然函数为例例例例9 9它们与相应的矩它们与相应的矩估计量相同估计量相同.解解解解例例例例1010最大似然估计的性质最大似然估计的性质最大似然估计的性质最大似然估计的性质U U .证明证明证明证明 此性质可以推广到总体分布中含有多个未知此性质可以推广到总体分布中含有多个未知此性质可以推广到总体分布中含有多个未知此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况参数的情况参数的情况参数的情况.如例如例9中中,三、小结三、小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法再用矩估计法再用矩估计法再用矩估计法.第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准一、问题的提出一、问题的提出二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性五、小结五、小结一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到,对于同一个参数对于同一个参数,用用不同的估计方法求出的估计量可能不相同不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如如第一节的例第一节的例4和例和例10.而且而且,很明显很明显,原则上任何原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量统计量都可以作为未知参数的估计量.问题问题问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.二、无偏性二、无偏性无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义:无系统误差无系统误差.证证证证例例例例1 1特别的特别的:不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,证证证证例例例例2 2(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).三、有效性三、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.四、相合性四、相合性例如例如五、小结五、小结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求,不具不具备相合性的估计量是不予以考虑的备相合性的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量,在一定条在一定条件下也具有相合性件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本估计量的相合性只有当样本容量相当大时容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性,这在实际中这在实际中往往难以做到往往难以做到,因此因此,在工程中往往使用无偏性在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准和有效性这两个标准.第四节第四节 区间估计区间估计一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念二、典型例题二、典型例题三、小结三、小结一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念1.1.置信区间的定义置信区间的定义置信区间的定义置信区间的定义关于定义的说明关于定义的说明关于定义的说明关于定义的说明若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n)按按伯努利大数定理伯努利大数定理,在这样多的区间中在这样多的区间中,2.2.2.2.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共共共3 3 3 3步步步步)解解解解例例例例1 1二、典型例题二、典型例题这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为今抽今抽9件测量其长度件测量其长度,得数据如下得数据如下(单位单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解解解解例例例例2 2三、小结三、小结 点估计不能反映估计的精度点估计不能反映估计的精度,故而本节引故而本节引入了区间估计入了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步).第五节第五节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的区间估计区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况三、小结三、小结一、单个总体一、单个总体 的情况的情况由上节例由上节例2可知可知:1.包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖,称得质量称得质量(单单位位:克克)分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布,解解解解附表附表2-12-1例例例例1 1附表附表2-22-2查表得查表得推导过程如下推导过程如下:解解解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得称得重量重量(克克)如下如下:设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值试求总体均值附表附表3-13-1例例例例2 2就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间,这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.解解解解附表附表3-23-2例例例例3 3(续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布解解解解例例例例4 4推导过程如下推导过程如下:根据第六章第二节定理二知根据第六章第二节定理二知2.进一步可得进一步可得:注意注意:在密度函数不对称时在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).(续例续例2)求例求例2 2中总体标准差中总体标准差的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间.解解解解代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间附表附表4-14-1附表附表4-24-2例例例例5 5解解解解例例例例6 6 (续例续例续例续例1)1)二、两个总体二、两个总体 的情况的情况讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.推导过程如下推导过程如下:1.例例例例7 7为比较为比较,两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为随机地取随机地取型子弹型子弹20发发,得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相等相等,求两总体均值差求两总体均值差信区间信区间.解解解解 由题意由题意,两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),解解解解 由题意由题意,两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),例例例例8 8为提高某一化学生产过程的得率为提高某一化学生产过程的得率,试图采用试图采用一种新的催化剂一种新的催化剂,为慎重起见为慎重起见,在试验工厂先进在试验工厂先进行行体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等且方差相等,求求两总体均值差两总体均值差试验试验.设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了次试验次试验,得到得率的平均值得到得率的平均值又采用新的催化剂进行了又采用新的催化剂进行了次试验次试验,得到得率得到得率的平均值的平均值假设两总假设两总推导过程如下推导过程如下:2.根据根据F分布的定义分布的定义,知知解解解解例例例例9 9 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径,随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只,测得样本方差测得样本方差为为均未知均未知,求方差比求方差比区间区间.设两样本相互独设两样本相互独抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只,测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布信信解解解解例例例例1010甲、乙两台机床加工同一种零件甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲在机床甲加工的零件中抽取加工的零件中抽取9个样品个样品,在机床乙加工的零件在机床乙加工的零件信区间信区间.假定测量值都服从正态分布假定测量值都服从正态分布,方差分别方差分别为为的置的置在置信度在置信度由所给数据算得由所给数据算得0.98下下,试求这两台机床加工精度之比试求这两台机床加工精度之比中抽取中抽取6个样品个样品,并分别测得它们的长度并分别测得它们的长度(单位单位:mm),三、小结三、小结第七节第七节 单侧置信区间单侧置信区间二、基本概念二、基本概念三、典型例题三、典型例题一、问题的引入一、问题的引入四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入 但在某些实际问题中但在某些实际问题中,例如例如,对于设备、元对于设备、元件的寿命来说件的寿命来说,平均寿命长是我们希望的平均寿命长是我们希望的,我们我们关心的是平均寿命关心的是平均寿命 的的“下限下限”;与之相反与之相反,在在考虑产品的废品率考虑产品的废品率 p时时,我们常关心参数我们常关心参数 p的的“上限上限”,这就引出了单侧置信区间的概念这就引出了单侧置信区间的概念.二、基本概念二、基本概念1.1.单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义2.2.正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间三、典型例题三、典型例题 设从一批灯泡中设从一批灯泡中,随机地取随机地取5只作寿命试验只作寿命试验,测得寿命测得寿命(以小时计以小时计)为为 1050,1100,1120,1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均求灯泡寿命平均值的置信水平为值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限的单侧置信下限.解解解解例例例例1 1解解解解例例例例2 2四、小结四、小结
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