自动控制原理第五章课件

第五章第五章线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法5.1 5.1 频率特性频率特性5.2 5.2 典型环节和开环系统频率特性典型环节和开环系统频率特性5.3 5.3 频率域稳定判据频率域稳定判据第五章 线性系统的频域分析法5.1 频率特性 控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。可建立近似的对应关系。控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。面的要求。频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性控制系统。于某些非线性控制系统。特点特点:控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和RC 电路如图所示，电路如图所示，ui(t)=Asinwt,初始电压为初始电压为uo0，求求uo(t)=?0 5.1 频率特性频率特性55.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念RCi解：解：暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量取拉氏变换并带入初始条件取拉氏变换并带入初始条件uo0RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt,初始电压为uo其中：其中：分别反映分别反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，成为幅值比和相位差，且皆为输入正弦信号频率成为幅值比和相位差，且皆为输入正弦信号频率的函数。的函数。注意：注意：RC网络的传递函数为：网络的传递函数为：取取s=j，则有有其中：分别反映RC网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和设有稳定的线性定常系统，其传递函数为设有稳定的线性定常系统，其传递函数为系统输入信号为谐波信号系统输入信号为谐波信号由于系统稳定，输出相应稳态分量的拉氏变换为由于系统稳定，输出相应稳态分量的拉氏变换为设设设有稳定的线性定常系统，其传递函数为系统输入信号为谐波信号由自动控制原理第五章课件因而因而根据公式根据公式5-11与与5-5式相比较，得式相比较，得上式表明，对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输入稳态分量仍然是上式表明，对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输入稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，而幅度和相位的变化是频率的函数，且与数学模型与输入同频率的谐波函数，而幅度和相位的变化是频率的函数，且与数学模型相关，为此定义谐波信号输入下，输出响应中，与输入同频率的谐波分量与谐相关，为此定义谐波信号输入下，输出响应中，与输入同频率的谐波分量与谐波输出的幅度之比波输出的幅度之比A()称称为幅幅频特性，相位之差特性，相位之差()成为相频特性，并称其指成为相频特性，并称其指数表达形式为系统的频率特性，即：数表达形式为系统的频率特性，即：因而根据公式5-11与5-5式相比较，得上式表明，对于稳定的上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也适用于不稳定系统。适用于不稳定系统。对于稳定系统，系统的频率特性可以通过实验法获对于稳定系统，系统的频率特性可以通过实验法获得，即在输入端施加不同频率的正弦信号，然后测得，即在输入端施加不同频率的正弦信号，然后测量系统输出的稳态相应，再根据系统的幅值比和相量系统输出的稳态相应，再根据系统的幅值比和相位差做出系统的频率特性曲线，频率特性也是系统位差做出系统的频率特性曲线，频率特性也是系统数学模型的一种表达形式。数学模型的一种表达形式。对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳定极点产生的发散或震荡分量。定极点产生的发散或震荡分量。上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也适用于不稳定系统频率特性的物理意义：频率特性的物理意义：频率特性的物理意义：频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比，频率特性与微分方程和传递函数一样，入的傅氏变换之比，频率特性与微分方程和传递函数一样，也表征了系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。也表征了系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变频率特性、传递函数、微分方程的关系频率特性、传递函数、微分方程的关系系统系统频率特性频率特性传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性是传递函数的特例频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。例：例：频率特性、传递函数、微分方程的关系系统频率特性传递函数微分方55.1.2 频率特性的图示方法频率特性的图示方法 频率特性的图形表示是描述系统的输入频率频率特性的图形表示是描述系统的输入频率从从0到变变化时频率响应的幅值、化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。相位与频率之间关系的一组曲线。常用频率特性曲线及其坐标系常用频率特性曲线及其坐标系对数幅相坐标对数幅相坐标尼柯尔斯图尼柯尔斯图对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线3半对数坐标半对数坐标伯德图伯德图对数频率特性曲线对数频率特性曲线2极坐标极坐标极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线1坐标系坐标系图形常用名图形常用名名称名称序号序号5.1.2 频率特性的图示方法 频率特性的对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率当频率从零变化到无穷时，从零变化到无穷时，当频率当频率从零变化到无穷时，相应从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲幅相频率特性曲幅相频率特性曲幅相频率特性曲线线线线，简称，简称幅相曲线幅相曲线幅相曲线幅相曲线，又称，又称极坐标图极坐标图极坐标图极坐标图。1.幅相幅相频率特性曲线频率特性曲线例：例：RCRC电路的幅相频率特性。电路的幅相频率特性。对于一个确定的频率，必有一个幅频特G(j)=R()+jI()代数式代数式 =|G(j)|G(j)极坐标式极坐标式 =A()ej()指数式指数式G(j)=arctanTG(j)=R()+jI()又称为又称为伯德曲线（伯德图），伯德曲线（伯德图），伯德曲线（伯德图），伯德曲线（伯德图），由由对数幅频曲线对数幅频曲线对数幅频曲线对数幅频曲线和和对数相对数相对数相对数相频曲线频曲线频曲线频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。组成，是工程中广泛应用的一组曲线。对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（=lg），单位为），单位为弧度弧度/秒（秒（rad/s），纵坐标按），纵坐标按线性分度，单位是分贝（线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按）；对数相频曲线的纵坐标按()线性分度，单位是度（线性分度，单位是度（）。由此构成的坐标系称为）。由此构成的坐标系称为半半半半对数坐标系对数坐标系对数坐标系对数坐标系。2.对数对数频率特性曲线（频率特性曲线（Bode图）图）又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对和和lg的关系表的关系表 =0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，在对数分度的坐标系中的负无穷远处，=0不可能不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。趣的频率范围确定。从表中可以看出，从表中可以看出，的数值每变化的数值每变化10倍，倍，在对数坐标上在对数坐标上lg相应变化一个单位。相应变化一个单位。频率变化频率变化10倍的一段对数刻度称倍的一段对数刻度称为为“十倍频程十倍频程”，用用“dec”表示。表示。轴为对数分度，轴为对数分度，即采即采用相等的距离代表相等的用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横频率倍增，在伯德图中横坐标按坐标按=lg均匀分度。均匀分度。和lg的关系表 =0在对数分度的坐标系中的负0 0.11101002040-20单位：dB0 0.1110100十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程00.11101002040-20单位：dB00.11101半对数坐标纸半对数坐标纸半对数坐标纸对数坐标图的特点对数坐标图的特点对数坐标图的特点对数坐标图的特点(1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。拓宽视野，又便于研究低频段的特性。(2)当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。从而简化了画图的过程。对数坐标图的特点(1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对(3)在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。曲线。(4)若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。函数。(3)在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的自动控制原理第五章课件 对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线尼柯尔斯曲线。3.对数幅相对数幅相曲线（曲线（Nichols）对数幅相图的横坐标表示对数相频特 最小相位环节最小相位环节最小相位环节最小相位环节:开环零点、极点位于开环零点、极点位于S平面左半部分平面左半部分比例环节：比例环节：K 惯性环节：惯性环节：1/(Ts+1)，式中，式中T0 一阶微分环节：一阶微分环节：(Ts+1)，式中，式中T0积分环节：积分环节：1/s 微分环节：微分环节：s 振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1；式中；式中n0，0 0，0 0 一阶微分环节：一阶微分环节：(-Ts+1)，式中，式中T0 振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2-2s/n+1；式中；式中n0，0 0，0 1K1 比例环节的比例环节的 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 55.2.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性频率特性 G(j)=K 比例环节 对数幅频特性和对数相频特 积分环节积分环节积分环节积分环节L()=-20lg()=-90o 000.110120-90-180-20两重积分两重积分两重积分两重积分对数频率特性曲线对数频率特性曲线 积分环节L()=-20lg000.110120-90-L()=20lg()=90o 微分环节微分环节微分环节微分环节000.11012090对数频率特性曲线对数频率特性曲线L()=20lg 微分环节000.11012090对数频1/T,L()-20lgT =-20(lg-lg1/T)G(s)=1/(Ts+1)惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节 00 !低通低通 滤波特性滤波特性转折频率转折频率转折频率转折频率1/T,L()-20lg1=0G(s)=1/(一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节 G(s)=Ts+1G(s)=Ts+1 1/T,L()20lgT =20(lg-lg1/T)G(s)=Ts+100！高频放大！高频放大！抑制噪声能力下降！抑制噪声能力下降一阶微分环节 G(s)=Ts+1 T2T3.,则有则有123 0,越大越大,系统相对稳定性越高。系统相对稳定性越高。G(j)H(j)5.4.1 相角裕度定义：相角裕度是指G(j)H(Bode图中图中相当于相当于20 lg|G(j)H(j)|=0处的相频处的相频GH与与-180的的角差。角差。c L(j)与与0分贝线的交点；分贝线的交点；g (j)与与-的交点的交点。Bode图中相当于20 lg|G(j)H(j)|=0处5.4.2 幅值裕度幅值裕度hu定义：定义：Nyquist曲曲线与与负实轴交点交点处幅幅值的倒数称的倒数称为幅幅值裕裕度度(增益裕度增益裕度)，记为h，即即h=1/|G(jg)H(jg)|。gNyquist曲曲线与与负实轴交点交点处的的 称称为相角穿越相角穿越频率率,记为 g（）。u含义：如果系统的开环传递系数增大到含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。倍，则系统处于临界稳定状态。n 系统稳定，则系统稳定，则h1、0。系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量幅值幅值相角相角5.4.2 幅值裕度h定义：Nyquist曲线与负实轴相角裕度和幅值裕度的几点说明相角裕度和幅值裕度的几点说明相角裕度和幅值裕度的几点说明相角裕度和幅值裕度的几点说明控制系统的相角裕度和控制系统的相角裕度和幅值幅值裕度是系统的极坐标图对裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于稳定的最小相位系统，对于稳定的最小相位系统，幅值幅值裕度指出了系统在不稳定之前，裕度指出了系统在不稳定之前，幅值幅值能能够增大多少。够增大多少。对于不稳定系统，对于不稳定系统，幅值幅值裕度指出了为使系统稳定，裕度指出了为使系统稳定，幅值幅值应当减少多少。应当减少多少。严格地讲，严格地讲，只用只用幅值幅值裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。但在粗略地估计为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。但在粗略地估计系统的暂态指标时，有时主要用相角裕度提出要求。系统的暂态指标时，有时主要用相角裕度提出要求。对于最小相位系统，只有当相位裕度和对于最小相位系统，只有当相位裕度和幅值幅值裕度都是正值时，系统才是裕度都是正值时，系统才是稳定的，负的裕度表示系统不稳定。稳定的，负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。为了适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。为了得到满意的性能，相位裕度应当在得到满意的性能，相位裕度应当在 30与与60 之间，增益裕度应当大之间，增益裕度应当大于于6dB。相角裕度和幅值裕度的几点说明控制系统的相角裕度和幅值裕度是系对单位负反馈控制系统，对单位负反馈控制系统，其开环、其开环、闭环传递函数的关系为闭环传递函数的关系为系统开环传递函数的结构和参数，决定了闭环传递函数的结系统开环传递函数的结构和参数，决定了闭环传递函数的结构与性能。构与性能。在系统的时域分析中，用时域指标在系统的时域分析中，用时域指标(如如,ess,ts等等)来评价系统来评价系统的性能，但对于系统分析与设计，采用频率特性法更为直观、的性能，但对于系统分析与设计，采用频率特性法更为直观、方便。方便。因此，有必要讨论频率特性与时域指标间的关系。因此，有必要讨论频率特性与时域指标间的关系。用开环频率特性分析闭环系统性能时一般将开环频率特性分用开环频率特性分析闭环系统性能时一般将开环频率特性分成成低频低频、中频中频和和高频高频三个频段来讨论。三个频段来讨论。5.5 开环频率特性与时域指标的关系开环频率特性与时域指标的关系 对单位负反馈控制系统，其开环、闭环传递函数的关系为系统开环频率特性的三个频段开环频率特性的三个频段 1.低频段通常是指低频段通常是指L()曲线在第一个转折频率以前的区段曲线在第一个转折频率以前的区段;2.中频段是指中频段是指L()线在穿越（截止）频率线在穿越（截止）频率c 附近的区域附近的区域;3.高频段通常是指高频段通常是指L()曲线在曲线在10c以后的区域以后的区域;开环频率特性的三个频段 低频段通常是指L()曲线在第一个转 各频段分界线没有明确的划分标准；各频段分界线没有明确的划分标准；与无线电学科中的与无线电学科中的“低低”、“中中”、“高高”频概念不同；频概念不同；不能用是否以不能用是否以-20dB/dec过过0dB线线作为判定闭环系统是否稳作为判定闭环系统是否稳 定的标准；定的标准；只适用于单位反馈的最小相位系统。只适用于单位反馈的最小相位系统。关于三频段理论的说明关于三频段理论的说明关于三频段理论的说明低频段特性曲线低频段特性曲线低频段特性曲线低频段特性曲线l低频段通常是指低频段通常是指L()曲线在第一个转折频率以前的区段。曲线在第一个转折频率以前的区段。l此此段段的的特特性性由由开开环环传传递递函函数数中中的的积积分分环环节节和和开开环环放放大大系系数数决定。决定。设低频段对应的开环传递函数为设低频段对应的开环传递函数为l对应的数幅频特性为对应的数幅频特性为可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为-20-20v v dB/dec dB/dec的直线。的直线。的直线。的直线。1.1.低频段与稳态精度低频段与稳态精度低频段与稳态精度低频段与稳态精度 低频段特性曲线对应的数幅频特性为 可知，低频段开环对2.2.中频段与动态性能中频段与动态性能中频段与动态性能中频段与动态性能 中频段特性曲线中频段特性曲线中频段是指中频段是指L()线在穿越（截止）频率线在穿越（截止）频率c 附近的区域。附近的区域。对于最小相位系统，对于最小相位系统，若开环对数幅频特性曲线的斜率为若开环对数幅频特性曲线的斜率为 -20 dB/dec，则对应的相角为则对应的相角为-90。中频段幅频特性在中频段幅频特性在c处的斜率，处的斜率，对系统的相位裕量对系统的相位裕量有很大有很大的影响，的影响，为保证相位裕量为保证相位裕量0，中频段斜率应取中频段斜率应取-20 dB/dec，而且应而且应占有一定的频域宽度。占有一定的频域宽度。2.中频段与动态性能 中频段特性曲线以以20dB/dec斜率穿越斜率穿越0dB线，线，系统稳定。系统稳定。以以40dB/dec斜率穿越斜率穿越0dB线，线，系统可能稳定。系统可能稳定。以以60dB/dec斜率穿越斜率穿越0dB线，线，系统不稳定。系统不稳定。以20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以40dB 高频段通常是指高频段通常是指L()曲线在曲线在10c以后的区域。以后的区域。由于高频段环节的转折频率很高，由于高频段环节的转折频率很高，因此，因此，对应环节对应环节的时的时 间常数都很小，间常数都很小，而且随着而且随着L()线的下降，线的下降，其分其分贝数很低，贝数很低，所以对系统的动态性能影响不是很大。所以对系统的动态性能影响不是很大。高频段对数幅频特性高频段对数幅频特性L()线的高低反映了系统抗高线的高低反映了系统抗高频干扰的能力。频干扰的能力。L()线越低，线越低，系统的抗高频干扰的能力越强，系统的抗高频干扰的能力越强，即即高频衰减能力强。高频衰减能力强。3.3.高频段与动态性能高频段与动态性能高频段与动态性能高频段与动态性能 高频段通常是指L()曲线在10c以后的区域。3.对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映了系统的动态和稳态性能。为设计一个合理的控制系统提出了系统的动态和稳态性能。为设计一个合理的控制系统提出了如下要求：了如下要求：u 低频段的斜率要陡，低频段的斜率要陡，增益要大，增益要大，则系统的稳态精度高。则系统的稳态精度高。u 中频段以斜率中频段以斜率-20 dB/dec穿越穿越 0 dB线，线，且具有一定中频带且具有一定中频带 宽，宽，则系统动态性能好。则系统动态性能好。要提高系统的快速性，要提高系统的快速性，则应提高穿越频率则应提高穿越频率c。u 高频段的斜率要比低频段的斜率还要陡，高频段的斜率要比低频段的斜率还要陡，以提高系统抑制以提高系统抑制 高频干扰的能力。高频干扰的能力。对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直