概率数字特征课件

数字特征1.数学期望n1.1.均值n1.2.数学期望的定义1:n 1)若离散型随机变量X的分布律为n则当 收敛时,称X存在数学期望,并且数学期望为n若 发散,则称X的数学期望不存在.Xx1x2xiPp1p2pi例:n1)01分布n2)二项分布n3)泊松分布n4)超几何分布1.3数学期望的有关定理:n定理1.若离散型随机变量X的分布律如定义1,即:ng(x)是实变量x的单值函数,当该级数 绝对收敛,n则有:Xx1x2xiPp1p2pi例:解:由分布函数可得下面的分布列:n.1.2”二维随机变量的数学期望n1)二维离散型随机变量的情形 n设 是二维离散型随机变量,n分布律为n其边缘分布为n则定义:n定理2:若 是一个二维随机变量,其联合分布为:n又:g(x,y)是实变量x,y的单值函数,且级数n绝对收敛,则有:例:求E(X),E(Y),E(X2),E(Y2),E(XY)X Y-101Pi.-10.100.10.2000.600.610.100.10.2P.j0.20.60.21.4.数学期望的基本性质n1)若 ,则 存在,且有 .n2)若c是常数,则E(c)=c.n3)对任一二维离散型随机变量 ,若 存在,则对任意实数 存在,且n4)若 是相互独立的,则1.5.数学期望的定义2:n设 是一个连续型随机变量,密度函数为n当n收敛时,定义其数学期望为:n前述数学期望的基本性质在此亦成立.二维连续型随机变量的情形n设 是二维连续型随机变量,密度函数为n其边缘密度函数分别为:n则定义:相应的有:n在连续型随机变量的情形下:例:n1)指数分布n2)均匀分布n3)正态分布n4)G分布n5)科西分布例：假设随机变量服从柯西分布，其概率密度为：n所以：例：一微波电路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布且相互独立，平均无故障工作的时间分别为和0.5(1000小时).试求:线路无故障工作的时间X的 数学期望.解:解法一:由随机变量的函数的数学期望 的计算公式:.n解法二:.2.方差n2.1.方差的定义:n设离散型随机变量 的数学期望 存在,且n亦存在,则定义 的方差为n方差的平方根 又称为标准差,记为:例:n1)01分布n2)二项分布n3)泊松分布n4)超几何分布2.2.方差的意义:随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度例1:例2:例3:x-101p0.20.60.2x-505p0.20.60.2x-101p0.40.20.42.3.方差的基本性质:n1)根据定义不难推知:n2)若c是常数,则:D(c)=0.n3)若c是常数,则:n4)若 相互独立,且 与 存在,则:2.4典型的离散型随机变量的数学期望和方差(存目)n1)01分布n2)二项分布n3)泊松分布n4)超几何分布2.5连续型随机变量的方差.n在常规条件下(概率统计中的级数和积分都是绝对收敛的)(以后除非特别需要,不再提及该条件),对连续型随机变量,有例:n1)指数分布n2)均匀分布n3)正态分布n4)G分布n5)科西分布3.协方差n3.1.二维随机变量的数学期望n1)二维离散型随机变量的情形 n设 是二维离散型随机变量,分布律为n其边缘分布为n则定义:2)二维连续型随机变量的情形 n设 是二维连续型随机变量,其密度函数为n其边缘密度函数分别为:n则定义:3)矩阵的情形n由上面的讨论可以看出,单就某一个随机变量而言,数学期望实际上就是一维随机变量的数学期望.所谓二维随机变量的数学期望,实际上就是两个一维随机变量的数学期望构成的有序数组.因此,若矩阵A的每一个矩阵元aik都是随机变量,则定义其数学期望E(A)为一个矩阵,其矩阵元为n E(A)ik=E(aik)4)函数的数学期望n一如前面的定义,二维随机变量的函数的数学期望为:3.2二维随机变量的方差n方差实际上是随机变量的函数的数学期望,故若边缘密度函数和方差分别为n对二维离散型随机变量的情形 n设 是二维离散型随机变量,分布律为n其边缘分布为n则方差为:3.3协方差n定义:二个随机变量的协方差为n协方差的性质:3.4 相关系数n定义:随机变量 的相关系数为n若 ,则称 不相关.3.5.条件期望n定义:例:二维正态分布的数学期望和方差.对二维正态分布,有:例:二维正态分布的条件期望.我们知道,二维正态分布的两个条件分布也都是正态分布例:二维正态分布的相关系数对二维正态分布,有:例:二维离散型随机变量的数字特征 求下列分布的各数字特征:Y X-101-100.2000.10.40.1100.20例:二维连续型随机变量的数字特征n假设随机向量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求诸数字特征.4.数字特征的性质和意义n性质1.若c是常数,则E(c)=c,D(c)=0.n性质2.若a,b是常数,则n性质3.随机变量和的数学期望:n性质4.线性函数的数学期望:性质4之系:(可当存目)n系1:当 时,为最小.n系2:当 时,为最小.性质5:(计算性质)n性质6:随机变量之和的方差,随机变量之积的数学期望n性质7:协方差的性质:性质8:(契贝晓夫不等式,方差的意义)n定理:对任意的随机变量 ,若数学期望和方差都存在,则对任意的正常数 ,有 n由此可分析方差的意义.契贝晓夫不等式的证明:n证明要点:性质9:随机变量 的方差的充要条件是 取某个常数的概率n为1.即n证:充分性是显然的.现证必要性.n 设 ,则 存在,n注意到n于是有:性质10:(布尼亚柯夫斯基柯西许瓦兹不等式)n定理:若 是一个二维随机变量,它们的方差存在,则有n证明要点:考虑实变量t的二次函数性质11.相关系数的性质n定理:设二维随机变量 的两个分量 n 的相关系数为 ,则有n n 1)n 2)的充分必要条件是 以概率1线性相关,即存在常数a,b,使证明:*随机变量的“中心化”令:则:n1)证:由相关系数的定义和柯西许瓦兹不等式:2)证:注意到n由柯西许瓦兹不等式的证明,这相当于n有根t=T,即n而n所以性质12.相关性的讨论n1)二随机变量相互独立是它们不相关的充分条件.n 证略.n2)两个不相关的随机变量可能不是相互独立的n例:n3)相关系数描述的是线性相关性X Y-101Pi.-10.100.10.2000.600.610.100.10.2P.j0.20.60.2CoV(X,Y)=0X,Y不是相互独立的4)相关性的进一步讨论 i)相关系数是协方差的标准化n ii)相关系数是两个随机变量之间线性关系强弱的一个度量n 其一:两个随机变量之间只有线性关系时,有n r=1或r=-1n 其二:两个随机变量之间的关系除线性关系成分还有其它成分时,r的绝对值小于1.n 例如:当 时,有n n 这表明:*非线性部分对相关系数有影响 *非线性部分存在时相关系数n 的绝对值小于1n *非线性部分较弱时(c接近于0),r的n 绝对值接近于1n *b=0时并没有r=0,这说明 “非线性n 部分”对相关系数也有影响.n 但这影响是复杂的,仅靠相关系数是n 无法描述的.描述这种影响不是相关n 系数的任务.5)术语r的值x,h的相关性0(0)正(负)相关1(-1)正(负)完全线性相关(-1,1)部分线性相关(-1,-0.8)或(0.8,1)强线性相关(-0.8,-.05)或(0.5,0.8)中度线性相关(-0.5,-0.3)或(0.3,0.5)弱线性相关0不线性相关(-0.3,0.3)近似不线性相关5.矩.协方差.协方差矩阵 5.1.一维随机变量的矩n5.1.1.中心矩n中心矩的定义:随机变量 的k(k取自然数)阶中心矩为nK=2时,二阶中心矩就是方差 5.1.2.原点矩n中心矩的定义:随机变量 的k阶中心矩为nK=1时,一阶中心矩就是数学期望5.1.3.中心矩与原点矩不独立n由定义:n n特别地:5.2.协方差矩阵n5.2.1.n维随机变量的数学期望n对n维随机变量n定义其数学期望为:5.2.2.协方差矩阵n对n维随机变量n定义:n矩阵:n称为其协方差矩阵协方差矩阵的性质:n1)对称性:n2)非负定性:n i)对任意的n维实向量n 有:n n n ii)其行列式5.3.例:5.4.两个随机向量的数学期望和相关矩阵之间的关系定理:设有两个随机向量n有关系:n其中 是一个n阶方阵.则有n 1.4.数学期望的基本性质1.5.数学期望的定义2:1.5.数学期望的定义2: