资源描述
多自由度系统振动2024/6/281振动力学多自由度系统振动2023/7/301振动力学kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/282振动力学kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/283振动力学k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/284振动力学m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建教学内容教学内容多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统振动多自由度系统振动2024/6/285振动力学教学内容多自由度系统的振动方程多自由度系统振动2023/7/先看几个例子先看几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2u1u2 f1(t)f2(t)2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/286振动力学先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计解：解：的原点分的原点分别取在取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬某一瞬时：上分上分别有位移有位移加速度加速度受力分析：受力分析：f1(t)k1u1k2(u1-u2)m1f2(t)k2(u1-u2)m2k3u2m1m2k3k1k2u1u2 f1(t)f2(t)2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/287振动力学解：的原点分别取在 的静平衡位置 建立坐标：设某一瞬时：上分建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 f1(t)k1u1k2(u1-u2)m1f2(t)k2(u1-u2)m2k3u22.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/288振动力学建立方程：矩阵形式：力量纲坐标间的耦合项 f1(t)k1u1例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 外力矩外力矩 2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/289振动力学例2：转动运动两圆盘转动惯量 轴的三个段的扭转刚度 试建立系解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移设某一瞬某一瞬时：角加速度角加速度受力分析：受力分析：2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/2810振动力学解：建立坐标：角位移设某一瞬时：角加速度受力分析：2.1 建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/2811振动力学建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项 2.1 多自由度系统的多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/2812振动力学多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由小结：小结：可统一表示为：可统一表示为：例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2024/6/2813振动力学小结：可统一表示为：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向2024/6/2814振动力学2023/7/3014振动力学1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 n DOFs vibrating system（1 1）建立广义坐标。）建立广义坐标。）建立广义坐标。）建立广义坐标。质量质量质量质量mmi i 的位移的位移的位移的位移x xi i，质，质，质，质量量量量mmi i静平衡位置为原静平衡位置为原静平衡位置为原静平衡位置为原点，方向向右为正。点，方向向右为正。点，方向向右为正。点，方向向右为正。（2 2）隔离体受力分析）隔离体受力分析）隔离体受力分析）隔离体受力分析 广义位移、速度、加广义位移、速度、加速度均为正速度均为正 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2815振动力学1 力法 n DOFs vibrating system(3)(3)建立方程建立方程建立方程建立方程整理后用矩阵形式表示为整理后用矩阵形式表示为1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2816振动力学(3)建立方程整理后用矩阵形式表示为1 力法 2.2 位移向量位移向量速度向量速度向量加速度向量加速度向量外激励向量外激励向量 1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2817振动力学位移向量速度向量加速度向量外激励向量 1 力法 2.2 刚度矩阵刚度矩阵Stiffness Matrix对称、半正定对称、半正定对称、半正定对称、半正定Symmetry,positive Symmetry,positive definitedefinite1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2818振动力学刚度矩阵1 力法 2.2 建立系统微分方程的方法2023质量矩阵质量矩阵Mass Matrix对称、正定对称、正定Symmetry,positive definite1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2819振动力学质量矩阵1 力法 2.2 建立系统微分方程的方法2023阻尼矩阵阻尼矩阵Damping Matrx 对称对称Symmetry 1 力法力法力法力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2820振动力学阻尼矩阵1 力法 2.2 建立系统微分方程的方法2023质量矩阵质量矩阵质量矩阵质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点 质量矩阵质量矩阵M是是对角矩阵对角矩阵，对角元对角元mii=mi，即第即第i个对角元素就是第个对角元素就是第i个个质量元件的质量。质量元件的质量。2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法 2024/6/2821振动力学质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点 质量矩阵M是对角矩阵质量矩阵、质量矩阵、质量矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵和刚度矩阵的特点和刚度矩阵的特点和刚度矩阵的特点和刚度矩阵的特点 阻尼矩阵阻尼矩阵C是是对称矩阵对称矩阵非对角元非对角元cij=cji，对角元对角元cii为所有与第为所有与第i个质个质量元件相连接的阻尼元件量元件相连接的阻尼元件阻尼系数之和，阻尼系数之和，cij是连接第是连接第i个质量元件和个质量元件和第第j个质量元件的阻尼元件个质量元件的阻尼元件阻尼系数之和。阻尼系数之和。2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法 2024/6/2822振动力学质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点 阻尼矩阵C是对称矩阵质量矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵的特点的特点的特点的特点 刚度矩阵刚度矩阵K 是是对称矩阵对称矩阵非对角元非对角元kij=kji，对角元对角元kii为所有与第为所有与第i个质量个质量元件相连接的弹性元件刚度元件相连接的弹性元件刚度之和，之和，连接第连接第i个质量元件和第个质量元件和第j个个质量元件的弹性元件刚度之质量元件的弹性元件刚度之和是和是kij。2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法 2024/6/2823振动力学质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的特点 刚度矩阵K 是对称矩建立广义坐标如图所示，建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统静平衡坐标原点在系统静平衡时各质量的位置。时各质量的位置。振动微分方程振动微分方程:2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法 2024/6/2824振动力学建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统静平衡时各质量的位置。振振动微分方程振动微分方程:2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法 2024/6/2825振动力学振动微分方程:2.2 建立系统微分方程的方法2 视察法 链式系统链式系统 振动微分方程振动微分方程:Example 2-19 2 视察法视察法 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2826振动力学链式系统 振动微分方程:Example 2-19 2 视察The stiffness parameterstiffness parameter kij represents what force is needed at the location i to obtain a unit displacement at location j.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数产生单位位移所需的力，即系统仅在第产生单位位移所需的力，即系统仅在第产生单位位移所需的力，即系统仅在第产生单位位移所需的力，即系统仅在第j j个广义坐标上产生个广义坐标上产生个广义坐标上产生个广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第i i个广义坐标方向所加的个广义坐标方向所加的个广义坐标方向所加的个广义坐标方向所加的力力力力k kij ij。3 刚度法和柔度法刚度法和柔度法2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2827振动力学The stiffness parameter kij re例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 令令令令刚度矩度矩阵：刚度矩阵法刚度矩阵法2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2828振动力学例：写出 M、K 及运动微分方程 m1m2k3k1k2f只考虑动态只考虑动态 令令有：有：令令有：有：令令有：有：m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)质量矩量矩阵：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2829振动力学只考虑动态 令有：令有：令有：m1m2k3k1k2f1(t)运动微分方程：运动微分方程：m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2830振动力学运动微分方程：m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m31.1.柔度矩阵法柔度矩阵法对对于于静静定定结结构构，有有时时通通过过柔柔度度矩矩阵阵建建立立位位移移方方程程比比通通过过刚刚度度矩矩阵阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 u1m1u2m2f1 f2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化）假假设是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 取取质量量的静平衡位置的静平衡位置为坐坐标的原点的原点 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2831振动力学柔度矩阵法对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚m1 位移：位移：m2 位移：位移：时（1）时（2）m1 位移：位移：m2 位移：位移：同同时作用作用（3）m1 位移：位移：m2 位移：位移：d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1f22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2832振动力学m1 位移：m2 位移：时（1）时（2）m1 位移：m2 位 同同时作用作用时：矩阵形式：矩阵形式：其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意物理意义：系系统仅在第在第 j 个坐个坐标受到受到单位力作用位力作用时相相应于第于第 i 个坐个坐标上上产生的位移生的位移 柔度影响系数柔度影响系数 d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1f22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2833振动力学 同时作用时：矩阵形式：其中：柔度矩阵物理当当 是是动载荷荷时集中集中质量上有量上有惯性力存在性力存在 位移方程位移方程u1m1u2m2f1f2m1m2f1(t)f2(t)2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2834振动力学当 是动载荷时集中质量上有惯性力存在 位位移方程：位移方程：又可：又可：作用力方程：作用力方程：若若K非奇异非奇异柔度矩柔度矩阵与与刚度矩度矩阵的关系：的关系：或：或：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2835振动力学位移方程：又可：作用力方程：若K非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的4 利用利用Lagrange方程建立振动微分方程方程建立振动微分方程 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法只要写出能量表达式即可得到系统的运动微只要写出能量表达式即可得到系统的运动微分方程。分方程。N 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：广义坐标：广义坐标：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力对于定常约束系统：对于定常约束系统：动能：动能：势能：势能：2024/6/2836振动力学4 利用Lagrange方程建立振动微分方程 2.2 建立例：例：研究汽车上研究汽车上下振动和俯仰振动下振动和俯仰振动的力学模型的力学模型表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示的两个弹簧来表示写出车体微振动的微分方程写出车体微振动的微分方程选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标为坐标ABCDa1a2el1l2lk1k22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2837振动力学例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型表示车体的刚性杆ABABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2838振动力学ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1lABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD车体所受外力可以向车体所受外力可以向D点简点简化为合力化为合力 PD 和合力矩和合力矩 MD由于微振动，杆质心的垂直由于微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：位移、杆绕质心的角位移：首先采用拉格朗日方程建立首先采用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程系统的运动微分方程系统的动能：系统的动能：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2839振动力学ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD车体所受外力可以ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD系统的动能：系统的动能：系统的势能：系统的势能：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2840振动力学ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD系统的动能：系统n 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：广义坐标：广义坐标：拉格朗日函数：拉格朗日函数：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力计算广义力计算广义力 Q1 和和 Q2设在坐标设在坐标 xD 上有虚位移上有虚位移非有势力做功非有势力做功因此因此非有势力做功非有势力做功 因此因此 设在坐标设在坐标 上有虚位移上有虚位移 ABCD2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2841振动力学n 自由度系统的拉格朗日方程：广义坐标：拉格朗日函数：对应代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：矩阵形式：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2024/6/2842振动力学代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：2.2 建立系统微分方程的
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