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Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 26 6 6 6 图图图图2 2 2 236363636所示系统垂直放置，所示系统垂直放置，所示系统垂直放置，所示系统垂直放置，L L L L2 2 2 2杆处于铅垂位置时系统杆处于铅垂位置时系统杆处于铅垂位置时系统杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。静平衡，求系统作微振动的微分方程。静平衡，求系统作微振动的微分方程。静平衡，求系统作微振动的微分方程。问题问题问题问题m m m mi i i i的处理的处理的处理的处理1Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 27 7 7 7 求图求图求图求图2 2 2 237373737所示系统的振动微分方程。所示系统的振动微分方程。所示系统的振动微分方程。所示系统的振动微分方程。f2f1f3问题：问题：问题：问题：m m m m1 1 1 1的处理的处理的处理的处理22 2 2 211 11 11 11 求图求图求图求图2 2 2 211111111所示系统对于广义坐标所示系统对于广义坐标所示系统对于广义坐标所示系统对于广义坐标 x x x x 的等效刚度。的等效刚度。的等效刚度。的等效刚度。问题问题问题问题k k k k2 2 2 2的等效的等效的等效的等效k k k ke1e1e1e1和和和和k k k ke2e2e2e2是并联是并联是并联是并联机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析32 2 2 212 12 12 12 一质量为一质量为一质量为一质量为 m m m m、长度为长度为长度为长度为 L L L L 的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端O O O O为为为为 n Ln Ln Ln L 处设一支承点，如图处设一支承点，如图处设一支承点，如图处设一支承点，如图2 2 2 212121212所示。求杆对所示。求杆对所示。求杆对所示。求杆对O O O O点的等效质量。点的等效质量。点的等效质量。点的等效质量。or机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析42 2 2 212 12 12 12 一质量为一质量为一质量为一质量为 m m m m、长度为长度为长度为长度为 L L L L 的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端的均匀刚性杆，在距左端O O O O为为为为 n Ln Ln Ln L 处设一支承点，如图处设一支承点，如图处设一支承点，如图处设一支承点，如图2 2 2 212121212所示。求杆对所示。求杆对所示。求杆对所示。求杆对O O O O点的等效质量。点的等效质量。点的等效质量。点的等效质量。机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析5Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 214 14 14 14 图图图图2 2 2 243434343是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m m m m，滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心O O O O的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J J J0 0 0 0，假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。问题：问题：问题：问题：自由度的判别自由度的判别自由度的判别自由度的判别 方法的选取方法的选取方法的选取方法的选取 m m m m的处理的处理的处理的处理6Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 214 14 14 14 图图图图2 2 2 243434343是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m m m m，滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心O O O O的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J J J0 0 0 0，假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。f f1 1f f2 27Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 214 14 14 14 图图图图2 2 2 243434343是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m m m m，滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心O O O O的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J J J0 0 0 0，假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。8Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 214 14 14 14 图图图图2 2 2 243434343是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m m m m，滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心O O O O的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J J J0 0 0 0，假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。9Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 214 14 14 14 图图图图2 2 2 243434343是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m m m m，滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心滑轮绕中心O O O O的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J J J J0 0 0 0，假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。系统的振动微分方程。10Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 215 15 15 15 用视察法建立图用视察法建立图用视察法建立图用视察法建立图2 2 2 244444444所示链式系统的振动微分方程。所示链式系统的振动微分方程。所示链式系统的振动微分方程。所示链式系统的振动微分方程。11Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 216 16 16 16 如图如图如图如图2 2 2 245454545所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量 m m m m1 1 1 1 和和和和 m m m m2 2 2 2(m m m m1 1 1 1=2 =2 =2 =2 m m m m2 2 2 2)，各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为T T T T ，用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的微分方程。微分方程。微分方程。微分方程。刚度阵刚度阵刚度阵刚度阵12Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 216 16 16 16 如图如图如图如图2 2 2 245454545所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量所示，绳索上有两个质量 m m m m1 1 1 1 和和和和 m m m m2 2 2 2(m m m m1 1 1 1=2 =2 =2 =2 m m m m2 2 2 2)，各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为各段绳索中的张力均为T T T T ，用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的用柔度法建立系统作微振动的微分方程。微分方程。微分方程。微分方程。柔度阵柔度阵柔度阵柔度阵13Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 217 17 17 17 如图如图如图如图2 2 2 246464646所示，系统中所示，系统中所示，系统中所示，系统中 k k k k1 1 1 1=k k k k2 2 2 2=k k k k3 3 3 3=k k k k，m m m m1 1 1 1=m m m m2 2 2 2=m m m m，r r r r1 1 1 1=r r r r2 2 2 2=r r r r ，J J J J1 1 1 1=J J J J2 2 2 2=J J J J。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。14Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete Vibration equation of discrete system system system system 2 2 2 217 17 17 17 如图如图如图如图2 2 2 246464646所示，系统中所示，系统中所示，系统中所示，系统中 k k k k1 1 1 1=k k k k2 2 2 2=k k k k3 3 3 3=k k k k，m m m m1 1 1 1=m m m m2 2 2 2=m m m m，r r r r1 1 1 1=r r r r2 2 2 2=r r r r ，J J J J1 1 1 1=J J J J2 2 2 2=J J J J。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。求系统的振动微分方程。问题：问题：问题：问题：坐标系的选择坐标系的选择坐标系的选择坐标系的选择153 3 3 31 1 1 1 如图如图如图如图3 3 3 318181818所示，杆所示，杆所示，杆所示，杆 a a a a 与弹簧与弹簧与弹簧与弹簧 k k k k1 1 1 1 和和和和 k k k k2 2 2 2 相连，弹簧相连，弹簧相连，弹簧相连，弹簧 k k k k3 3 3 3 置于杆置于杆置于杆置于杆 a a a a 的中央，杆的中央，杆的中央，杆的中央，杆 b b b b 与弹簧与弹簧与弹簧与弹簧 k k k k3 3 3 3 和和和和 k k k k4 4 4 4 相连，质量相连，质量相连，质量相连，质量 m m m m 置于置于置于置于杆杆杆杆 b b b b 的中央。设杆的中央。设杆的中央。设杆的中央。设杆 a a a a 和杆和杆和杆和杆 b b b b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性为质量和转动惯矩可忽略的刚性为质量和转动惯矩可忽略的刚性为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量 m m m m 上、下振动上、下振动上、下振动上、下振动的固有频率。的固有频率。的固有频率。的固有频率。Free VibrationFree Vibration详细推导详细推导16Free VibrationFree Vibration1 1k k1 1k k2 2k k3 3k k4 4k ke e?171/41/41/41/41/21/21/21/2Free VibrationFree Vibration1 1k k1 1k k2 2k k3 3k k4 4181/41/41/41/41/21/21/21/2Free VibrationFree Vibration1 1x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4191/41/41/41/41/21/21/21/2Free VibrationFree Vibrationx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4203 3 3 35 5 5 5 如图如图如图如图3 3 3 322222222所示，质量为所示，质量为所示，质量为所示，质量为 m m m m1 1 1 1的重物悬挂在刚度为的重物悬挂在刚度为的重物悬挂在刚度为的重物悬挂在刚度为 k k k k 的弹的弹的弹的弹簧上并处于静平衡位置，质量为簧上并处于静平衡位置，质量为簧上并处于静平衡位置，质量为簧上并处于静平衡位置，质量为 m m m m2 2 2 2的重物从高度为的重物从高度为的重物从高度为的重物从高度为 h h h h 处自由处自由处自由处自由降落到降落到降落到降落到 m m m m1 1 1 1 上而无弹跳，求系统的运动规律。上而无弹跳，求系统的运动规律。上而无弹跳，求系统的运动规律。上而无弹跳，求系统的运动规律。Free VibrationFree Vibration无弹跳无弹跳无弹跳无弹跳213 3 3 37 7 7 7 图图图图3 3 3 323232323所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m m m m=9 kg=9 kg=9 kg=9 kg，弹簧弹簧弹簧弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m，摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数 =0.15=0.15=0.15=0.15，初始条件是，初始条件是，初始条件是，初始条件是求：求：求：求：(a)a)a)a)位移振幅每周衰减；位移振幅每周衰减；位移振幅每周衰减；位移振幅每周衰减；(b)b)b)b)最大速度；最大速度；最大速度；最大速度；(c)c)c)c)速度振幅每周衰减；速度振幅每周衰减；速度振幅每周衰减；速度振幅每周衰减；(d)d)d)d)物体物体物体物体 m m m m 停止的位置。停止的位置。停止的位置。停止的位置。Free VibrationFree Vibration位移振幅每周衰减位移振幅每周衰减位移振幅每周衰减位移振幅每周衰减223 3 3 37 7 7 7 图图图图3 3 3 323232323所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m m m m=9 kg=9 kg=9 kg=9 kg，弹簧弹簧弹簧弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m，摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数 =0.15=0.15=0.15=0.15，初始条件是，初始条件是，初始条件是，初始条件是Free VibrationFree Vibration233 3 3 37 7 7 7 图图图图3 3 3 323232323所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m m m m=9 kg=9 kg=9 kg=9 kg，弹簧弹簧弹簧弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m，摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数 =0.15=0.15=0.15=0.15，初始条件是，初始条件是，初始条件是，初始条件是Free VibrationFree Vibration速度振幅每周衰减速度振幅每周衰减速度振幅每周衰减速度振幅每周衰减243 3 3 37 7 7 7 图图图图3 3 3 323232323所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m m m m=9 kg=9 kg=9 kg=9 kg，弹簧弹簧弹簧弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m，摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数 =0.15=0.15=0.15=0.15，初始条件是，初始条件是，初始条件是，初始条件是Free VibrationFree Vibration振幅每周衰减振幅每周衰减振幅每周衰减振幅每周衰减3 3 3 3个周期后，振幅为个周期后，振幅为个周期后，振幅为个周期后，振幅为 2.32 mm2.32 mm2.32 mm2.32 mm，此时位移和速度振幅的表达式为，此时位移和速度振幅的表达式为，此时位移和速度振幅的表达式为，此时位移和速度振幅的表达式为253 3 3 37 7 7 7 图图图图3 3 3 323232323所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m m m m=9 kg=9 kg=9 kg=9 kg，弹簧弹簧弹簧弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m=7 kN/m，摩擦系数摩擦系数摩擦系数摩擦系数 =0.15=0.15=0.15=0.15，初始条件是，初始条件是，初始条件是，初始条件是Free VibrationFree Vibration2.32 mm2.32 mm2.32 mm2.32 mm1.46 mm1.46 mm1.46 mm1.46 mm26Free VibrationFree Vibration3 310 10 图图图图3-263-26所示扭转振动系统中，所示扭转振动系统中，所示扭转振动系统中，所示扭转振动系统中，k k1 1=k k2 2=k k，J J1 1=2 =2 J J2 2=2 =2 J J。(a)(a)求系统的固有频率和主振型；求系统的固有频率和主振型；求系统的固有频率和主振型；求系统的固有频率和主振型；(b)b)设：设：设：设：=1 =1 radrad，=2 rad2 rad，求系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。273 3 3 311 11 11 11 求图求图求图求图3-273-273-273-27所示系统的振型矩阵所示系统的振型矩阵所示系统的振型矩阵所示系统的振型矩阵 u u u u 、正则化振型矩阵正则化振型矩阵正则化振型矩阵正则化振型矩阵 和和和和主坐标。主坐标。主坐标。主坐标。Free VibrationFree Vibration283 3 3 312 12 12 12 设图设图设图设图3-283-283-283-28所示系统中，所示系统中，所示系统中，所示系统中，轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为 EIEIEIEI，它的惯性矩它的惯性矩它的惯性矩它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量 J J J J=mRmRmRmR2 2 2 2/4/4/4/4，R R R R=L L L L/4/4/4/4，静平衡时轴在水静平衡时轴在水静平衡时轴在水静平衡时轴在水平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。Free VibrationFree Vibration由梁的基础理论可由梁的基础理论可由梁的基础理论可由梁的基础理论可知影响系数为知影响系数为知影响系数为知影响系数为293 3 3 312 12 12 12 设图设图设图设图3-283-283-283-28所示系统中，所示系统中，所示系统中，所示系统中，轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为轴的抗弯刚度为 EIEIEIEI，它的惯性矩它的惯性矩它的惯性矩它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量不计，圆盘的转动惯量 J J J J=mRmRmRmR2 2 2 2/4/4/4/4，R R R R=L L L L/4/4/4/4，静平衡时轴在水静平衡时轴在水静平衡时轴在水静平衡时轴在水平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。平位置。求系统的固有频率。Free VibrationFree Vibration详细推导详细推导303 3 3 313 13 13 13 用用用用 Rayleigh Rayleigh Rayleigh Rayleigh 法和法和法和法和 Dunkerley Dunkerley Dunkerley Dunkerley 公式估算图公式估算图公式估算图公式估算图2 2 2 216161616所示所示所示所示系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。Free VibrationFree VibrationRayleigh 313 3 3 313 13 13 13 用用用用 Rayleigh Rayleigh Rayleigh Rayleigh 法和法和法和法和 Dunkerley Dunkerley Dunkerley Dunkerley 公式估算图公式估算图公式估算图公式估算图2 2 2 216161616所示所示所示所示系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。Free VibrationFree VibrationRayleigh Dunkerly 323 3 3 313 13 13 13 用用用用 Rayleigh Rayleigh Rayleigh Rayleigh 法和法和法和法和 Dunkerley Dunkerley Dunkerley Dunkerley 公式估算图公式估算图公式估算图公式估算图2 2 2 216161616所示所示所示所示系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。精确解相比较。Free VibrationFree VibrationRayleigh Dunkerly 334 4 4 41 1 1 1 如图如图如图如图4 4 4 420202020所示，一质量为所示，一质量为所示，一质量为所示，一质量为 m m m m 的油缸与刚度为的油缸与刚度为的油缸与刚度为的油缸与刚度为 k k k k 的弹的弹的弹的弹簧相连，通过阻尼系数为簧相连，通过阻尼系数为簧相连，通过阻尼系数为簧相连，通过阻尼系数为 c c c c 的粘性阻尼器以运动规律的粘性阻尼器以运动规律的粘性阻尼器以运动规律的粘性阻尼器以运动规律 y y y y=A A A A sin sin sin sin t t t t 的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。活塞的相位。活塞的相位。活塞的相位。Free VibrationFree Vibrationx344 4 4 42 2 2 2 试导出图试导出图试导出图试导出图4 4 4 421212121所示系统的振动微分方程，并求系统的稳所示系统的振动微分方程，并求系统的稳所示系统的振动微分方程，并求系统的稳所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。态响应。态响应。态响应。Free VibrationFree Vibration稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应其中其中其中其中354 4 4 45 5 5 5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式 k k k k=k k k k0 0 0 0 e e e e i 2 i 2 i 2 i 2 表示。求系统在简谐激励下的响应。表示。求系统在简谐激励下的响应。表示。求系统在简谐激励下的响应。表示。求系统在简谐激励下的响应。Free VibrationFree Vibration系统的响应系统的响应系统的响应系统的响应364 4 4 47 7 7 7 如图如图如图如图4 4 4 423232323所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度v v v v之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利的运行速度。的运行速度。的运行速度。的运行速度。Free VibrationFree Vibration374 4 4 47 7 7 7 如图如图如图如图4 4 4 423232323所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度v v v v之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利的运行速度。的运行速度。的运行速度。的运行速度。Free VibrationFree Vibration384 4 4 47 7 7 7 如图如图如图如图4 4 4 423232323所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度行。试求出车辆振幅与运行速度v v v v之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利之间的关系，并确定最不利的运行速度。的运行速度。的运行速度。的运行速度。Free VibrationFree Vibration394 4 4 410 10 10 10 如图如图如图如图4 4 4 426262626所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧-质量系统，从质量系统，从质量系统，从质量系统，从t t t t=0=0=0=0时，突加时，突加时，突加时，突加一个一个一个一个F F F F0 0 0 0力，以后该力保持不变。试用力，以后该力保持不变。试用力，以后该力保持不变。试用力，以后该力保持不变。试用DuhamelDuhamelDuhamelDuhamel积分求系统的响应，积分求系统的响应，积分求系统的响应，积分求系统的响应，并概略图示之。并概略图示之。并概略图示之。并概略图示之。Free VibrationFree Vibrationplot(subs(F0=1,m=1,omegan=2,X1),t=0.2plot(subs(F0=1,m=1,omegan=2,X1),t=0.20)0)404 4 4 411 11 11 11 如图如图如图如图4 4 4 426262626所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧-质量系统，从质量系统，从质量系统，从质量系统，从t t t t=0=0=0=0开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的F F F F0 0 0 0力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为t t t t0 0 0 0。求系统在。求系统在。求系统在。求系统在t t t t t t t t0 0 0 0和和和和 t t t t t t t t0 0 0 0两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出 t t t t t t t t0 0 0 0时最大位移与时最大位移与时最大位移与时最大位移与 t t t t0 0 0 0/的关系。如果的关系。如果的关系。如果的关系。如果 t t t t0 0 0 0与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期 相比很小，相比很小，相比很小，相比很小，最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少?请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。Free VibrationFree Vibrationt t t t=t t t t0 0 0 0414 4 4 411 11 11 11 如图如图如图如图4 4 4 426262626所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧-质量系统，从质量系统，从质量系统，从质量系统，从t t t t=0=0=0=0开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的F F F F0 0 0 0力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为t t t t0 0 0 0。求系统在。求系统在。求系统在。求系统在t t t t t t t t0 0 0 0和和和和 t t t t t t t t0 0 0 0两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出 t t t t t t t t0 0 0 0时最大位移与时最大位移与时最大位移与时最大位移与 t t t t0 0 0 0/的关系。如果的关系。如果的关系。如果的关系。如果 t t t t0 0 0 0与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期 相比很小，相比很小，相比很小，相比很小，最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少?请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。Free VibrationFree Vibrationt t t t t t t t0 0 0 0424 4 4 411 11 11 11 如图如图如图如图4 4 4 426262626所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧所示，一弹簧-质量系统，从质量系统，从质量系统，从质量系统，从t t t t=0=0=0=0开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的开始作用一不变的F F F F0 0 0 0力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为力，作用时间为t t t t0 0 0 0。求系统在。求系统在。求系统在。求系统在t t t t t t t t0 0 0 0和和和和 t t t t t t t t0 0 0 0两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出两种情况下的响应，并找出 t t t t t t t t0 0 0 0时最大位移与时最大位移与时最大位移与时最大位移与 t t t t0 0 0 0/的关系。如果的关系。如果的关系。如果的关系。如果 t t t t0 0 0 0与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期与系统自振周期 相比很小，相比很小，相比很小，相比很小，最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少最大位移为多少?请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。请与脉冲响应函数比较。Free VibrationFree Vibration找出找出找出找出 t t t t t t t t0 0 0 0时最大位移与时最大位移与时最大位移与时最大位移与 t t t t0 0 0 0/的关系的关系的关系的关系脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数t t t t0 0 0 0与系统自振周与系统自振周与系统自振周与系统自振周期期期期 相比很小相比很小相比很小相比很小最最最最大大大大位位位位移移移移434 4 4 417 17 17 17 求图求图求图求图4 4 4 43 3 3 31 1 1 1所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。Free VibrationFree Vibration444 4 4 417 17 17 17 求图求图求图求图4 4 4 43 3 3 31 1 1 1所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。Free VibrationFree Vibration454 4 4 417 17 17 17 求图求图求图求图4 4 4 43 3 3 31 1 1 1所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。Free VibrationFree VibrationH H H H()导纳矩阵，其中导纳矩阵，其中导纳矩阵，其中导纳矩阵，其中如果令如果令如果令如果令464 4 4 417 17 17 17 求图求图求图求图4 4 4 43 3 3 31 1 1 1所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。所示系统的稳态响应。Free VibrationFree Vibrationc c c c=0.0=0.0=0.0=0.0c c c c=0.025=0.025=0.025=0.025c c c c=0.05=0.05=0.05=0.05c c c c=0.1=0.1=0.1=0.1c c c c=0.25=0.25=0.25=0.25c c c c=0.5=0.5=0.5=0.5c c c c=0.0=0.0=0.0=0.0c c c c=0.025=0.025=0.025=0.025c c c c=0.05=0.05=0.05=0.05c c c c=0.1=0.1=0.1=0.1c c c c=0.25=0.25=0.25=0.25c c c c=0.5=0.5=0.5=0.5475 5 5 52 2 2 2 一振动系统具有下列参数：质量一振动系统具有下列参数：质量一振动系统具有下列参数：质量一振动系统具有下列参数：质量 m m m m=17.5 kg=17.5 kg=17.5 kg=17.5 kg，弹簧，弹簧，弹簧，弹簧刚度刚度刚度刚度 k k k k=70.0 N/cm=70.0 N/cm=70.0 N/cm=70.0 N/cm，粘性阻尼系数，粘性阻尼系数，粘性阻尼系数，粘性阻尼系数 c c c c=0.70 N s/cm=0.70 N s/cm=0.70 N s/cm=0.70 N s/cm。求：。求：。求：。求：(a)(a)(a)(a)阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比 ；(b)(b)(b)(b)有阻尼固有频率；有阻尼固有频率；有阻尼固有频率；有阻尼固有频率；(c)(c)(c)(c)对数衰减率；对数衰减率；对数衰减率；对数衰减率；(d)(d)(d)(d)任意二相临振幅比值。任意二相临振幅比值。任意二相临振幅比值。任意二相临振幅比值。Free VibrationFree Vibration485 5 5 54 4 4 4 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量 m m m m=5 kg=5 kg=5 kg=5 kg，等效，等效，等效，等效刚度刚度刚度刚度 k k k k=10 kN/m=10 kN/m=10 kN/m=10 kN/m，其任意两相邻振幅比为，其任意两相邻振幅比为，其任意两相邻振幅比为，其任意两相邻振幅比为1:0.981:0.981:0.981:0.98，求求求求:(a)(a)(a)(a)系统的有阻尼固有频率；系统的有阻尼固有频率；系统的有阻尼固有频率；系统的有阻尼固有频率；(b)(b)(b)(b)对数衰减率；对数衰减率；对数衰减率；对数衰减率；(c)(c)(c)(c)阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数 c c c c；(d)(d)(d)(d)阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比 Free VibrationFree Vibration495 5 5 55 5 5 5 机器质量为机器质量为机器质量为机器质量为 453.4 kg453.4 kg453.4 kg453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变形为形为形为形为 5.08 mm5.08 mm5.08 mm5.08 mm，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为 0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m。求：。求：。求：。求：(a)(a)(a)(a)在在在在 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；(b)(b)(b)(b)在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅(假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略)。Free VibrationFree Vibration该系统振动微分方程为该系统振动微分方程为50Free VibrationFree Vibration5 5 5 55 5 5 5 机器质量为机器质量为机器质量为机器质量为 453.4 kg453.4 kg453.4 kg453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变形为形为形为形为 5.08 mm5.08 mm5.08 mm5.08 mm，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为 0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m。求：。求：。求：。求：(a)(a)(a)(a)在在在在 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；(b)(b)(b)(b)在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅(假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略)。51Free VibrationFree Vibration5 5 5 55 5 5 5 机器质量为机器质量为机器质量为机器质量为 453.4 kg453.4 kg453.4 kg453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变，安装时使支承弹簧产生的静变形为形为形为形为 5.08 mm5.08 mm5.08 mm5.08 mm，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为，若机器的旋转失衡为 0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m0.2308 kg.m。求：。求：。求：。求：(a)(a)(a)(a)在在在在 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 1200 rpm 时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；时传给地面的力；(b)(b)(b)(b)在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅在同一速度下的动振幅(假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略假定阻尼可以忽略)。或或无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼525 5 5 59 9 9 9 如图如图如图如图5 5 5 521212121所示，机器重所示，机器重所示，机器重所示，机器重 2500 kN2500 kN2500 kN2500 kN，弹簧刚度，弹簧刚度，弹簧刚度，弹簧刚度 k k k k=800 =800 =800 =800 kN/mkN/mkN/mkN/m，阻尼比，阻尼比，阻尼比，阻尼比=0.1=0.1=0.1=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：，干扰力频率与发动机转速相等。试问：，干扰力频率与发动机转速相等。试问：，干扰力频率与发动机转速相等。试问：(a)(a)(a)(a)在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；(b)(b)(b)(b)传递传递传递传递力为激振力力为激振力力为激振力力为激振力 20%20%20%20%时的转速是多大？时的转速是多大？时的转速是多大？时的转速是多大？Free VibrationFree Vibration(a)n 23.9 rpm(b)n=43.45 rpm 535 5 5 510 10 10 10 一仪器要与发动机的频率从一仪器要与发动机的频率从一仪器要与发动机的频率从一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 1600 rpm 1600 rpm 1600 rpm 到到到到2200 rpm 2200 rpm 2200 rpm 2200 rpm 范围实现振动隔离，若要隔离范围实现振动隔离，若要隔离范围实现振动隔离，若要隔离范围实现振动隔离，若要隔离85858585，仪器安装在隔振装置上时，仪器安装在隔振装置上时，仪器安装在隔振装置上时，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？隔振装置的静变形应为多少？隔振装置的静变形应为多少？隔振装置的静变形应为多少？Free VibrationFree Vibration选取选取选取选取1600 rpm1600 rpm1600 rpm1600 rpm，可以，可以，可以，可以获得较小的固有频率获得较小的固有频率获得较小的固有频率获得较小的固有频率545 5 5 512 12 12 12 某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以 600 rpm 600 rpm 600 rpm 600 rpm 的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器重重重重 500 kN500 kN500 kN500 kN，基频为，基频为，基频为，基频为 400 rpm400 rpm400 rpm400 rpm。若装上一个重。若装上一个重。若装上一个重。若装上一个重 125 kN125 kN125 kN125 kN的吸振器的吸振器的吸振器的吸振器以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度 k k k k2 2 2 2 及该系统的两个及该系统的两个及该系统的两个及该系统的两个固有频率。固有频率。固有频率。固有频率。(图图图图5-13)5-13)5-13)5-13)Free VibrationFree Vibration555 5 5 512 12 12 12 某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以某筛煤机的筛子以 600 rpm 600 rpm 600 rpm 600 rpm 的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器的频率作往复运动，机器重重重重 500 kN500 kN500 kN500 kN，基频为，基频为，基频为，基频为 400 rpm400 rpm400 rpm400 rpm。若装上一个重。若装上一个重。若装上一个重。若装上一个重 125 kN125 kN125 kN125 kN的吸振器的吸振器的吸振器的吸振器以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度 k k k k2 2 2 2 及该系统的两个及该
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