机械工程控制基础--系统的数学模型概述课件

机械工程控制基础机械工程控制基础时域模型时域模型时域模型时域模型 微分方程、差分、状态方程微分方程、差分、状态方程微分方程、差分、状态方程微分方程、差分、状态方程复域模型复域模型复域模型复域模型 传递函数、结构图传递函数、结构图传递函数、结构图传递函数、结构图频域模型频域模型频域模型频域模型 频率特性频率特性频率特性频率特性第第2 2章章 系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型2.1 2.1 引言引言数学模型数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式量之间关系的数学表达式 建模方法：建模方法：解析法，实验法解析法，实验法2.2 2.2 时域数学模型时域数学模型 微分方程微分方程 线性元部件、线性系统微分方程的建立线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2.1 2.1 引言引言数学模型数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数的数 学表达式学表达式 建模方法建模方法 解析法解析法（机理分析法）（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法法（系（系统辨辨识法）法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性22.2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程微分方程线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式22.2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程微分方程22.2.2.1 1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程例例1 R-L-C 1 R-L-C 串连电路串连电路22.2.2.1 1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程例例2 2 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统22.2.2.1 1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程电磁力矩：电磁力矩：安培定律安培定律电枢反电势：电枢反电势：楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路：克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡：牛顿定律牛顿定律电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数消去中间变量消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：可得：例例3 3 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机22.2.2.1 1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程反馈口：反馈口：放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：消去中间变量可得：消去中间变量可得：例例4 X-Y 4 X-Y 记录仪记录仪 微分方程中的变量也可采用增量方式微分方程中的变量也可采用增量方式 表示：表示：方程形式相同方程形式相同工作元件存在非线性，在工作点处有导工作元件存在非线性，在工作点处有导 数或偏导数存在线性化处理数或偏导数存在线性化处理22.2.2.2 2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化（举例（举例1 1）取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有 例例5 5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解解.在工作点在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数22.2.2.2 2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化（举例（举例2 2）解解.在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得代入原方程可得在平衡点处系统满足在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程上两式相减可得线性化方程 例例6 6 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程 式中式中 S 为液位容器的横截面积。若为液位容器的横截面积。若 h 与与 Q 在其工作点附近做微量在其工作点附近做微量 变化，试导出变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解微分方程求解方法微分方程求解方法 机械工程控制基础机械工程控制基础系统的数学模型系统的数学模型课程回顾课程回顾 时域模型时域模型 微分方程微分方程 元部件及系统微分方程的建立元部件及系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的特点线性定常系统微分方程的特点 非线性方程的线性化非线性方程的线性化 微分方程求解微分方程求解22.3 3 系统的复域模型系统的复域模型传递函数传递函数22.3 3.1 1 传递函数的定义传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。22.3 3.2 2 传递函数的标准形式传递函数的标准形式微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数：首首1 1标准型：标准型：尾尾1 1标准型：标准型：22.3 3 系统的复域模型系统的复域模型传递函数传递函数例例7 7 已知已知将其化为首将其化为首1 1、尾、尾1 1标准型，并确定其增益。标准型，并确定其增益。解解.首首1 1标准型标准型尾尾1 1标准型标准型增益增益 22.3 3 系统的复域模型系统的复域模型传递函数传递函数 传递函数的性质传递函数的性质 (1)G(s)是复函数；是复函数；(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L k(t)；(5)G(s)与与 s 平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。例例8 8 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为：试求试求：（：（1 1）系统的传递函数；系统的传递函数；（2 2）系统的增益；系统的增益；（3 3）系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态；（4 4）画出对应的零极点图；画出对应的零极点图；（5 5）求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应；（6 6）求系统微分方程；求系统微分方程；（7 7）当当 c(0)=-1,cc(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。时，求系统的响应。解解.（1 1）(2)(2)(4)(4)如图所示如图所示(3)(3)(5)(5)(6)(6)（7 7）其中初条件引起的自由响应部分其中初条件引起的自由响应部分 （1 1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2 2）适合于描述单输入）适合于描述单输入/单输出系统；单输出系统；（3 3）只能用于表示线性定常系统。）只能用于表示线性定常系统。例例8 8 线性线性/非线性，定常非线性，定常/时变系统的辨析时变系统的辨析 传递函数的局限性传递函数的局限性 传递函数传递函数例例 系统如图，被控对象微分方程为系统如图，被控对象微分方程为求系统传递函数求系统传递函数F(F(s)。解解.(1)(1)求求G0(s)(2)(2)由运放由运放 传递函数传递函数整理得整理得 2.3.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数电位器(无负载时)2.3.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数电桥式误差角电桥式误差角(位置位置)检测器检测器2.3.3 典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数自整角机注 自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别1)前者工作于交流状态，后者直流 2)自整角机无摩擦，精度高 3)自整角机可以大于2.3.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数传递函数都可看作典型环节的组合传递函数都可看作典型环节的组合2.3.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数环节：具有相同形式传递函数的元部件的环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。分类。典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数不同的元部件可以有相同的传递函数；不同的元部件可以有相同的传递函数；若输入输出变量选择不同，同一部件可以若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数有不同的传递函数；任一传递函数都可看作典型环节的组合。任一传递函数都可看作典型环节的组合。2.3.5负载效效应负载效应问题负载效应问题两级断开 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.4 控制系统的控制系统的传递函数方框图及其等效变换传递函数方框图及其等效变换 2.4.1 传递函数方框函数方框图 要素：要素：信号信号线；方框（方框（环节）；）；相加（比相加（比较）点；）点；分支（引出）点分支（引出）点 建立建立2.4 系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化2.4 系统的传递函数方框系统的传递函数方框图及其简化图及其简化反馈口：反馈口：例例1 X-Y 1 X-Y 记录仪记录仪放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：测速机：测速机：电磁力矩：电磁力矩：电枢反电势：电枢反电势：电枢回路：电枢回路：力矩平衡：力矩平衡：例例2 2 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机直流电动机传递函数框图直流电动机传递函数框图2.4 系统的传递函数方框系统的传递函数方框图及其简化图及其简化1 1）.环节串联：环节串联：环节串联：环节串联：2 2）.环节并联：环节并联：环节并联：环节并联：2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化2.4.2 传递函数方框函数方框图等效等效变换规则2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化3）.反馈等效：反馈等效：2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化例 4 4）.相加点、分支点的移动相加点、分支点的移动相加点、分支点的移动相加点、分支点的移动 相加点换位相加点换位相加点换位相加点换位 分支点换位分支点换位分支点换位分支点换位 2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化 相加点前移相加点前移相加点前移相加点前移 相加点后移相加点后移相加点后移相加点后移 2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化 分支点前移分支点前移分支点前移分支点前移 分支点后移分支点后移分支点后移分支点后移 2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化比较点、引出点换位比较点、引出点换位比较点、引出点换位比较点、引出点换位 2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化2.4系统的系统的传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化 2.5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图2.5.1 信号流信号流图与与结构构图的的对应关系关系 信号流信号流图 结构构图 源源节点点 输入信号入信号 阱阱节点点 输出信号出信号 混合混合节点点 比比较点，引出点点，引出点 支路支路 环节 支路增益支路增益 环节传递函数函数 前向通路前向通路 回路回路 互不接触回路互不接触回路信号流图与结构图的转换信号流图与结构图的转换（1）控制系统信号流图控制系统信号流图（1）信号流图）信号流图 结构图结构图信号流图与结构图的转换信号流图与结构图的转换（2）（2）结构图）结构图 信号流图信号流图系统信号流图系统信号流图2.5.2 梅逊（梅逊（Mason）增益公式增益公式 Mason公式公式:特征式特征式 前向通路的条数前向通路的条数 第第k条前向通路的条前向通路的总增益增益 所有不同回路的回路增益之和所有不同回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘两两互不接触回路的回路增益乘积之和之和 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和之和 第第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式(把与第把与第k条前向通路接条前向通路接触的回路去除，剩余回路构成的子特征式触的回路去除，剩余回路构成的子特征式Mason 公式公式例例 1 求求传递函数函数 C(s)/R(s)例例 1 求求C(s)/R(s)Mason 公式公式例例 2 求求传递函数函数 C(s)/R(s)例例 2 求求C(s)/R(s)Mason 公式公式例例 3 求求传递函数函数 C(s)/R(s)例例 3 求求C(s)/R(s)Mason 公式公式例例 4 求求传递函数函数 C(s)/R(s)例例 4 求求C(s)/R(s)Mason 公式公式例例 5 求求传递函数函数 C(s)/R(s)例例 5 求求C(s)/R(s)Mason 公式公式例例 6 求求传递函数函数 C(s)/R(s),C(s)/N(s)例例6 求求 C(s)/R(s),C(s)/N(s)2.6 考虑扰动的反馈系统的传递函数考虑扰动的反馈系统的传递函数1.开开环传递函数函数2.输入入 r(t)作用下的作用下的闭环传递函数函数2.6 考虑扰动的反馈系统的传递函数考虑扰动的反馈系统的传递函数3.干干扰 n(t)作用下的作用下的闭环传递函数函数4.系系统的的总输出出 C(s)及及总误差差 E(s)2.6 考虑扰动的反馈系统的传递函数考虑扰动的反馈系统的传递函数5.讨论 并且并且 则反反馈系系统系系统有很有很强的抗干的抗干扰能力，能力，单位反位反馈时，H(s)1,可以近似有可以近似有 2.6 考虑扰动的反馈系统的传递函数考虑扰动的反馈系统的传递函数(例例)例例7 系系统结构构图如右如右图所示，所示，求当求当输入入 r(t)=1(t)干干扰 n(t)=d d(t)初条件初条件 c(0)=-1 c(0)=0 时系系统的的总输出出 c(t)和和总误差差e(t)。求解求解 数学描述方法：输入输出描述（外外部部描描述述）:高高阶微微分分方方程程、传递函函数数 矩矩阵。状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。统的一种完整的描述。2.7 系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.7 系统的状态空间模型系统的状态空间模型状态、状态变量和状态向量状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各个变量称为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。状态空间：状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。状态方程：状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，可以表示为根据系根据系统物理模型建立物理模型建立动态方程方程 RLC 电路 例例 试列写如图所示RLC的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。解解 有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。根据独立性要求，电阻器的电压与电流、电容器的电压与电荷、电感器的电流与磁通这三组变量不能选作为系统的状态。根据回路电压定律 电路输出量 y 为 1)设状态变量为电感器电流和电容器电压，即 则状态方程为 输出方程为 其向量其向量-矩矩阵形式形式为 简记为 式中，2)设状态变量为电容器电流和电荷，即 则有 设微分方程微分方程记 则得得动态方程方程 由高阶微分方程建动态方程由高阶微分方程建动态方程2.7 系统的状态空间模型系统的状态空间模型状态矩阵 A、控制矩阵 B、输出矩阵 C、前馈矩阵 D:2.7 系统的状态空间模型系统的状态空间模型令初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换，系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为第二章小结