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一、方向导数的定义一、方向导数的定义（如图）（如图）当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？记为记为证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数或推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义解解解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故例3.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量 的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为例4.求函数求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为例5.设设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数三、梯度的概念三、梯度的概念结论结论在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线（等值线）等高线（等值线）梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：类似于二元函数，此梯度也是这样一个向类似于二元函数，此梯度也是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 梯度的基本运算公式解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.思考题思考题思考题解答思考题解答1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .曲线1.(1)在点解函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量 2.函数在点处的梯度解解:则指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A3.函数函数提示提示:则xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！
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