数学课堂教学的核心—教学课件

数学课堂教学的核心数学课堂教学的核心1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。塞约翰逊2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。伯克3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。塞约翰逊4、权力会奴化一切。塔西佗5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。莎士比数学课程焦点文件发表：强调数学基础n2006年9月12日，美国全国数学教师协会发布数学课程焦点，对2000年的数学课程与评价标准做了补充说明，力求在保持创造、发展的同时，强调数学基础的重要性。这也是近10年来美国“数学战争”的一项重要结果。464聚焦“基础”n课程焦点是各个年级（K-8）的重要数学课题。这些教学领域着重为各个年级的课程设计和教学提供组织结构。这些课题处于数学的中心地带：它们所承载的知识和技能知识和技能对受教育的公民是必不可少的，并为进一步的数学学习提供了基础。474强调的重点：基础，速度，技能n自动化回忆基本事实。在整数运算中，计算的流畅性（fluency）是关键的。计算流畅性的重要组成部分是效率和正确性。最终，流畅性需要基本数字事实的自动化回忆。n快速记起(recall)乘法和相应的除法的意义，熟练进行整数的乘法和除法。484美国设立国家数学咨询委员会n2006年4月18日，布什总统任命一个“（National Mathematics Advisory Panel）”,任务是帮助总统和部长在科学研究的基础上构建最好的美国数学教育。n委员会的具体目标是在2008年2月向总统提出正式的报告n委员会分成以下5个工作小组：概念性知识和技能；学习过程；教学实践；教师；评价494委员会的组成n主席佛克纳尔（Larry R.Faulkner）是一位化学博士，在许多大学化学系任教授、主任，以及学院院长。现任休斯顿一个私人设立的慈善基金会主席，德州大学荣休教授。n副主席本鲍（C。P。Benbow）是一位教育心理学家。n 成员中有心理学家，数学家，数学教育家，数学教师等。n包括两位华裔学者，一位是前面提到的数学家伍鸿熙教授，另一位是马立平博士。她在华东师范大学获得硕士学位，又在斯坦福大学获得博士学位。一本以博士论文为基础的著作（Knowing and Teaching Elementary Mathematics）指出美国小学数学教师的数学水平低下，成为美国教育方面的畅销书，因而一举成名。4104公开听证，记录在案 委员会计划在2008年2月向总统提交最后报告之前，在全美各地举行10次会议。n2006年5月（华盛顿），6月（北卡州），9月（波士顿），11月（洛杉矶），2007年1月（新奥尔良），4月（芝加哥）举行了6次，6月5-6日在迈阿密。n非常详细的日程已经公布。4114 二 9年义务教育数学课程标准（修订稿）即将公布4124修订之一n 修改修改了三句话：了三句话：n 人人都能获得良好的数学教育人人都能获得良好的数学教育n人人都能获得必需的数学n人人学习有价值的数学n 不同的人在数学上得到不同的发展不同的人在数学上得到不同的发展4134修订之二n 重提教师的主导作用，启发式讲授，明确提出：n 好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。4144修订之三n 注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。n 将“双基”发展为四基：*基本知识 *基本技能 *基本数学活动经验基本数学活动经验 *基本数学思想方法4154修订之四n贴近学生现实包括：n 生活现实n 数学现实n 其他学科现实4164修订之五n 整理、补调整许多内容；n 例如 “几何”名称的恢复；尺规作图的补充；推理论证的规定4174理性的回归n 数学课程标准的争论，可以说基本结束。n 坚持了大方向，处理得更符合实际，得到各方面的认可。n 正常的学术争论还会继续，例如“数感”，不同的人得到不同的发展等4184 三。谨慎地接受西三。谨慎地接受西方的教育理论！方的教育理论！4194建构主义的定义(mathforum）建构主义是一种科学理论，建构主义是一种科学理论，不能庸俗化。台湾的失败。不能庸俗化。台湾的失败。（知识是个人学习的，大白话。）“什么是建构主义？如下的解释能够同意吗如下的解释能够同意吗?“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话4204建构主义的某些主张并不新鲜n 知识是学生自己建构的n 学生不是一张白纸n 学生的头脑不是一张空桶n 知识是不能灌输的。n 建构主义教育建议：自主、探究、合作。我们都同意！以前也是这样提倡的！我们都同意！以前也是这样提倡的！4214 能动的反映论n 教师为主导，学生为主体。n 师傅领进门，修行在个人。n 启发式教学，师生讨论，反对满堂灌。n 谁说“学生是一张白纸？”“能动的反映论”！n 知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？4224建构主义的局限：缺乏效率n 教育不等于认识论。教育不等于认识论。n 数学教学是要在很短的时间里，数学教学是要在很短的时间里，让学生把让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值本质，精中求简，保持核心价值n 一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？没有效率的教学理论是走不远的！4234人的知识多半是主动接受而来人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验，少量的直接经验n 书籍、报刊的阅读，n 电视的传播，世纪大讲堂。n 领导的讲话，听名人报告。n 政府颁布的法律，遵守就是了n 交通规则的遵守，学开车知道照办 这些都是这些都是“单向传输的单向传输的”n为什么教师在课堂讲授就是错误的？为什么教师在课堂讲授就是错误的？n 西方课堂上教师与学生讲话西方课堂上教师与学生讲话 8 8：1 1n香港是香港是 16 16：1 1（TIMSSTIMSS调查，调查，19991999）4244 数学教育的核心是让学数学教育的核心是让学生掌握数学本质；生掌握数学本质；教育数学的目标是为教育数学的目标是为学生提供优质数学。学生提供优质数学。4254数学教育中的“去数学化”倾向n 香港科技大学教授项武义认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。n“去数学化”，指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，忽视数学实质的揭示。4264 第二部分第二部分关于数学本质的把握与呈现4274数学教学成功的标志n 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学本质的理解；数学知识的掌握；数学知识的掌握；数学能力的形成。数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？游离于数学本身）n奇谈怪论：奇谈怪论：n 结果不是最重要的，结果不是最重要的，重要的在于参与；重要的在于参与；n 知识不是最重要的，知识不是最重要的，重要的在于过程。重要的在于过程。4284 项目项目因素因素优秀优秀良好良好待提待提高高情意过程教学环境教学环境教学环境教学环境学习兴趣学习兴趣学习兴趣学习兴趣自信心自信心自信心自信心认知过程学习方式学习方式学习方式学习方式思维的发展思维的发展思维的发展思维的发展解决问题与应用意识解决问题与应用意识解决问题与应用意识解决问题与应用意识因材施教尊重个性差异尊重个性差异尊重个性差异尊重个性差异面向全体学生面向全体学生面向全体学生面向全体学生教学方法与手段教学方法与手段教学方法与手段教学方法与手段基本功扎实、有效扎实、有效扎实、有效扎实、有效总评4294数学知识的储备：一个比喻n 一缸水和一杯水n 一桶水和一杯水n 一杯水和一杯水n 没有水可以打井取水n 教师的作用：鱼，渔n 数学本质的把握需要数学修养 4304“数学本质”的内涵：1。数学知识的内在联系；2。数学规律的形成过程；3。数学思想方法的提炼；4。数学理性精神的体验。形成数学的教育形态：“返朴归真返朴归真”，“平易近人平易近人”，“言之有理言之有理”，“感悟真情感悟真情”4314数学本质被两种活动所掩盖：1。过度的形式化。过度的形式化。“淡化形式，淡化形式，注重实质注重实质”。2 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。效率的教学过程。4324例1。三角形内角和问题n姜伯驹院士在政协的提案指出n“三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”n 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。n 李大潜院士李大潜院士：“老是量，老是量，就倒退就倒退到尼罗河时代去了到尼罗河时代去了”4334三角形内角和定理的价值n 没有实际价值，超越日常经验。n 当初古希腊学者不是“量”出来的。n价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。n 建议：要么作公理，要么进行推理。n 标准修订稿探索并证明三角形内角和定理。（基于平行线同位角相等）4344例例2。正弦定理的教学。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计）n请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC,b/sinB,a/sinA 的值，看看有什么结果？n（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）4354学生abcABCc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA4.13.33.757005006004.3309.6494.3636.3784.308B5.33.13.6107.5033039.505.660-10.3015.5576.3205.692c3336006006002.59862.59862.598根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？4364正弦定理是量出来的吗？n分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。n正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，比一下立刻推得。n正正弦弦定定理理的的本本质质在在于于找找到到“三三角角形形的的边边与与角角的的关关系系”，平平面面几几何何“大大边边对对大大角角”的数量化。的数量化。n三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。4374例3。Freudenthal经典情景：巨人的手巨人的手（通过（通过“量量”掌握数学本质）掌握数学本质）n比例只是比例只是“照片放大照片放大”、“地图比例尺地图比例尺”？n黑板上留下巨人的手印，黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计巨请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。活动设计：1。用自己的手和巨人的手相比。用自己的手和巨人的手相比。2。定下定下“比值比值”3。量自己的书、桌子、椅子尺寸量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。用比例放大用比例放大 （量得有价值，（量得有价值，有意义）有意义）4384例4。坐标活动（长宁）n 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；n 坐标对应学生，请学生自己看坐标；n 两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来；n 换一个同学做坐标原点。换一个同学做坐标原点。n 这样活动，这样活动，抓住了抓住了“坐标坐标”的数学实的数学实质。质。4394“坐标确定位置”：定位太低n 电影院座位：几排几座。n 电影院位置：某大街和某大路交叉路口n 教室里座位确定（排、座）n 经度和纬度。这些都是日常生活经验，不教也会。打电话需要写入课本吗？数学活动经验：坐标原点选取；坐标架的架设，象限的形成。表示数学对象，反映量的变化等4404例6：美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计n 为了联系学生生活实际,提出情景:“早上起床时,你先要从床上起来(rise),然后走到厨房去做早餐(run)”由此联系到斜率的概念:纵距离与横距离之比 rise over run.评论：评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思,并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例.难道每个rise和run 都有斜率的问题(起床和去厨房这个过程的斜率是什么?)4414另一个美国数学教育故事n一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”.Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是回答是:n “因为那里有平方因为那里有平方”.”.？！？！数学的本质完全被曲解了。数学的本质完全被曲解了。nCindy继续提问,希望他们能意识到问题所在,结果惹得众人很不愉快.事后,那个学区的教师间接告诉Cindy:“请她以后不要再到我们学区来了.我们不欢迎她!”4424例7。方程概念 外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程。n 内在的数学本质内在的数学本质：方程是为了寻求未知数，方程是为了寻求未知数，在已知数在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。和未知数之间建立的一种等价关系。n“方程”思想的本质在于建立关系n 为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。4434 方程思想（三根电线的长度）方程思想（三根电线的长度）n上海上海5151中学陈振宣提供中学陈振宣提供:他的一个学生在和平他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到饭店做电工。发现地下室到1010楼的三根电线不楼的三根电线不一样长。一样长。如何测知他们的电阻？如何测知他们的电阻？n袁枚（清）：袁枚（清）：“学如箭镞，学如箭镞，才如弓弩；才如弓弩；识以领之，识以领之，方能中鹄方能中鹄”。4444例8。复数的定义n 一对有序的实数（x,y)，称做复数。前者成为实部，后者成为虚部。（错）n但是，向量也是一对实数！复数的本质在于它的乘法：复数的本质在于它的乘法：(a,b)(c,d)=(ac bd,ad+bc)n 4454 例9。勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计n 用各种方法发现：方格纸上用各种方法发现：方格纸上3 3，4 4，5 5 的计算等。的计算等。6 6张工作单：发现猜想张工作单：发现猜想 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2n换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用用各种美丽的画面，各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。和外星人联系使用的信息。把把重点放在如何重点放在如何证明上证明上。多种证明。多种证明。最后最后联系到费马大定理 an+bn=cn (n3)。哪一种更能体现数学本质？4464例10。文字代表数的本质：文字代表数的本质：符号运算符号运算 （只代表，（只代表，不运算，不运算，没有价值）没有价值）n项武义教授：“文字代表数的本质是不定元和文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算数字进行相同的运算。n 如如(2x+3x2)=x(2+3x)（教材上没有讲为什么可以这样做）。解二次方程：因子分解、配方、同解变换 根 数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果（复旦 张荫南）4474例11 一个例子怎能概括出负负得正？个例子怎能概括出负负得正？探究式教学探究式教学。例：一列每小时。例：一列每小时80公里的火车向西开，公里的火车向西开，12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，12点之后之前为时间的正负。点之后之前为时间的正负。问问10点时火车在什么点时火车在什么位置？位置？答案：（答案：（-2）x（-80）=160n于是概括概括得出数的运算的规律负负得正。（先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律（先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律）数学不允许这样的概括。数学不允许这样的概括。有意义的接受有意义的接受（先做后说）先有规则，后有解释。先执行，然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。先举例是探究，后举例说明是有意义接受。4484例12“代数式引例（某数学教材设计）：一隧道长一隧道长l米，一列火车长米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为间为t分，则列车的速度怎么表示分，则列车的速度怎么表示”导入新课，指出：象导入新课，指出：象“(l+180)/t”这类表达式称为代数式。这类表达式称为代数式。n创设的情景看起来联系生活实际，实际上离开学生的实际很远。隧道不是学生熟悉的场景。情景创设远离教学主题，只求包装靓丽，不管学生需要，是一种时髦的、但不好的倾向。n我们认为，引例应该十分简单。例如矩形的长a，宽为b,求矩形的周长和面积：M=ab4494 数学符号是一种语言n 语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来。说话写下来就是文章。n 数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论。这是人为构造的语言。语文、数学、诗词、定理，语文、数学、诗词、定理，都是符号运作都是符号运作n 语文是语文是“饭饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜不吃要死，容易煮熟。便宜n 数学是数学是“菜菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。贵。烧菜很难。吃菜必须合理。n 诗词是诗词是“酒酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。欢，闲时享受才喝。定理也是酒。4504例13。函数的两个定义：宏观与微观n人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的写艺术上的写意与工笔意与工笔 n 初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。n 高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。微观函数概念的本质在于精确化的对应。微观函数概念的本质在于精确化的对应。两种定义互有短长，并非高级与低级之分两种定义互有短长，并非高级与低级之分。4514函数定义中“唯一”重要吗？n 唯一不是本质。n 不唯一成多值函数而已。n 多值函数单值化即可。n 描写圆的函数，上半圆和下半圆。n 反三角函数4524例14。函数单调性的教学难点是“无限”。n 单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察，画图，数列等n 但是，单调性概念的数学本质在于处理无限无限变化的趋势；呈现的方式对“任意任意”两个自变量 x1 x2,都有 f(x1)0 m0，糖水变甜；糖水变甜；b/a (b+m)/(a+m)b/a (b+m)/(a+m)如果如果 b/a d/c b/a d/c 是两杯不一样甜的糖水倒再一是两杯不一样甜的糖水倒再一起，起，甜度会怎样？甜度会怎样？b/a (b+d)/(a+c)d/cn这不是证明，却把握了数学过程的本质455417。放烟火放烟火（Interactive Mathematics Project)主题教学主题教学n 一元二次函数的单元模型。n 高楼上放烟火，形成的曲线。n 顶点n 落地点n 与物理的关系：抛物线。n 大模型，大模型，不是一节课的不是一节课的引入引入问题问题4564例18。三角函数。单摆，电磁波n y=ASin(t+)n周期性周期性。这是基本概念。举例（波动，简谐运动，课程表，潮汐 和谐性和谐性。这是三角函数的特征。音乐，单摆，电磁波。n 相位性相位性。理解三角函数变换的难点。n 原始性原始性。不定元 X 可以构造多项式，分式、无理式；sinx 可以构造各种三角函数，用来逼近其他函数。三角恒等变换只是工具而已4574例19.余弦定理与余弦定理与三点距离问题三点距离问题 -表示培养能力表示培养能力n（荷兰）甲离学校（荷兰）甲离学校10公里，公里，乙离甲乙离甲3公里，公里，问乙离学问乙离学校几公里？校几公里？n训练学生的数学表示能力。n甲、乙、学校在一条直线上？没有说。校 乙 甲 乙 坐标。参数。复数。空间 4584例20。微积分的问题驱动n（1）全局的问题。抛物线 y=x2,可以用许多方法研究，试观察它的切线。n（2）关键的问题。割线的极限位置n（3）增量的重要性微积分是增量分析（4）增量比的极限克服极限4594例21 增量分析：微积分的本质。n y=f(x),y 随 x的变化而变化。销量随价格的变化而变化。太普通n 增量的提法：价格变一元，销量变多少？很重要。所以我们要研究 y的增量和x的增量之比的极限。4604例22。瞬时速度n 瞬时速度是出发点？瞬时速度是出发点？还是微积还是微积分的应用？分的应用？n 瞬时速度是原始概念，瞬时速度是原始概念，快车快车赶上慢车的一刹那。赶上慢车的一刹那。n 小学里没有面积的概念，小学里没有面积的概念，就就可以求面积。可以求面积。道理是一样的。道理是一样的。4614 例23。概率的统计本质n传统：掷骰子 等可能性 排列组合 理论概率 计算概率（考试）n 现代：掷骰子 实验 频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法。4624理论概率和经验概率n 等可能性出发定义概率（北师大版）传统。形式化处理。但是片面。不能解释降水概率、次品率、事故率等等n 用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。n 两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”，是一个理论问题，也是实践问题。4634例24。四维空间的4-方体（苏联中学数学教材的一道空间想象题）n四维空间单位方体的顶点数.棱数,面数,三维面数,四维体数?n 解：顶点数：顶点数：2 23 3=16=16。n 棱数：（棱数：（16 416 4）/2 =32/2 =32n 二维面：（二维面：（16 C16 C4 42 2）/4=24/4=24n 三维面：三维面：（16 C16 C4 43 3 ）/8=8/8=8n 四维面：四维面：1 1n 一般地一般地 （2+12+1）n n=2=2n n +n2 +n2n-1n-1+1+1n 爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学4644例25。用迭代方法解决问题（录自美国数学课程标准，2000）一位女生在打排球时膝盖受伤。一位女生在打排球时膝盖受伤。她的医生要她在她的医生要她在10天内每天内每8小时服用两粒小时服用两粒220毫克的药片，毫克的药片，以减轻伤痛。以减轻伤痛。如果她的身体每如果她的身体每8小时吸收小时吸收60%的药物，的药物，那么那么10天后，天后，她身体中还有多少毫克的药物？她身体中还有多少毫克的药物？654654迭代进入中学数学66下时段下时段=0.4(现在现在)+440,start at 440a1=440 and an+1=0.4an+440 for 1 n 314664信息时代的数学新课题：算法算法n 算法并不陌生。先乘除，后加减；分数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法；珠算口诀n 算法是人和计算机相通的语言。n 算法成为公民科学素质的一部分。印度的经验。n 赋值语句，条件语句，循环语句。4674第三部分第三部分 数学文化的孕育与数学文化的孕育与体现体现4684揭示数学背后隐藏的文化价值揭示数学背后隐藏的文化价值n 数学通过了考试，数学通过了考试，是否获得了是否获得了理性思维的训练。理性思维的训练。猪八戒吃人猪八戒吃人参果？参果？n 数学教学要把数学的文化价值数学教学要把数学的文化价值展现，展现，帮助学生体会。帮助学生体会。4694例例1.“对顶角相等对顶角相等”是否要证明？是否要证明？数学与民主古希腊城邦实行奴隶主奴隶主的民主政治。民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。n 几何原本。命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量，其差相等。ABC4704中国古代数学是官方管理数学n 春秋战国，百家争鸣。实行谋士向君王建议治国之道。与古希腊统治阶级实行民主政治不同。n 中国数学为帝王的统治服务。九章算术：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费 没有“对顶角相等”。n 勾股定理 古希腊与中国都有n古希腊重证明；中国重算法。n 理性思维-数学的德育教育功能。4714 例2 对称和对仗n 对称是几何变换。变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。n 中国的对仗：“明月松间照，清泉石上流”（王维诗句）。“明月”对“清泉”，变中有不变。形容词对形容词，名词对名词，自然景物仍然是自然景物。n 文化上看，文化上看，二者异曲同工。只是数学更加准二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。确、比较抽象而已。4724例3。时间和空间 n 初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，前不见古人，后不见后不见来者，来者，念天地之悠悠，念天地之悠悠，独怆然而涕下独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。n 时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。实际上，地球上的几何就超出了这个范围：非欧几何。揭示数学的文化内涵4734 例5。变化中的不变量n 与时俱进，与时俱进，但是主要民族传统不变。但是主要民族传统不变。n 物理学的能量守恒、动量守恒物理学的能量守恒、动量守恒n 数学中的不变规律：对称；分数的不同表示，数学中的不变规律：对称；分数的不同表示，交换率，交换率，方程的同解；方程的同解；恒等式恒等式 sin sin2 2x+x+coscos2 2x=1x=1;（数学思想方法之一）几何不变量，代数不变量。拓扑不变量：多面体欧拉定理，七桥问题。陈类4744例6 数学意境n 孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流。（徐利治：极限意境极限意境）n众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。（王国维人间词话）（解题意境）解题意境）4754例7。丘成桐谈史记n2002年8月20日早上中央电视台东方时空的“东方之子”栏目（方静采访）n“我读史记象欣赏歌剧，一幕幕地展开。”华彩乐章如：高山仰止，景行景止。n 历史是宏观的。历史是宏观的。学习历史会使人用宏观学习历史会使人用宏观观点考察事物。观点考察事物。我提出的数学想法往往我提出的数学想法往往和别人的不一样，和别人的不一样，就是得力于史记就是得力于史记4764例8。微积分中的中国史料n 李善兰、伟列亚力译：代微积拾级（1859）n 日本学者学习微积分的唯一通道（1870年以前）n 京师同文馆，除“经学”和“数学”外，物理、化学、博物等全聘外国人。数学教习就是李善兰。4774 中国最早的微积分译作中国最早的微积分译作 n李善兰（1811 1882）禾彳天 意思是 dx4784清末中国数学的亮点n 李善兰恒等式:n戴煦数 tan x=(Dn/(2n-1)!)x2n-1.n欧拉数 secx=(En/2n!)x2n Dn 1，2，16，272，7936，353792，(可惜不懂微积分，没有用泰勒公式）4794例例7。线性组合与通解（项武义）线性组合与通解（项武义）n 孙子算经中国剩余定理n 同余式组：x=b1(mod m1),x=b2(mod m2)x=b3(mod m3)可以归结为 b1 b2 b3 为（1，0，0），（0，1，0）（0，0，1）时的特解，然后可以用系数乘特解的线性组合线性组合得到通解通解。4804例8。伟大的期望值n 中国的麻将为什么不能产生概率论？n 概率是一定会有的。n 数学期望才是催生理性思考的问题n有一笔赌金，甲、乙两人竞赌，输赢的概率各为1/2，以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中，因故突然终止。此时，甲赢了4局，乙赢了3局。问这笔赌金该如何分配才合理？n 4/7 和和 3/7 比较合理比较合理？4814例例9 9 战后：战后：1948 1948年的数学地图年的数学地图n19481948：美国仙农发表信息的数学理论美国仙农发表信息的数学理论n19481948：维纳发表控制论：维纳发表控制论。信息、控制是数学吗信息、控制是数学吗？n1948：von Neuman 计算机方案形成计算机方案形成n 中国缺乏这样的数学偶像中国缺乏这样的数学偶像4824 例10。1970年走出布尔巴基的光环年走出布尔巴基的光环n 布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国n 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析 融为一体。n 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学n 1950年。吴文俊在科学通报介绍布尔巴基。无人喝彩。n 1970年。年轻数学家走出布尔巴基的影响n 1980年。中国大规模介绍布尔巴基学派。4834 n 函数内容的文化点设计48441。函数的本质函数的本质n函数从其本质属性来看，是一种变量之间的对应的依赖关系。n数学是关系学，相等、不等、大小、全等、相似、对称和等价等等都是关系。n最重要的两个关系是：方程是未知数与已知数之间的等式关系，函数是变量间的依赖关系。n世界靠关系维持着，国际关系，国内各阶层的关系，上下级关系，同学关系，师生关系，社会关系，公共关系，而数学主要研究的是数量关系。n事物间都彼此联系着，看问题不要割裂关系。48542。函数的定义n初中定义和高中定义的比较，各有所长，不是传统与现代、高级与低级之分。n变量说变量说(初中)，是原始定义，强调变量的依赖关系，生动直观，是宏观的、动态的。n对应说对应说(高中)，是近代定义，强调具体的对应关系，细致入微，是微观的、静态的。n看问题的两种视角：从政治看，全局与局部；从哲学看，唯物与唯心；从逻辑学看，归纳与演绎；从绘画看，泼墨与工笔；从物理学看，原子与天体；从光学看，显微与放大。48643。函数的名称函数的名称n函数function一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。记号f（x）则是由瑞士数学家欧拉于公元1724年首次使用的。n英文function一词，译为函数，始于1859年，意为“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数。”首见于清代数学家李善兰(18111882)与英国人伟列亚力合译的美国数学家罗密士E.Loomis，1811-1899的代微积拾级(1859)。n此书传至日本，成为当时日本了解微积分的主要著作。函数一词随为日本沿用。日本后来限制使用汉字的数量。“函”的日本发音与“关”类似，所以现在日本使用“关数”一词。十九世纪七十年代，日本还在向中国学习数学，但是1892年甲午战争之后，中国派留学生到日本学习数学了。数学的盛衰与国力的强弱有关。48744。函数的表示ny=f(x),xD.这是一串符号，清晰地表示了函数的意义。这是数学使用的符号语言符号语言，比较它和自然语言的差别。仔细分析函数符号的意义，理解它们分别表示的含义。什么情况下还能省略？有人只用f表示函数，在什么情况下可以这样做？n银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的。n气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市股市走向图走向图等都是用图象法表示函数关系的。n动态的变量采用静态的表示，变化是绝对的，静止是动态的变量采用静态的表示，变化是绝对的，静止是相对的，我但是人所能把握住的只能是静止的那一刻，相对的，我但是人所能把握住的只能是静止的那一刻，动静结合，思想深刻。动静结合，思想深刻。48845。函数模型n函数是一种数量模型，任何两个变量之间彼此有函数关系吗？n近的说，任何两个人的年龄，彼此间有函数关系吗？课桌和学生之间有对应关系吗？n发挥你的想象力，寻求周围存在的各种函数。结合身边的实际生活，构造函数如，股票走势，气候变化，人口变化。48946。单调性的认识n从本质上看，函数单调性揭示的是一种变化趋势。n趋势有很多种，例如股票震荡上升的趋势，“和平与发展”是国际关系的基本趋势，虽然不断有局部的战争和冲突。n数学上的单调性，是绝对上升或下降的趋势。天天向上，一个也不能少。这是数学单调趋势的特征。（举反例）想想你的身高，天天升高。你的体重呢？吃得多了，重些，但是方便之后就变轻了。n怎样表示这种“一个不能少”的上升和下降呢？如果是有限个数字，把它们排起来看看就行了。现在的麻烦是无限多个变量的值，x可以取无限多个值，没法“排”。数学的思考是“任意取两个，都是上升（下降），保证不出意外。这就是无限多个变量时，对“一个不能少”的数学处理。其实，人的思考是很实在的，数学语言是原始想法的精确表示，并不是天上掉下来的，而是合情合理的。4904 7。不同的解释不同的解释n对于同样的数据，可以得出不同的函数，画出不同的图像。n公说公有理，婆说婆有理n香港某厂业绩 年份 90 91 92股东红利 5万 7.5万 10万工资总额 10万 12.5万 15万n三个图像分别代表了三种人对上述数据的解释：老板：工资与股红同步平行增长n 工会主席：股红增长100%，而工资只增长50%n 工人：工资增长远低于股红增长4914同样的数据，不同的图象49248。指数爆炸指数爆炸n细胞分裂，细菌繁殖，生产增长，人口增加，这些现象在一定条件下都是按指数规律增长的。指数式增长的速度非常快，可以形象地称为“指数爆炸”。n某种细胞分裂，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，。一个这样的细胞分裂n次后，得到的细胞个数是2n。假如n=60，我们用每秒钟数100万个的仪器来数这260个细胞，需要366个世纪！4934复杂性研究n 世界上的事情，简单和复杂如何衡量？n 多项式，指数增长。n 计算机只能处理多项式增长的事情4944n n 谢谢大家！4954END16、业余生活要有意义，不要越轨。华盛顿17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。罗素贝克18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。马云19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。雷锋20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。布尔沃