数学物理方程课件

数学物理方程第一章方程的一般概念数学物理方程第一章方程的一般概念1第一节方程的基本概念n定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。一般形式：其中u 为多元未知函数，F是 以及u的有限个偏导数的已知函数。注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。第一节方程的基本概念定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方2n定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。n定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。n二阶线性偏微分方程的一般形式：定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程3 波动方程 热传导方程 位势方程 波动方程 4第二节二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类 一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。第二节二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类5定义:(1)若在 处 称方程（1）在点 处为双曲型方程；(2)若在 处 称方程（1）在点 处为抛物型方程；(3)若在 处 称方程（1）在点 处为椭圆型方程。定义:(1)若在 处 称方程（6例：波动方程 双曲型 热传导方程 抛物型 位势方程 椭圆型例：波动方程 7二、方程的标准形式定义：方程 分别称为 双曲型方程的第一标准形和第二标准形。方程 称为抛物型方程的标准形。方程 称为椭圆型方程的标准形。二、方程的标准形式定义：方程 8三、方程的化简步骤：第一步：写出判别式 ，根据判别式判断方程的类型；第二步：根据方程（1）写如下方程 称为方程（1）的特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程 称为特征方程，其解为特征线。设这两个特征线方程的特征线为令三、方程的化简步骤：第一步：写出判别式 9 第三步(1)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(2)当 时，特征线 令 其中 是与 线性无关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。第三步(1)当 时，令 10例1.化标准形式并求通解例2.化标准形式例3.化标准形式注意：二阶偏微分方程含有两个任意函数，二阶常微分方程含有两个任意常数。例1.化标准形式并求通解11 第二章 行波法 12第一节 定解问题一、定义 1.我们把描述一个物理过程的偏微分方程称为泛定方程。2.一个过程中发生的具体条件称为定解条件。3.泛定方程带上适当的定解条件，就构成一个定解问题。4.用来表示初始状态的条件称为初始条件；用来描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。注意：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。第一节 定解问题一、定义13二、定解问题1.初值问题（Cauchy问题）只有泛定方程和初始条件的定解问题。2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。二、定解问题1.初值问题（Cauchy问题）14三、叠加原理n原理：n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程n如：L u1=f1n L u2=f2n则：L(au1+bu2)=af1+bf2三、叠加原理原理：15四、弦的振动方程的导出（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给出，此时x点弦的位移为u(x,t).考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段弦的长度为四、弦的振动方程的导出（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox16 由于只考虑微小振动，略去 ，所以 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的张力为 与x轴夹角为 用 表示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为 。是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力大小为F(x,t).由于只考虑微小振动，略去 ，所以 17则根据牛顿第二定律，有 对微小振动，都很小，故 即 并且 的值不随时间变化，为常数。同样 都很小，有根据导数的几何意义:则根据牛顿第二定律，有18这样方程变为则为一维波动方程。这样方程变为19第二节一维齐次波动方程的cauchy问题一、DAlembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）解:(1)化标准形，然后求通解 故原方程化为 第二节一维齐次波动方程的cauchy问题一、DAlembe20则(2)由初始条件确定F,G则21解得 则为DAlembert公式。解得 22二、解的物理意义说明 的物理意义。设 且考察对于固定时刻 只是自变量x的函数。考虑时刻 由于二、解的物理意义说明 23 这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 的振幅在时刻 传到了x+a.由于此关系对弦上的全体点x都成立。这说明在时刻 时的波形 经过单位时刻以后，向右平移了 a，即 表示以速度a向右传播的行波称之为右行波。同样，称之为左行波。左右行波统称为行波。因此，解可以表示成左右行波的叠加。这种用左右行波叠加来构造解的方法，称为行波法。这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 24三、其他cauchy问题例1.解：令 故有三、其他cauchy问题例1.25所以定解问题的解为所以定解问题的解为26例2.求解特征初值问题 解：方程的通解为 当 时，当 时，且 故例2.求解特征初值问题27无界弦的强迫振动问题 （A）解记为（B）解记为由叠加原理可知第三节一维非齐次波动方程的cauchy 问题无界弦的强迫振动问题第三节一维非齐次波动方程的cauchy 28对于问题（B），指弦在初始时刻静止于平衡位置，受外力作用而振动。f(x,t)表示时刻t在x处单位质量所受外力，是连续的力。从时刻0延续到时刻t，t时刻后的力对弦在时刻t振动没影响，不必考虑。把0，t分成若干小时间段，设 是其中一段，在时间 内把力近似地看成常力，以 表示，由Newton第二定律，常外力 使单位质量产生加速度 ，所以弦上x点在时间段 内产生的速度改变量为把这个改变量看作是 时刻的初始速度，这种把外力化成初始速度的原理称为Duhamel原理。由初始速度所产生的振动可由下面齐次方程的Cauchy问题描述。对于问题（B），指弦在初始时刻静止于平衡位置，受外力作用而振29（c）则（D）（c）30显然则（E）其解为故（D）的解为显然31定理（齐次化定理）设 是问题（D）的 解，则 是问题（B）的解。定理（齐次化定理）设 是问题（D）的 32证明：所以 又 故满足（B）的初始条件。而 满足 满足 证明：33第四节 三维波动方程的cauchy问题一、三维齐次波动方程的cauchy问题 对一维波动方程的cauchy问题公式 第四节 三维波动方程的cauchy问题一、三维齐次波动方程的34 是初始位置f与初始速度g在以x为中心，以at为半径的区域x-at，x+at上的算术平均值。考虑f(x,y,z)和g(x,y,z)在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上的平均值 35 于是（*）问题的解为该公式称为poisson公式（球面均值法）其中 是以M(x,y,z)为中心，以r=at为半径的球面。于是（*）问题的解为36将公式在球坐标下化为累次积分球面 的方程为则有将公式在球坐标下化为累次积分37故故38例：解：例：39二、三维非齐次波动方程的cauchy问题二、三维非齐次波动方程的cauchy问题40数学物理方程课件41数学物理方程课件42第五节 二维波动方程的cauchy问题一、二维齐次波动方程（降维法）令第五节 二维波动方程的cauchy问题一、二维齐次波动方程（43利用三维波动问题的poisson公式1)上、下半球面在坐标平面上的投影为 上、下半球面的面积元素相同利用三维波动问题的poisson公式44数学物理方程课件45数学物理方程课件46数学物理方程课件47二、二维非齐次波动方程的cauchy问题二、二维非齐次波动方程的cauchy问题48数学物理方程课件49例：例：50第三章 固有值问题与特殊函数第三章 固有值问题与特殊函数51第一节二阶常微分方程的级数解 求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。二阶齐次常微分方程的一般形式：第一节二阶常微分方程的级数解 求解固有值问题52定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 处解析，则称 点为方程（1）的正常点；若 是 p(x),q(x)的孤立奇点，则称 点为方程（1）的奇点；若 是p(x)的不超过一级的极点，并且是q(x)不超过二级的极点，则 为方程（1）的正则奇点；否则称 为方程（1）的非正则奇点。定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 处解析53定理（cauchy定理）设 是方程（1）的正常点，则在 的某邻域内存在形如的解，且满足初始条件 的解存在、唯一。定理（cauchy定理）设 是方程（1）的正常点，则54作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 展成Taylor级数，然后将展开式和（2）代入（1）。满足等式来确定若 是方程（1）的正则奇点，则p(x),q(x)可展开成Laurent级数此时设方程（1）有广义幂级数解作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 展成55数学物理方程课件56最低幂的系数，即 ，其系数为最低幂的系数，即 ，其系数为57定理：设 是方程（1）的正则奇点（1）若判定方程的两根之差不是整数，则s取这两个根构造的形如（3）的两个广义幂级数均是（1）的解（且两个解线性无关）；（2）若判定方程的两根之差是整数，则相对于较大的根所对应的形如（3）的广义幂级数仍是（1）的解，另一个解形式如其中 为较大根对应解，是判定方程相对较小的根，且 和 线性无关。定理：设 是方程（1）的正则奇点58方程的通解情况：设 为判定方程的两个根。（1）若 则 通解为（2）若 则 通解为 方程的通解情况：设 为判定方程的两个根。59第二节 正交函数系及广义Fourier级数一、正交函数系的概念1.定义：设函数 在区间a,b上有定义，积分 称为函数 的内积，记作 函数 与自身的内积的开方称为该函数的范数（模），记作 ，即第二节 正交函数系及广义Fourier级数一、正交函数系的概602.定义：设一族定义在a,b上的函数若满足则称函数系（1）是a,b上的正交函数系，简称正交系，记为2.定义：设一族定义在a,b上的函数61例：若（1）还满足 则称函数系（1）是a,b上的标准正交系。一切正交函数系都可标准化，即可取适当常数使 成为标准正交系，取例：623.定义：若函数系 在a,b上满足其中 为权函数，则称函数系 在a,b上关于权函数 正交，或称按权函数 构成正交系。3.定义：若函数系 在a,b上满足63二、广义Fourier级数设 是定义在a,b上的一个正交函数系，f(x)是a,b上给定的函数，设f(x)可以写成的形式，其中确定 ，将（1）式两端同乘 ，在a,b上积分且假设级数（1）可逐项积分，则由 的正交性，有二、广义Fourier级数设 是定义在a,b上的64数学物理方程课件65第三节 Sturm-Liouville问题常微分方程第三节 Sturm-Liouville问题常微分方程66数学物理方程课件67 方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程，其中 是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假设q(x),s(x)连续，p(x)连续可微。若函数p(x)和s(x)在a,b上为正，S-L方程称为a,b上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限区间的一个或两个端点处为零时，S-L方程称为奇异的。方程（2）称为Sturm-Liouville方程，681.S-L方程（2）+端点条件 一起 称为S-L问题，其中 对于使S-L问题有非零解的 值称为固有值，相应的固有值 的非零解称为固有函数，因而，S-L问题有时也称为固有值问题。1.S-L方程（2）+端点条件 69数学物理方程课件703.定理 设S-L问题中的函数p,q,s在a,b上连续，对应于不同固有值 的固有函数 连续可微，则 在a,b上关于权函数s(x)正交。证明：因为 是对应于 的方程的解，则 3.定理 设S-L问题中的函数p,q,s在a,b上连续71数学物理方程课件72数学物理方程课件73数学物理方程课件744.推论 区间a,b上的周期S-L问题，属于不同固 有值的固有函数在a,b上关于权函数s(x)正交。4.推论 区间a,b上的周期S-L问题，属于不同固 75数学物理方程课件76数学物理方程课件77例1.求解S-L问题解：p=1,q=0,s=1例1.求解S-L问题78数学物理方程课件79数学物理方程课件80例1.求解周期S-L问题例1.求解周期S-L问题81数学物理方程课件82数学物理方程课件83第四节 Bessel函数第四节 Bessel函数84数学物理方程课件85二、Bessel方程和Bessel函数Bessel方程的标准形式：二、Bessel方程和Bessel函数Bessel方程的标准86下面求判定方程：下面求判定方程：87根据定理，分两种情况讨论根据定理，分两种情况讨论88数学物理方程课件89数学物理方程课件90数学物理方程课件91数学物理方程课件92数学物理方程课件93数学物理方程课件94数学物理方程课件95三、Bessel函数的递推公式三、Bessel函数的递推公式96数学物理方程课件97数学物理方程课件98四、Bessel函数的正交性及模四、Bessel函数的正交性及模99数学物理方程课件100数学物理方程课件101数学物理方程课件102数学物理方程课件103数学物理方程课件104数学物理方程课件105第五节 Legendre函数第五节 Legendre函数106数学物理方程课件107数学物理方程课件108数学物理方程课件109数学物理方程课件110数学物理方程课件111二、Legendre多项式二、Legendre多项式112数学物理方程课件113数学物理方程课件114数学物理方程课件115数学物理方程课件116数学物理方程课件117数学物理方程课件118数学物理方程课件119数学物理方程课件120数学物理方程课件121数学物理方程课件122数学物理方程课件123数学物理方程课件124数学物理方程课件125三、连带的Legendre多项式三、连带的Legendre多项式126数学物理方程课件127数学物理方程课件128数学物理方程课件129第四章 分离变量法第四章 分离变量法130第一节 波动方程第一节 波动方程131数学物理方程课件132数学物理方程课件133数学物理方程课件134数学物理方程课件135第二节 热传导方程第二节 热传导方程136数学物理方程课件137数学物理方程课件138数学物理方程课件139数学物理方程课件140第三节 非齐次问题第三节 非齐次问题141数学物理方程课件142数学物理方程课件143数学物理方程课件144数学物理方程课件145数学物理方程课件146数学物理方程课件147数学物理方程课件148数学物理方程课件149数学物理方程课件150数学物理方程课件151数学物理方程课件152数学物理方程课件153数学物理方程课件154数学物理方程课件155将(1),(2)代入泛定方程得将(1),(2)代入泛定方程得156数学物理方程课件157数学物理方程课件158四、边界齐次化四、边界齐次化159数学物理方程课件160数学物理方程课件161数学物理方程课件162数学物理方程课件163第五章 积分变换法第五章 积分变换法164第一节 第一节 165数学物理方程课件166数学物理方程课件167数学物理方程课件168第二节 Fourier变换第二节 Fourier变换169数学物理方程课件170数学物理方程课件171数学物理方程课件172数学物理方程课件173数学物理方程课件174数学物理方程课件175数学物理方程课件176数学物理方程课件177数学物理方程课件178数学物理方程课件179第三节 Fourier变换的应用第三节 Fourier变换的应用180数学物理方程课件181数学物理方程课件182步骤：1.根据自变量的变化范围选取一个变量，两边关于该 变量取Fourier变换，将其余变量看做参变量，得到关于像函数的常微分方程，再对定解条件取Fourier变换得到像函数满足的定解条件：2.解常微分方程定解问题，求的解为像函数；3.对像函数取Fourier逆变换得到原定解问题的解。步骤：1.根据自变量的变化范围选取一个变量，两边关于该183数学物理方程课件184数学物理方程课件185数学物理方程课件186第四节 Laplace变换第四节 Laplace变换187数学物理方程课件188数学物理方程课件189数学物理方程课件190数学物理方程课件191数学物理方程课件192数学物理方程课件193数学物理方程课件194数学物理方程课件195数学物理方程课件196数学物理方程课件197数学物理方程课件198数学物理方程课件199第五节 Laplace变换的应用第五节 Laplace变换的应用200数学物理方程课件201数学物理方程课件202数学物理方程课件203数学物理方程课件204第六章 Green函数法第六章 Green函数法205第一节 Green函数第一节 Green函数206数学物理方程课件207数学物理方程课件208数学物理方程课件209数学物理方程课件210数学物理方程课件211数学物理方程课件212数学物理方程课件213数学物理方程课件214数学物理方程课件215数学物理方程课件216数学物理方程课件217数学物理方程课件218数学物理方程课件219