数学文化概论31课件

第一章第一章 概概论论 第一节第一节 文化与数学文化文化与数学文化第二节第二节 数学的定义及其重要数学的定义及其重要性性第三节第三节 数学的语言及其特点数学的语言及其特点第四节第四节 数学发展简史数学发展简史第一章 概论 第一节 文化与数学文化11.41.4 数学发展简史数学发展简史 数数学学的的发发展展史史大大致致可可以以分分为为四四个个本本质质上上不不同同的的时时期（阶段）：期（阶段）：第一个时期第一个时期数学形成时期。这是人类数学形成时期。这是人类建立最基本的数学概念的时期。建立最基本的数学概念的时期。第二个时期第二个时期初等数学（即常量数学）初等数学（即常量数学）时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。学数学的主要内容。第三个时期第三个时期变量数学时期。变量数学时期。第四个时期第四个时期现代数学时期现代数学时期。1.4 数学发展简史 数学的发展史大致可以分为21.4.11.4.1 数学形成时期数学形成时期 人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，逐步地简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系的形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹纯粹”数学。数学。这一时期，算术与几何还没有分开，彼此紧这一时期，算术与几何还没有分开，彼此紧密地交错着。密地交错着。1.4.1 数学形成时期 人类从数数开始31.4.21.4.2 常量数学时期常量数学时期 这这个个时时期期从从公公元元前前5 5世世纪纪开开始始，也也许许更更早早一一些些，直直到到1717世世纪纪，大大约约持持续续了了两两千千年年。在在这这个个时时斯斯逐逐渐渐形形成成了了初初等等数数学学的的主主要要分分支支：算算术术、几几何何、代代数数、三角。三角。按按照照历历史史条条件件不不同同，可可以以把把常常量量（初初等等）数数学学史史分分为为三三个个不不同同时时期期：希希腊腊的的、东东方方的的和和欧欧洲洲文文艺艺复兴时代的时期复兴时代的时期。1.4.2 常量数学时期 这个时期从公元4 希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代一一致致。到到公公元元前前3 3世世纪纪，在在最最伟伟大大的的古古代代几几何何学学家家欧欧几几里里得得、阿阿基基米米德德、阿阿波波罗罗尼尼奥奥斯斯的的时时代代达达到到了了顶顶峰峰，而而终终止止于于公公元元6 6世世纪纪，当当时时最最光光辉辉的的著著作作是是欧欧几几里里得得的的原原本本。尽尽管管这这部部书书是是两两千千多多年年以以前前写写成成的的，但但是是它它的的一一般般内内容容和和叙叙述述的的特特征征，却却与与我我们们现现在在通通用用的的几几何何教科书非常相近。教科书非常相近。希希腊腊人人不不仅仅发发展展了了初初等等几几何何，并并把把它它导导向向完完整整的的体体系系，还还得得到到许许多多非非常常重重要要的的结结果果。例例如如，他他们们研研究究了了圆圆锥锥曲曲线线：椭椭圆圆、双双曲曲线线、抛抛物物线线；证证明明了了某某些些属属于于射射影影几几何何的的定定理理，以以天天文文学学的的需需要要为为指指南南建建立立了了球球面面几几何何，以以及及三三角角学学的的原原理理，并并计计算算出出最最初初的的正正弦表，确定了许多复杂图形的面积和体积。弦表，确定了许多复杂图形的面积和体积。希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代 5 在在算算术术与与代代数数方方面面，希希腊腊人人也也做做了了不不少少工工作作。他他们们奠奠定定了了数数论论的的基基础础，并并研研究究丢丢番番图图方方程程，发发现现了了无无理理数数，找找到到了了求求平平方方根根、立立方方根根的的方方法法，知知道道算算术术级数与几何级数的性质。级数与几何级数的性质。应应该该指指出出，远远在在这这以以前前好好几几个个世世纪纪，我我国国的的算算术术和和代代数数已已达达到到很很高高的的水水平平。在在公公元元前前2 2世世纪纪到到l l世世纪纪已已有有了了三三元元一一次次联联立立方方程程组组的的解解法法。同同时时在在历历史史上上第第一一次次利利用用负负数数，并并且且叙叙述述了了对对负负数数进进行行运运算算的的规规则则，也找到了求平方根与立方根的方法。也找到了求平方根与立方根的方法。在在几几何何方方面面希希腊腊人人已已接接近近“高高等等数数学学”。阿阿基基米米德德在在计计算算面面积积与与体体积积时时已已接接近近积积分分运运算算，阿阿波波罗罗尼奥斯关于圆锥曲线的研究接近于解析几何。尼奥斯关于圆锥曲线的研究接近于解析几何。在算术与代数方面，希腊人也做了不少工作。他们奠定了数6 随随着着希希腊腊科科学学的的终终结结，在在欧欧洲洲出出现现了了科科学学萧萧条条，数数学学发发展展的的中中心心移移到到了了印印度度、中中亚亚细细亚亚和和阿阿拉拉伯伯国家。国家。在在这这些些地地方方，从从5 5世世纪纪到到1515世世纪纪的的一一千千年年中中间间，数数学学主主要要由由于于计计算算的的需需要要，特特别别是是由由于于天天文文学学的的需需要要而而得得到到发发展展。印印度度人人发发明明了了现现代代记记数数法法，引引进进了了负负数数，并并把把正正数数与与负负数数的的对对立立和和财财产产与与债债务务的的对对立立及及直直线线上上两两个个方方向向的的对对立立联联系系了了起起来来。他他们们开开始始像像运运用用有有理理数数一一样样运运用用无无理理数数，他他们们给给出出了了表表示示各各种种代代数数运运算算包包括括求求根根运运算算的的符符号号。由由于于他他们们没没有有对对无无理理数数与与有有理理数数的的区区别别感感到到困困惑惑，从从而而为为代代数数打打开开了了真真正正的的发发展展道路。道路。随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数7 “代数代数”这个词本身起源于这个词本身起源于9 9世纪的数学家和世纪的数学家和天天文文学学家家穆穆罕罕默默德德伊伊本本穆穆斯斯阿阿里里花花拉拉子子米米。花花拉拉子子米米的的著著作作基基本本上上建建立立了了解解方方程程的的方方法法。从从这这时时起起，求求方方程程的的解解作作为为代代数数的的基基本本特特征征被被长长期期保保持持了了下下来来。他他的的代代数数著著作作在在数数学学史史上上起起了了重重大大作作用用，因因为为这这部部作作品品后后来来被被翻翻译译成成拉拉丁丁语语，曾曾长长期期作作为为欧欧洲洲主主要的教科书。要的教科书。中中亚亚细细亚亚的的数数学学家家们们找找到到了了求求根根和和一一系系列列方方程程的的近近似似解解的的方方法法，找找到到了了“牛牛顿顿二二项项式式定定理理”的的普普遍遍公公式式，他他们们有有力力地地推推进进了了三三角角学学，把把它它建建成成一一个个系系统统，并并造造出出非非常常准准确确的的正正弦弦表表。这这时时中中国国科科学学的的成成就就开开始始传传人人邻邻国国。约约在在公公元元6 6世世纪纪我我国国已已经经会会解解简简单单的的不不定定方方程程，知知道道几几何何中中的的近近似似计计算算以以及及三三次次方方程程的的近近似似解法。解法。“代数”这个词本身起源于9世纪的数学家和 8 到到1616世世纪纪，所所缺缺少少的的主主要要是是对对数数及及虚虚数数，还还缺缺乏乏字字母母符符号号系系统统。正正像像在在远远古古时时代代，为为了了运运用用整整数数，应应该该制制定定表表示示它它们们的的符符号号一一样样，现现在在为为了了运运用用任任意意数数并并对对它它们们给给出出一一般般规规则则，就就应应该该制制定定相相似似的的符符号号。这这个个任任务务从从希希腊腊时时代代就就开开始始而而直直到到1717世世纪纪才才完完成成，在在笛笛卡儿和其他人的工作中最后形成了现代符号系统。卡儿和其他人的工作中最后形成了现代符号系统。在在科科学学复复兴兴时时期期，欧欧洲洲人人向向阿阿拉拉伯伯学学习习，并并且且根根据据阿阿拉拉伯伯文文的的翻翻译译熟熟识识了了希希腊腊科科学学。从从阿阿拉拉伯伯沿沿袭过来的印度计数法逐渐地在欧洲确定了下来。袭过来的印度计数法逐渐地在欧洲确定了下来。到16世纪，所缺少的主要是对数及虚数，还缺乏9 1616世世纪纪，欧欧洲洲科科学学终终于于越越过过了了先先人人的的成成就就。例例如如意意大大利利人人塔塔尔尔塔塔利利亚亚和和费费拉拉里里在在一一般般形形式式上上先先解解了了三三次次方方程程，然然后后四四次次方方程程。在在这这个个时时期期第第一一次次开开始始运运用用虚虚数数。现现代代的的代代数数符符号号也也制制造造出出来来了了，其其中中不不仅仅出出现现了了表表示示未未知知数数的的字字母母符符号号，也也出出现现了了表表示示已已知知数数的的字母符号，这是韦达在字母符号，这是韦达在15911591年作出的。年作出的。正正是是在在这这一一时时期期，英英国国的的纳纳皮皮尔尔发发明明了了供供天天文文作作参参考考的的对对数数，并并在在16141614年年发发表表。布布里里格格斯斯算算出出第第一批十进对数表是在一批十进对数表是在16241624年。年。当当时时在在欧欧洲洲也也出出现现了了“组组合合论论”和和“牛牛顿顿二二项项式式定定理理”的的普普遍遍公公式式；级级数数知知道道得得更更早早，所所以以初初等等代代数数的的建建立立是是完完成成了了，以以后后则则是是向向高高等等数数学学，即即变变量量数学的过渡。数学的过渡。16世纪，欧洲科学终于越过了先人的成就。例 101.4.31.4.3 变量数学时期变量数学时期 1616世世纪纪，封封建建制制度度开开始始消消亡亡，资资本本主主义义开开始始发发展展并并兴兴盛盛起起来来。在在这这一一时时期期中中，家家庭庭手手工工业业，手手工工业业作作坊坊逐逐渐渐地地改改革革为为工工场场手手工工业业生生产产，并并进进而而转转化化为为以以使使用用机机器器为为主主的的大大工工业业。因因此此，对对数数学学提提出出了了新新的的要求。要求。这这时时，对对运运动动的的研研究究变变成成了了自自然然科科学学的的中中心心问问题题。实实践践的的需需要要和和各各门门科科学学本本身身的的发发展展使使自自然然科科学学转转向向对对运运动动的的研研究究，对对各各种种变变化化过过程程和和各各种种变变化化着着的的量之间的依赖关系的研究。量之间的依赖关系的研究。1.4.3 变量数学时期 16世纪，封建11 作作为为变变化化着着的的量量的的一一般般性性质质和和它它们们之之间间依依赖赖关关系系的的反反映映，在在数数学学中中产产生生了了变变量量和和函函数数的的概概念念。数数学学对对象象的的这这种种根根本本扩扩展展决决定定了了数数学学向向新新的的阶阶段段，即即向向变量数学时期的过渡。变量数学时期的过渡。数数学学中中专专门门研研究究函函数数的的领领域域叫叫做做数数学学分分析析，或或者者叫叫无无穷穷小小分分析析。后后一一名名词词的的来来源源是是，因因为为无无穷穷小小量概念是研究函数的重要工具。量概念是研究函数的重要工具。所所以以，从从1717世世纪纪开开始始的的数数学学的的新新时时期期变变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期。作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的12 变量数学建立的第一个决定性步骤出现在变量数学建立的第一个决定性步骤出现在16371637年年笛笛卡卡儿儿的的著著作作“几几何何学学”。这这本本书书奠奠定定了了解解析析几几何何的的基基础础，它它一一出出现现，变变量量就就进进入入了了数数学学，从从而而运运动动进进入入了了数数学学。恩恩格格斯斯指指出出：“数数学学中中的的转转折折点点是是笛笛卡卡儿儿的的变变数数。有有了了变变数数，运运动动进进入入了了数数学学；有有了了变变数数，辩辩证证法法进进入入了了数数学学；有有了了变变数数，微微分分和和积积分分也也就就立立刻刻成成为为必必要要的的了了”(恩恩格格斯斯自自然然辩辩证证法法，人人民民出出版版社社19711971年年版版第第236236页页)。在在这这转转折折之之前前，数数学学中中占占统统治治地地位位的的是是常量，而这之后，数学转向研究变量了。常量，而这之后，数学转向研究变量了。在在“几几何何学学”里里，笛笛卡卡儿儿给给出出了了字字母母符符号号的的代代数数和和解解析析几几何何原原理理，这这就就是是引引进进坐坐标标系系和和利利用用坐坐标标方方法法把把具具有有两两个个未未知知数数的的任任意意代代数数方方程程看看成成平平面面上上的的一条曲线。一条曲线。变量数学建立的第一个决定性步骤出现在 13 解析几何给出了回答如下问题的可能：解析几何给出了回答如下问题的可能：(1)(1)通过计算来解决作图问题；通过计算来解决作图问题；(2)(2)求由某种几何性质给定的曲线的方程；求由某种几何性质给定的曲线的方程；(3)(3)利用代数方法证明新的几何定理；利用代数方法证明新的几何定理；(4)(4)反过来，从几何方面来看代数方程。反过来，从几何方面来看代数方程。因因此此，解解析析几几何何是是这这样样一一个个数数学学部部门门，即即在在采用坐标法的同时，用代数方法研究几何对象。采用坐标法的同时，用代数方法研究几何对象。在在笛笛卡卡儿儿之之前前，从从古古代代起起在在数数学学中中起起优优势势作作用用的的是是几几何何学学。笛笛卡卡儿儿把把数数学学引引向向另另一一途途径径，这这就就是是使代数获得更重大的意义。使代数获得更重大的意义。解析几何给出了回答如下问题的可能：14 变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱莱布布尼尼兹兹在在1717世世纪纪后后半半叶叶建建立立了了微微积积分分。事事实实上上牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼兹兹只只是是把把许许多多数数学学家家都都参参加加过过的的巨巨大大准准备备工工作作完完成成了了，它它的的原原理理却却要要溯溯源源于于古古代代希希腊腊人人所所创创造造的的求面积和体积的方法。求面积和体积的方法。微微积积分分的的起起源源主主要要来来自自两两方方面面的的问问题题：一一是是力力学学的的一一些些新新问问题题已已知知路路程程对对时时间间的的关关系系求求速速度度，及及已已知知速速度度对对时时间间的的关关系系求求路路程程；一一是是几几何何学学的的一一些些相相当当老老的的问问题题作作曲曲线线的的切切线线和和确确定定面面积积和和体体积积等等问问题题。这这些些问问题题在在古古代代就就研研究究过过，在在1717世世纪纪初初期期开开普普勒勒、卡卡瓦瓦列列里里和和许许多多其其他他数数学学家家也也研研究究过过，但但是是这这两两类类问问题题之之间间的的显显著著关关系系的的发发现现，解解决决这这些些问问题题的的一一般般方方法法的的形形成成，要要归归功功于于牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼兹兹。微微积积分分的的发发现在科学史上具有决定性的意义。现在科学史上具有决定性的意义。变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和 15 除了变量与函数概念以外，以后形成的极限除了变量与函数概念以外，以后形成的极限概念也是微积分以及进一步发展的整个分析的基础。概念也是微积分以及进一步发展的整个分析的基础。微微分分方方程程论论研研究究的的是是这这样样一一种种方方程程：方方程程中中的的未未知知项项不不是是数数，而而是是函函数数；微微分分几几何何是是关关于于曲曲线线和和曲曲面面的的一一般般理理论论；在在1919世世纪纪还还产产生生了了另另一一个个重重要要分分支支，即即复复变变函函数数论论，它它使使分分析析的的内内容容更更加加充充实实。复复变变函函数数是将实分析的方法推广到复数域中去了。是将实分析的方法推广到复数域中去了。同同微微积积分分一一道道，还还产产生生了了分分析析的的另另外外一一部部分分：级级数数理理论论、微微分分方方程程论论、微微分分几几何何。所所有有这这些些理理论论都都是是因因为为力力学学、物物理理学学和和技技术术问问题题的的需需要要而而产产生生并并向向前前发展的。发展的。除了变量与函数概念以外，以后形成的极限 16 分分析析蓬蓬勃勃地地发发展展着着，它它不不仅仅成成为为数数学学的的中中心心和和主主要要部部分分，而而且且还还渗渗入入到到数数学学较较古古老老的的范范围围，如如代代数数、几何与数论。几何与数论。在在希希腊腊人人那那里里，数数学学基基本本上上就就是是几几何何；在在牛牛顿顿以后，数学基本上就是分析了。以后，数学基本上就是分析了。通通过过分分析析及及其其变变量量、函函数数和和极极限限等等概概念念，运运动动、变变化化等等思思想想，使使辩辩证证法法渗渗入入了了全全部部数数学学。同同样样地地，基基本本上上通通过过分分析析，数数学学才才在在自自然然科科学学和和技技术术的的发发展展中中成成为精确地表述它们的规律和解决它们问题的得力工具。为精确地表述它们的规律和解决它们问题的得力工具。分析蓬勃地发展着，它不仅成为数学的中心和主要部分，而17 当当然然，分分析析并并不不能能包包括括数数学学的的全全部部，在在几几何何、代代数数和和数数论论中中都都保保留留着着它它们们特特有有的的问问题题和和方方法法。比比如如，在在1717世世纪纪，与与解解析析几几何何同同时时还还产产生生了了射射影影几几何何，而而纯纯粹粹几几何何方方法法在在射射影影几几何何中中占占统统治治地地位位。这这时时还还产产生生了了另另一一个个重重要要的的数数学学部部门门概概率率论论。它它研研究究大大量量“随随机机”现现象象的的规规律律问问题题，给给出出了了研研究究出出现现于于偶偶然然性性中中的的必然性的数学方法。必然性的数学方法。当然，分析并不能包括数学的全部，在几何、代数和数论中18 在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的叙叙述述结结束束了了以以前前发发展展的的漫漫长长道道路路。和和这这种种情情况况相相似似，随随着着分分析析的的发发展展必必然然引引起起更更好好地地论论证证理理论论，使使理理论论系系统统化化，批批判判地地审审查查理理论论的的基基础础等等这这样样一一些些任任务务，这这些些任任务务是是1919世世纪纪中中叶叶到到来来的的。这这项项重重要要而而困困难难的的工工作作由由于于许许多多杰杰出出学学者者的的努努力力而而胜胜利利完完成成了了；特特别别是是获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。理理论论原原则则的的建建立立是是其其发发展展的的总总结结，但但不不是是它它的的终终结结，相相反反地地，正正是是新新理理论论的的起起点点。分分析析的的情情形形也也是是这这样样，由由于于它它的的基基础础的的准准确确化化产产生生了了新新的的数数学学理理论论，这这就就是是1919世世纪纪7070年年代代德德国国数数学学家家康康托托尔尔所所建建立立的的集集合合论论。在在此此基基础础上上又又产产生生了了分分析析的的一一个个新新部部门门实实变变函函数数论论。同同时时集集合合论论的的一一般般思思想想渗渗入入到到数数学学的的所所有有部部门门。这这种种“集集合合论论观观点点”与与数数学学发发展展的的新新阶阶段段不不可可分分割割地地联联系系在在一一起起，进人数学发展的新阶段。进人数学发展的新阶段。在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统19 在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统的叙叙述述结结束束了了以以前前发发展展的的漫漫长长道道路路。和和这这种种情情况况相相似似，随随着着分分析析的的发发展展必必然然引引起起更更好好地地论论证证理理论论，使使理理论论系系统统化化，批批判判地地审审查查理理论论的的基基础础等等这这样样一一些些任任务务，这这些些任任务务是是1919世世纪纪中中叶叶到到来来的的。这这项项重重要要而而困困难难的的工工作作由由于于许许多多杰杰出出学学者者的的努努力力而而胜胜利利完完成成了了；特特别别是是获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。获得了实数、变量、函数、极限、连续等基本概念的严格定义。理理论论原原则则的的建建立立是是其其发发展展的的总总结结，但但不不是是它它的的终终结结，相相反反地地，正正是是新新理理论论的的起起点点。分分析析的的情情形形也也是是这这样样，由由于于它它的的基基础础的的准准确确化化产产生生了了新新的的数数学学理理论论，这这就就是是1919世世纪纪7070年年代代德德国国数数学学家家康康托托尔尔所所建建立立的的集集合合论论。在在此此基基础础上上又又产产生生了了分分析析的的一一个个新新部部门门实实变变函函数数论论。同同时时集集合合论论的的一一般般思思想想渗渗入入到到数数学学的的所所有有部部门门。这这种种“集集合合论论观观点点”与与数数学学发发展展的的新新阶阶段段不不可可分分割割地地联联系系在在一一起起，进人数学发展的新阶段。进人数学发展的新阶段。在希腊几何的历史上，欧几里得所做的严格和系统201.4.41.4.4 现代数学时期现代数学时期 数数学学发发展展的的第第一一时时期期与与第第二二时时期期所所获获得得的的主主要要成成果，即初等数学中的主要成果已经成为中小学教育的内容果，即初等数学中的主要成果已经成为中小学教育的内容。第第三三个个时时期期的的基基本本结结果果，如如解解析析几几何何(已已部部分分地地放放人人中中学学)、微微积积分分、微微分分方方程程，高高等等代代数数、概概率率论论等等已已成成为为高高等等学学校校理理科科教教育育的的主主要要内内容容。这这个个时时期期的的数数学学的的基基本本思思想想和和结结论论已已广广泛泛地地为为大大众众所所知知道道，几几乎乎所所有有的的工工程程师师和和自自然然科科学学工工作作者者都都或或多多或或少少地地运运用用着着这这些些结结果果。近近几几十十年年来来，数数学学应应用用的的状状况况发发生生着着深深刻刻的的变变化化。这这些些成成果果逐逐渐渐渗渗透透到到社社会会科科学学研研究究的的各各个个领领域域。因因而而这这些些内内容容的的一一部部分分已已进进入入文科各系的教学内容。文科各系的教学内容。数数学学发发展展的的现现代代阶阶段段的的开开端端，以以其其所所有有基基础础部部门门代数、几何、分析中的深刻变化为特征。代数、几何、分析中的深刻变化为特征。1.4.4 现代数学时期 数学发展的第一21 还在还在1919世纪上半叶，罗巴切夫斯基和波尔约就已经建世纪上半叶，罗巴切夫斯基和波尔约就已经建立了新的非欧几何学，它的思想是别开生面的和出乎意外的。立了新的非欧几何学，它的思想是别开生面的和出乎意外的。正正是是从从这这个个时时候候起起，开开始始了了几几何何学学的的原原则则上上的的新新发发展展，改改变变了了几几何何学学是是什什么么的的本本来来理理解解。它它的的研研究究对对象象与与使使用用范范围围迅迅速速扩扩大大。18541854年年著著名名的的德德国国的的数数学学家家黎黎曼曼继继罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基之之后后在在这这个个方方向向上上完完成成了了最最重重要要的的步步骤骤。他他提提出出了了几几何何学学家家能能够够研研究究的的“空空间间”的的种种类类有有无无限限多多的的一一般般思思想想，并并指指出出这这种种空空间间的的可可能能的的现现实实意意义义。如如果果说说，以以前前几几何何学学只只研研究究物物质质世世界界的的空空间间形形式式，那那么么现现在在，现现实实世世界界的的某某些些其其他他形形式式，由由于于它它们们与与空空间间形形式式类类似似，也也成成了了几几何何学学的的研研究究对对象象，可可采采用用几几何何学学的的各各种种方方法法对对它它们们进进行行研研究究。因因此此，“空空间间”这这一一术术语语在在数数学学中中获获得得了了新新的的更更广广泛泛的的，也也是是更更专专门门的的意意义义，同同时时几几何何学学方方法法本本身身也也大大大大地地丰丰富富和和多多样样化化了了。欧欧几几里里得得几几何何本本身身也也发发生生了了很很大大的的变变化化。现现在在可可研研究究复复杂杂得得多多的的图图形形，乃乃至至任任意意点点集集的的性性质质。同同样样地地出出现现了了研研究究图图形形本本身身的的崭崭新新的的方方法法，在在这这些些研研究究的的基基础础上上，产产生生了了各各种种新新而而又又新新的的“空空间间”和和它它们们的的“几几何何”：罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基空空间间，射射影影空空间间，各各种种不不同同维维数数的的欧欧氏氏空空间间、黎黎曼曼空空间间、拓拓扑扑空空间间等等，所有这些概念都找到了自己的应用。所有这些概念都找到了自己的应用。还在19世纪上半叶，罗巴切夫斯基和波尔约就已22 在在1919世纪，代数也出现了质的变化。以往的代数是世纪，代数也出现了质的变化。以往的代数是关关于于数数字字的的算算术术运运算算的的学学说说。这这种种算算术术运运算算是是脱脱离离了了给给定定的的具具体体数数字字在在一一般般形形态态上上形形式式地地加加以以考考察察的的。也也就就是是说说，在在代代数数中中，凡凡量都以字母来表示，按照一定的法则对这些字母进行运算。量都以字母来表示，按照一定的法则对这些字母进行运算。现现代代代代数数在在保保持持这这种种基基础础的的同同时时，又又把把它它大大大大地地推推广广了了。现现代代代代数数中中还还考考察察比比数数具具有有更更普普遍遍得得多多的的性性质质的的“量量”，并并且且研研究究对对这这些些量量的的运运算算，这这些些运运算算在在某某种种程程度度上上按按其其形形式式的的性性质质来来说说与与加加、减减、乘乘、除除等等普普通通算算术术运运算算是是类类似似的的。向向量量是是最最简简单单的的例例子子，我我们们知知道道，向向量量按按照照平平行行四四边边形形法法则则相相加加。在在现现代代代代数数中中进进行行的的推推广广达达到到这这样样的的程程度度，以以致致“量量”这这个个术术语语本本身身也也常常常常失失去去意意义义，而而一一般般地地是是讨讨论论“对对象象”了了，对对这这种种“对对象象”可可以以进进行行像像普普通通代代数数运运算算相相似似的的运运算算。例例如如，两两个个相相继继进进行行的的运运动动相相当当于于某某一一个个总总的的运运动动，一一个个公公式式的的两两种种代代数数变变换换相相当当于于一一个个总总的的变变换换等等等等。与与此此相相应应就就可可讨讨论论运运动动与与变变换换所所特特有有的的“加加法法”。现现代代代代数数在一般抽象形式上研究所有这种类似的运算。在一般抽象形式上研究所有这种类似的运算。在19世纪，代数也出现了质的变化。以往的代数23 现代代数理论是现代代数理论是1919世纪前半叶从许多数学家的世纪前半叶从许多数学家的研研究究中中形形成成的的，其其中中尤尤以以法法国国数数学学家家伽伽罗罗瓦瓦著著称称。现现代代代代数数的的概概念念、方方法法和和结结果果在在分分析析，几几何何、物物理理以以及及结结晶晶学学中中都都有有重重大大应应用用。群群论论与与线线性性代代数数是是现现代代代代数数中中内内容容丰丰富富的的两个分支，并在自己的发展中得到很广的应用两个分支，并在自己的发展中得到很广的应用。分分析析也也发发生生了了深深刻刻的的变变化化。首首先先，它它的的基基础础得得到到了了精精确确化化，特特别别是是得得到到了了它它的的基基本本概概念念：函函数数、极极限限、积积分分，最最后后是是变变量量概概念念本本身身的的精精确确和和普普遍遍定定义义，实实数数的的严严格格定定义义也也给给出出了了。这这些些工工作作是是由由一一批批杰杰出出的的数数学学家家完完成成的的，其其中中有有捷捷克克数数学学家家波波尔尔查查诺诺，法法国国数数学学家家柯柯西西，德德国国数数学学家家外外尔尔斯斯特特拉拉斯斯、戴戴德德金金等等。我我们们还还必必须须提提到到德德国国数数学学家家康康托托尔尔的的集集合合论论。它它促促进进了了数数学学的的其其他他许许多多新新分分支支的的发发展展，对数学发展的一般进程产生了深刻地影响。对数学发展的一般进程产生了深刻地影响。现代代数理论是19世纪前半叶从许多数学家的 24 在在分分析析中中发发展展出出一一系系列列新新的的分分支支，如如实实变变函函数数论论，函函数数逼逼近近论论，微微分分方方程程定定性性理理论论，积积分分方方程程论论，泛泛函函分分析析等等。在在分分析析和和数数学学物物理理发发展展的的基基础础上上同同几几何何与与代代数数新新思思想想相相结结合合产产生生的的泛泛函函分分析析在在现现代代数数学学中中起起着特殊重要的作用。着特殊重要的作用。集集合合论论还还导导致致了了数数学学领领域域的的另另一一分分支支数数理理逻逻辑辑的的发发展展，一一方方面面，数数理理逻逻辑辑溯溯源源于于数数学学的的起起源源和和基基础础，另另一一方方面面它它又又和和计计算算技技术术的的最最新新课课题题紧紧密密相相连连，数数理理逻逻辑辑得得到到了了许许多多深深刻刻的的结结果果。这这些些结结果果从从一一般认识论的观点看来也是十分重要的。般认识论的观点看来也是十分重要的。在分析中发展出一系列新的分支，如实变函数论，25精品精品课件件！精品课件！26精品精品课件件！精品课件！27谢谢！28