控制系统的时域课件

第三章 控制系统的时域分析1建议：v课前要预习v课后要复习v上课积极思考并回答问题2控制系统的分析方法v分析控制系统v第一步第一步 建立模型建立模型v第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，v分析方法包括v时域分析法v频域分析法v根轨迹法3第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言典型输入信号与系统时域性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析4第三章 线性系统的时域分析法 引言v分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。v实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。v在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。v许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。53.1.1 典型试验信号 Typical test signals(1)实际系统的输入信号不可知性。(2)典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系。(3)电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Step function）室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function）速度（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 （单位）脉冲函数（Impulse function）正弦函数（Simusoidal function）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp，对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）67v在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。83.1.3动态性能指标延迟时间 ：v（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间v（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。图319动态性能指标调节时间 ：（Settling Time）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%作为误差带）超调量v（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比，即 或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。图31动画103.2 一阶一阶系统的时间响应系统的时间响应v用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-2（a）所示的RC电路，其微分方程为 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。3.2.1 一阶系统的数学模型11闭环零极点分布图例：时间常数为123.2.2 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由下式可知为 对上式取拉氏反变换，得 注*：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。图33 一阶系统的单位阶跃响应曲线初始斜率13一阶系统的单位阶跃响应曲线是指数曲线（描点法作图）动画14曲线特点：1.响应曲线斜率的初始值为 ，并随时间的推移而下降。2.可根据用实验法验证是否为一阶系统。并可确定时间常数T。在0.632处，对应时间常数T。注意：看到这样的曲线不能下结论就是一阶系统，应看一下t=T,t=2T时的数据例如：曲线形式相同，但不是一阶系统。15由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。稳态误差：动态性能指标：（该曲线无振荡，不存在超调量）记住：一阶系统可跟踪单位阶跃信号，跟踪的稳态误差为零。163.2.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order systems当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为 无稳态分量，只有瞬态分量。1718一次课 2学时193.2.4 一阶一阶系统的单位斜坡响应系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems当 对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为T一阶系统可跟踪斜坡信号，跟踪的稳态误差为T动画动画20上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。21例：某一阶系统的单位斜坡响应如图所示，求系统在单位阶跃信号作用下解：T8 3T24223.2.5 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。23一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。24几点说明：一阶系统：1.闭环极点应远离虚轴。2.如何求时间常数T。可用实验法，在0.632处，对应时间常数T。3.一阶系统只有一个特征参数T。253.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型图36 二阶系统方块图自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）闭环传递函数为：（3-12）首一另一标准形式：尾一26二阶系统的动态特性，可以用加以描述,二阶系统的特征方程：（3-13）（3-14）和3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems27两个正实部的特征根 发散，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统，为两个相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根 （3-14）28过阻尼，时间响应不振荡振荡与不振荡的临界状态 振荡衰减 等幅振荡2930单位阶跃响应分别为：31(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应令衰减系数 阻尼振荡频率，由式（3-12）得（3-12）32对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为（3-17）稳态分量 瞬态分量33稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为阻尼振荡频率 包络线决定收敛速度时，（3-18）这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数确定（3-17）图36 二阶系统方块图3435(2)临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应（3-24）当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，36(3)过阻尼()（3-21）37总结：1.当 。响应是扩散的，系统不稳定，应避免。2.当 ，响应无超调，无振荡，但过渡时间较长，实际很少采用。3.当 ，振荡与不振荡的临界状态，临界阻尼。4.当 ，越小，振荡越严重；出现等幅振荡，故 不能太小；但就响应的快速性而言，越小响应越快，故 不能太大。一般 ，调节时间短，振荡也不严重，系统可以又快又稳的跟踪输入信号。最佳阻尼比 。38图3-10表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上P72）39一般，合理设计一个二阶系统，就是选择合适的 和 值。实部虚部振荡频率虚部值要使系统的动态性能好：1.指数部分衰减快，则 大，即特征根应远离虚轴。2.振荡频率小，即 小，则特征根应离实轴近一些。一阶系统也希望特征根远离虚轴。40 性能好 性能差413.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标欠阻尼情况在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二阶系统一般取 其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。42 ，求得（3-25）一定，即一定，,响应速度越快 对式（3-17）求导，并令其为零，求得（3-17）上升时间，响应从零第一次达到终值所需的时间。响应超过终值第一次达到峰值所需的时间。43 ,根据峰值时间定义，应取(3-26)对式（3-17）求导，并令其为零，求得（3-17）即峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。44 超调量在峰值时间发生，故即为最大输出 (3-27)时，时，时，时45调节时间的计算 用稳态值的2%5%作为允许误差范围，响应曲线到达并且以后永远保持在这一允许误差范围内所需的时间，定义为此响应曲线的包络线为46二阶系统时间响应的包络线动画47用329进行估算，若它能满足要求，则实际系统更能满足要求。即闭环极点离虚轴越远，越小。48二阶系统中 与 的关系出现图断开的情况。主要因为只要 有很小的变化，变化就很大。49一次课 2学时50稳态误差T趋于无穷时，系统的希望值和输出值之间的误差就是系统的稳态误差。二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为0。P75 第四小段，画下来。51例31例3252例：(考研题）闭环极点分布如图所示：1.闭环极点沿半径方向变化，如何变化。2.闭环极点沿圆周方向变化，如何变化。解：1.沿半径变化，则 不变，变大。不变，则 不变。变大，不变，则 变小。2.沿圆周变化，则 不变，变大。变大，则 减小。不变，变大，不一定。53欠阻尼 总结：54例图(a)所示的系统，具有图(b)所示的响应，求K和T 解：(a)(b)55闭环传递函数 563.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为将上式的分子与分母进行因式分解，可得：57将式（3-47）用部分分式展开，得 t=0（332）58由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成 输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号 所有闭环的极点均具有负实部 过渡过程结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关 闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统 59主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。60作业：P793-13-63-73-961实验 二阶系统性能指标分析62